Lösung
- Eine
Verknüpfung
-
heißt assoziativ, wenn für alle die Gleichheit
-
gilt.
- Man nennt
-
den Kern von .
- Unter dem Homomorphismenraum versteht man
-
versehen mit der Addition, die durch
-
definiert wird, und der Skalarmultiplikation, die durch
-
definiert wird.
- Zu einer Familie von Elementen
in einem
kommutativen Ring
bezeichnet das von diesen Elementen erzeugte Ideal. Es besteht aus allen Linearkombinationen
-
wobei sind.
- Die Abbildung
-
heißt alternierend, wenn multilinear ist und wenn folgendes gilt: falls in zwei Einträge übereinstimmen, also für ein Paar , so ist
-
- Den Exponenten des linearen Polynoms im
charakteristischen Polynom
nennt man die
algebraische Vielfachheit
von .
Lösung
- Zu einem Untervektorraum gibt es einen Untervektorraum derart, dass eine direkte Summenzerlegung
-
vorliegt.
- Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit einer Basis . Dann bildet die Dualbasis
-
eine Basis des Dualraums.
- Es sei . Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung
-
Heinz Ngolo und Mustafa Müller wollen wissen, wie viele Kaulquappen sich im Teich im Wald befinden. Der Teich ist einen Meter tief und ist quadratisch mit einer Seitenlänge von zehn Metern, die Kaulquappen sind darin gleichmäßig verteilt. Heinz hat eine Teekanne dabei, in die ein halber Liter Wasser hineinpasst. Sie trinken den Tee leer und füllen die Kanne mit Teichwasser. Sie zählen, dass in der Kanne genau Kaulquappen sind und schütten alles zurück. Wie viele Kaulquappen befinden sich im Teich?
Lösung
Lösung
- Es ist
- Es ist
- Es ist einerseits
und andererseits
Man gebe ein Beispiel für einen
Körper
, eine
kommutative Gruppe
und eine Abbildung
-
derart, dass diese Struktur alle
Vektorraumaxiome
außer
-
erfüllt.
Lösung
Es sei der Körper der reellen Zahlen. Wir betrachten die „Skalarmultiplikation“
-
die jedes Paar auf abbildet, also
-
Dann ist
(für
)
-
und somit ist diese Skalarmultiplikation nicht distributiv in den Skalaren. Alle anderen Vektorraumaxiome sind hingegen erfüllt. Es ist ja
und
Ferner ist natürlich auch
-
Beweise den Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten
-
Vektorraum
.
Lösung
Es sei
, ,
ein Erzeugendensystem von mit einer
endlichen
Indexmenge . Wir wollen mit der Charakterisierung aus
Satz 7.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) (2)
argumentieren.
Falls die Familie schon minimal ist, so liegt eine Basis vor. Andernfalls gibt es ein
derart, dass die um reduzierte Familie, also
, ,
ebenfalls ein Erzeugendensystem ist. In diesem Fall kann man mit der kleineren Indexmenge weiterargumentieren.
Mit diesem Verfahren gelangt man letztlich zu einer Teilmenge
derart, dass
, ,
ein minimales Erzeugendensystem, also eine Basis ist.
Es sei eine
Basis
eines
-
Vektorraumes
. Es seien von verschiedene Elemente.
a) Zeige, dass ebenfalls eine Basis von ist.
b) Bestimme die
Übergangsmatrix
.
c) Bestimme die Übergangsmatrix .
d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt.
e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt.
Lösung
a) Es ist
-
für alle . Daher ist ebenfalls ein Erzeugendensystem von und somit eine Basis, da die Dimension ist und Vektoren vorliegen.
b) In den Spalten von müssen die Koordinaten der Vektoren bezüglich der Basis stehen, also ist
-
c) Es ist
-
d) Die Koordinaten ergeben sich aus
-
e) Die Koordinaten ergeben sich aus
-
Lösung
a) Die Nullmatrix ist symmetrisch und antisymmetrisch. Für zwei symmetrische Matrizen und und Skalare ist
-
offenbar wieder symmetrisch, daher liegt eine Untervektorraum vor.
b) Alle Diagonalmatrizen sind symmetrisch und die Diagonalmatrizen , für die der -te Diagonaleintrag eine ist und für die alle anderen Einträge sind, bilden eine Basis davon. Ferner sind für die Matrizen , für die
-
und alle übrigen Einträge sind, ebenfalls symmetrisch. Diese bilden eine Basis aller symmetrischen Matrizen, wie man sieht, wenn man von allen Matrizen die oberen Dreiecksausschnitte betrachtet. Die Dimension dieses Raumes ist somit
-
c) Für eine Linearkombination zweier antisymmetrischer Matrizen wie in a) ist der Eintrag gleich
-
und der Eintrag gleich
-
daher ergibt dies wieder antisymmetrische Matrizen.
d) Wegen
-
müssen die Diagonaleinträge von antisymmetrischen Matrizen gleich sein. Für legt der Eintrag den Eintrag fest. Für seien die antisymmetrischen Matrizen mit
und
,
wobei alle übrigen Einträge gleich seien. Diese bilden eine Basis des Raumes aller antisymmetrischen Matrizen, dessen Dimension somit ist.
e) Es ist
-
f) Es sei eine sowohl symmetrische als auch antisymmetrische Matrix. Dann ist direkt
-
und daher ist
-
Es liegt also die Nullmatrix vor und somit ist
-
Wegen
-
ist die Summe der Dimensionen der beiden Unterräume gleich der Dimension des Matrizenraumes, daher liegt eine direkte Summenzerlegung
-
vor.
Wir betrachten die
lineare Abbildung
,
die durch die
Matrix
gegeben ist.
- Bestimme das
Bild
der durch die Gleichung
-
gegebenen Geraden.
- Bestimme das
Urbild
der durch die Gleichung
-
gegebenen Geraden.
Lösung
- Die Gerade kann man auch als
-
auffassen. Das Bild des erzeugenden Vektors ist
-
Alle Vielfache von werden auf Vielfache von abgebildet, somit ist die Bildgerade gleich
-
- Wir schreiben die Koordinaten des ersten Raumes als und die Koordinaten den zweiten Raumes als . Aus der Beziehung
-
ergibt sich
-
Somit wird die Urbildgerade durch die Gleichung
-
beschrieben.
Lösung
Beweise die Cramersche Regel zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.
Lösung
Berechne das Ergebnis, wenn man im
Polynom
-
die Variable durch die
-
Matrix
-
ersetzt.
Lösung
Es ist
-
und
-
Dies gilt auch für die höheren Potenzen. Daher ergibt die Einsetzung
Lösung
Es ist
-
Lösung
Beweise den Satz über die Dimension der Haupträume.
Lösung
Wir schreiben das
charakteristische Polynom
zu als
-
wobei in nicht als Linerarfaktor vorkommt, d.h. ist die algebraische Vielfachheit von . Dann sind
und
teilerfremd
und nach
Lemma 26.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
ist dann
-
und
-
ist eine Bijektion. Es ist ferner
-
wobei die Inklusion klar ist und die andere Inklusion sich daraus ergibt, dass höhere Potenzen von wegen der eben erwähnten Bijektivität auf keine weiteren Elemente annullieren. Für das charakteristische Polynom gilt wegen der direkten Summenzerlegung nach
Lemma 23.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
die Beziehung
-
wobei das charakteristische Polynom zu und das charakteristische Polynom zu ist. Da auf die Nullabbildung ist, ist das Minimalpolynom zu und damit auch das charakteristische Polynom eine Potenz von , sagen wir
-
wobei
-
sei. Insbesondere ist somit
,
da ein Teiler von ist. Bei
müsste eine Nullstelle von sein und wäre ein Eigenwert von . Dies ist aber ein Widerspruch dazu, dass auf diesem Raum eine Bijektion ist.