Kurs:Lineare Algebra/Teil I/32/Klausur mit Lösungen



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 1 2 0 5 0 0 4 2 3 0 5 3 0 4 0 0 35




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

    und

  2. Ein Isomorphismus zwischen - Vektorräumen und .
  3. Der Spaltenrang einer - Matrix über einem Körper .
  4. Der Dualraum zu einem - Vektorraum .
  5. Die adjungierte Matrix zu einer quadratischen Matrix .
  6. Eine Fahne in einem - dimensionalen - Vektorraum .


Lösung

  1. Die Abbildung

    heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und .

  2. Ein Isomorphismus zwischen und ist eine bijektive lineare Abbildung
  3. Man nennt die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von den (Spalten-)Rang der Matrix .
  4. Unter dem Dualraum zu versteht man den Homomorphismenraum
  5. Die Matrix

    wobei die Restmatrix zur -ten Zeile und zur -ten Spalte ist, heißt die adjungierte Matrix von .

  6. Eine Kette von Untervektorräumen

    heißt eine Fahne in .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.
  2. Der Satz über die Beziehung von Permutationen und Transpositionen.
  3. Der Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.


Lösung

  1. Es sei ein Körper und ein -Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann besitzen je zwei Basen von die gleiche Anzahl von Basisvektoren.
  2. Jede Permutation auf einer endlichen Menge kann man als Produkt von Transpositionen schreiben.
  3. Sei

    ein trigonalisierbarer -Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen -Vektorraum . Dann gibt es eine Zerlegung

    wobei diagonalisierbar, nilpotent und zusätzlich

    gilt.


Aufgabe (1 Punkt)

Man finde eine äquivalente Formulierung für die Aussage „Frau Maier-Sengupta hat nicht alle Tassen im Schrank“ mit Hilfe einer Existenzaussage.


Lösung

Es gibt eine Tasse, die Frau Maier-Sengupta nicht im Schrank hat.


Aufgabe (2 Punkte)

Die Biologin Hertha McGillen ist eine renommierte Forscherin über fliegende Fische. Zur Beobachtung hat ihr Team eine Drohne entwickelt, die sowohl oberhalb als auch unterhalb des Meeresspiegels fliegen kann. Bei einem Einsatz startet die Drohne vom Ausgangspunkt auf dem Schiff, der vier Meter oberhalb des Meeresspiegels liegt. Sie steigt zunächst drei Meter in die Höhe, fliegt dann elf Meter nach unten, dann einen Meter nach oben, dann zwei Meter nach unten, dann sechs Meter nach oben, dann fünf Meter nach unten, dann drei Meter nach oben, dann vier Meter nach unten, dann reißt der Funkkontakt ab.

Wie hoch bzw. tief ist die Drohne insgesamt von ihrem Ausgangspunkt aus geflogen und auf welcher Höhe unter- oder oberhalb des Meeresspiegels brach der Kontakt ab? Wie oft ist die Drohne ein- und wie oft aufgetaucht?


Lösung

Die Höhenpositionen der Drohne sind bezogen auf den Meeresspiegel der Reihe nach

Der Kontakt brach also Meter unterhalb des Meeresspiegels ab und insgesamt ist die Drohne Meter tief geflogen. Sie ist zweimal eingetaucht und einmal aufgetaucht.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Finde die komplexen Quadratwurzeln von

über den Ansatz


Lösung

Der Ansatz

führt auf die beiden reellen Gleichungen

und

Daraus folgt direkt, dass und nicht sein können. Wir lösen die zweite Gleichung nach auf und erhalten

Dies setzen wir in die erste Gleichung ein und erhalten

Multiplikation mit und umstellen ergibt

Dies ist eine biquadratische Gleichung, die zugrunde liegende quadratische Gleichung ist (mit )

mit den Lösungen

Dabei ist

positiv und besitzt die reellen Quadratwurzeln

und somit sind die komplexen Quadratwurzeln von gleich

und


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

  1. Zeige durch Induktion über , dass die Determinante einer -Matrix, deren sämtliche Einträge ganze Zahlen sind, ebenfalls eine ganze Zahl ist.
  2. Man gebe ein Beispiel für eine Matrix, deren sämtliche Einträge positive natürliche Zahlen sind und deren Determinante negativ ist.


Lösung

  1. Die Aussage ist offenbar richtig für . Zum Induktionsschluss ziehen wir die induktive Definition der Determinante heran, es ist

    Nach Induktionsvoraussetzung sind die ganzzahlig, nach Voraussetzung sind die ganzzahlig, und damit ist auch diese Summe ganzzahlig.

  2. Es ist


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme das Signum der im Bild gezeigten Permutation (die linke Hand repräsentiere den Definitionsbereich, die rechte Hand den Wertebereich. Der linke Daumen geht auf den kleinen Finger).


Lösung

Die Wertetabelle für die gezeigte Permutation ist

Finger links
Finger rechts

Das Signum kann man mit einer beliebigen Durchnummerierung bestimmen, als Wertetabelle nehmen wir

Die Fehlstände sind

Das Signum ist also , die Permutation ist also gerade.


Aufgabe (3 Punkte)

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper .


Lösung

Das inverse Element zu in ist , somit ist in die Variable eliminiert. Dies ergibt

und dies hat keine Lösung.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 (4+1) Punkte)

Es seien quadratische Matrizen über einem Körper , die zueinander in der Beziehung

mit einer invertierbaren Matrix stehen. Zeige, dass die Eigenwerte von mit den Eigenwerten zu übereinstimmen, und zwar

  1. direkt,
  2. mit Hilfe des charakteristischen Polynoms.


Lösung

  1. Es sei ein Eigenwert zu . Dann gibt es ein von verschiedenes Koordinatentupel mit

    Es sei

    was ebenfalls nicht ist. Dann ist

    d.h. ist auch ein Eigenwert von . Wegen

    ist die Situation symmetrisch, daher sind Eigenwerte von auch Eigenwerte von .

  2. Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes besitzen und das gleiche charakteristische Polynom. Da die Eigenwerte genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, stimmen die Eigenwerte überein.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume zu einer ebenen Drehung zu einem Drehwinkel , , über .


Lösung

Bei liegt die Identität vor, dafür ist der einzige Eigenwert, jeder Vektor ist ein Eigenvektor und der Eigenraum zum Eigenwert ist . Alle anderen Eigenräume sind der Nullraum.

Bei liegt die Halbdrehung vor, also die Punktspiegelung bzw. die Streckung mit dem Faktor . Dafür ist der einzige Eigenwert, jeder Vektor ist ein Eigenvektor und der Eigenraum zum Eigenwert ist . Alle anderen Eigenräume sind der Nullraum.

Bei allen anderen Drehwinkeln wird keine Gerade auf sich selbst abgebildet, sodass diese Drehungen keine Eigenwerte und keine Eigenvektoren besitzen und alle Eigenräume der Nullraum sind.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zur Matrix

(über dem Körper der rationalen Funktionen ).


Lösung

Für eine invertierbare -Matrix ist die inverse Matrix generell gleich

Im vorliegenden Fall ist die Determinante gleich

Somit ist die inverse Matrix gleich


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung