Kurs:Lineare Algebra/Teil I/22/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Punkte | 3 | 3 | 3 | 5 | 6 | 8 | 3 | 2 | 4 | 3 | 4 | 2 | 6 | 4 | 4 | 4 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Matrizenmultiplikation.
- Der von einer Familie von Vektoren , aus einem - Vektorraum aufgespannte Untervektorraum.
- Die Elementarmatrizen.
- Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen
und
- Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen und .
- Ein affiner Raum über einem - Vektorraum .
- Es sei ein
Körper und es sei eine
-
Matrix
und eine -Matrix über . Dann ist das Matrixprodukt
diejenige -Matrix, deren Einträge durch
gegeben sind.
- Man nennt
den von der Familie aufgespannten Untervektorraum.
- Mit bezeichnen wir diejenige
-
Matrix,
die an der Stelle den Wert und sonst überall den Wert null hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.
- .
- .
- .
- Die Abbildung
heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und .
- Eine
Abbildung
heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit
für alle gilt.
- Ein
affiner Raum
über einem
-
Vektorraum
ist
(die leere Menge oder)
eine nichtleere Menge zusammen mit einer Abbildung
die den drei Bedingungen
- für alle ,
- für alle und ,
- Zu je zwei Punkten gibt es genau einen Vektor mit ,
genügt.
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über den Zusammenhang zwischen der Verknüpfung linearer Abbildungen und der Matrizenmultiplikation (genaue Formulierung mit Basen).
- Der Satz über die Vertauschungseigenschaft bei einer alternierenden Abbildung.
- Der Satz über die Nullstellen von Minimalpolynom und charakteristischem Polynom.
- Bei der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen
entsprechen sich die Hintereinanderschaltung
von linearen Abbildungen und die Matrizenmultiplikation.
Damit ist folgendes gemeint: es seien
Vektorräume über einem Körper mit Basen
Es seien
lineare Abbildungen. Dann gilt für die beschreibenden Matrizen von und der Hintereinanderschaltung die Beziehung
- Es sei ein
Körper,
und seien
-
Vektorräume
und sei . Es sei
eine alternierende Abbildung. Dann gilt
- Es sei ein
endlichdimensionaler
Vektorraum
über einem
Körper
und es sei
eine lineare Abbildung. Dann besitzt das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom
die gleichen Nullstellen.
Aufgabe (3 Punkte)
Löse das lineare Gleichungssystem
Wir setzen die dritte Gleichung in die beiden ersten Gleichungen ein und erhalten
und
Wir addieren das Vierfache der ersten mit dem Fünffachen der zweiten Gleichung und erhalten
Somit ist
und
Die einzige Lösung des Gleichungssystems ist somit
Aufgabe (5 Punkte)
Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren
gegebene Basis im .
Es ist
Für die umgekehrte Übergangsmatrix müssen wir diese Matrix invertieren. Es ist
Es ist also
Aufgabe (6 Punkte)
Man gebe ein Beispiel für einen Körper , eine kommutative Gruppe und eine Abbildung
derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer
erfüllt.
Wir betrachten den Körper und die additive Gruppe . Als „Skalarmultiplikation“
betrachten wir die durch
gegebene Abbildung, wobei die komplexe Konjugation von bezeichnet (wir schreiben um zu betonen, dass es sich um eine untypische Operation handelt).
Zum Nachweis der Assoziativität der Multiplikation sei und . Bei
ist
wobei die mittlere Gleichung sowohl bei als auch bei gilt. Bei
ist
Zum Nachweis der Distributivität in den Skalaren ist bei
und bei
ist
Es sei nun
und
Dann ist
und somit ist einerseits
und andererseits
Somit ist diese Multiplikation nicht distributiv in den Vektoren.
Ferner ist wegen
stets
Aufgabe (8 Punkte)
Beweise den Basisaustauschsatz.
Wir führen Induktion über , also über die Anzahl der Vektoren in der Familie. Bei ist nichts zu zeigen. Es sei die Aussage für schon bewiesen und seien linear unabhängige Vektoren
gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung, angewandt auf die
(ebenfalls linear unabhängigen) Vektorengibt es eine Teilmenge derart, dass die Familie
eine Basis von ist. Wir wollen auf diese Basis das Austauschlemma anwenden. Da eine Basis vorliegt, kann man
schreiben. Wären hierbei alle Koeffizienten , so ergäbe sich sofort ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der , . Es gibt also ein mit . Wir setzen . Damit ist eine -elementige Teilmenge von . Nach dem Austauschlemma kann man den Basisvektor durch ersetzen und erhält die neue Basis
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme, welche der folgenden elementargeometrischen Abbildungen linear, welche diagonalisierbar und welche trigonalisierbar sind.
- Die Achsenspiegelung durch die durch gegebene Achse.
- Die Verschiebung um den Vektor .
- Die Drehung um Grad gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung.
- Die Punktspiegelung mit dem Punkt als Zentrum.
- Da die Gerade durch den Nullpunkt geht, ist diese Achsenspiegelung linear. Die Achse ist der Eigenraum zum Eigenwert , die dazu senkrechte Gerade durch den Nullpunkt ist der Eigenraum zum Eigenwert , mit zwei Eigenwerten ist die Abbildung diagonalisierbar und insbesondere trigonalisierbar.
- Bei dieser Verschiebung wird der Nullpunkt bewegt, somit ist die Abbildung nicht linear.
- Eine Drehung um den Ursprung ist stets linear. Da um Grad gedreht wird, wird keine Gerade auf sich selbst abgebildet. Somit gibt es keine Eigenwerte und die Abbildung ist nicht trigonalisierbar und schon gar nicht diagonalisierbar.
- Da der Nullpunkt bewegt wird, ist die Abbildung nicht linear.
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme den Rang der Matrix
Die zweite Zeile minus die erste Zeile ergibt den Standardvektor , die dritte Zeile minus die vierte Zeile ergibt . Die erste Zeile minus ergibt und die vierte Zeile minus ergibt . Der durch die Zeilen erzeugte Untervektorraum ist also vierdimensional und somit ist der Rang gleich .
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei eine untere Dreiecksmatrix. Zeige, ausgehend von der Definition der Determinante, dass die Determinante von das Produkt der Diagonaleinträge ist (es darf verwendet werden, dass die Determinante zu einer Matrix mit einer Nullzeile gleich ist).
Wie führen Induktion nach , wobei eine - Matrix sei. Der Induktionsanfang für ist klar, sei die Aussage für alle unteren Dreiecksmatrizen der Länge schon bewiesen. Die Determinantenformel sagt
Für ist die erste Zeile von ohne den ersten Eintrag eine Zeile von , und zwar ist dies eine Nullzeile, da ja eine untere Dreiecksmatrix ist. Daher sind die Determinanten zu den , , gleich und die hintere Summe in der obigen Formel ist . Hingegen ist wieder eine untere Dreiecksmatrix und ihre Determinante ist nach Induktionsvoraussetzung gleich . Also ist
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei . Zeige, dass es gleich viele gerade und ungerade Permutationen auf gibt.
Wegen der Voraussetzung gibt es eine Transposition , die wir fixieren. Es sei die Menge der geraden und die Menge der ungeraden Permutationen. Wir betrachten die Abbildung
Dies ist eine wohldefinierte Abbildung aufgrund der Tatsache, dass das Signum ein Gruppenhomomorphismus ist und dass das Signum einer Transposition gleich ist. Die Abbildung ist bijektiv, und zwar ist die Multiplikation mit von rechts die Umkehrabbildung. Also besitzen und die gleiche Anzahl an Elementen.
Aufgabe (4 Punkte)
Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung
mit , .
Es ist
vorausgesetzt, der Wurzelausdruck ist nichtnegativ. Dies sieht man so: Die Bedingung
ist äquivalent zu
was mittels quadratischem Ergänzen äquivalent zu
ist. Umstellen und Erweitern liefert
Dies ist äquivalent zu
und somit zu
Aufgabe (2 (1+1) Punkte)
Es sei ein Körper, und ein Polynom mit .
- Zeige, dass und teilerfremd sind.
- Es sei . Zeige, dass und teilerfremd sind.
- Der einzige normierte Teiler von von positivem Grad ist selbst. Da keine Nullstelle von ist, folgt nach Lemma 19.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)), dass kein Teiler von ist. Die einzigen gemeinsamen Teiler sind somt die konstanten Polynome , was die Teilerfremdheit bedeutet.
- Die einzigen normierten Teiler von sind mit . Deshalb folgt die Teilerfremdheit aus Teil (1).
Aufgabe (6 (2+3+1) Punkte)
Wir betrachten die lineare Abbildung
die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
beschrieben wird.
a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von .
b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.
c) Stelle die Matrix für bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.
a) Das charakteristische Polynom ist
und die Eigenwerte von sind .
b) Wir bestimmen für jeden Eigenwert einen Eigenvektor.
:
Wir müssen ein nichttriviales Element im Kern von
bestimmen. Da gehört dazu.
:
Dies führt auf
Wir wählen und und erhalten , also ist
ein Eigenvektor zum Eigenwert .
:
Dies führt auf
Mit und ist die mittlere Zeile erfüllt. Die erste Zeile wird dann zu
und daher ist
Somit ist
c) Bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren besitzt die beschreibende Matrix die Gestalt
Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine nilpotente lineare Abbildung. Der Kern von sei eindimensional. Es sei
und die minimale Zahl mit
- Zeige, dass alle
, ,
eine
direkte Zerlegung
mit eindimensional haben.
- Zeige, dass die Einschränkungen
für bijektiv sind.
- Zeige, dass mit der Dimension von übereinstimmt.
Lösung Nilpotente Abbildung/Kern eindimensional/Surjektivität/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (4 Punkte)
Wie viele jordansche Normalformen (bis auf Ähnlichkeit) zu -Matrizen gibt es, bei denen in der Diagonalen der konstante Wert steht?
Die jordanschen Normalformen von der gesuchten Form haben jedenfalls die Gestalt
wobei an den Freistellen eine oder eine stehen kann. Wir behaupten, dass die Matrizen
eine vollständige Liste der nichtähnlichen Matrizen in jordanscher Normalform sind. Die beiden Matrizen
sind zur zweiten Matrix der Liste ähnlich, da sie ebenso aus zwei Einerblöcken und einem Zweierblock bestehen. Die Matrix
ist zur dritten Matrix ähnlich, da sie ebenfalls aus einem Dreierblock und einem Einerblock besteht. Die fünf angegebenen Matrizen sind paarweise zueinander unähnlich, da die Anzahl der Jordanblöcke und ihre Größe eine Invariante der Abbildung ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Beweise den Festlegungssatz für affine Abbildungen.
Es sei . Es gibt nach Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
mit
Dann ist
eine affin-lineare Abbildung mit der gewünschten Eigenschaft. Umgekehrt ist eine solche affine Abbildung durch den linearen Anteil und das Verhalten auf einem einzigen Punkt eindeutig festgelegt, so dass
sein muss.