Lösung
- Die Abbildung
-
die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu .
- Eine -Matrix über ist ein Schema der Form
-
wobei die aus sind.
- Man nennt
-
den Kern von .
- Eine
lineare Abbildung
-
heißt
Projektion,
wenn
-
gilt.
- Das
Polynom
-
heißt charakteristisches Polynom von .
- Eine Familie von Punkten
, ,
in einem
affine Raum
über einem
-
Vektorraum
heißt eine
affine Basis
von , wenn zu einem die Vektorfamilie
-
eine
Basis
von ist.
Lösung
- Es sei ein Körper und es seien
und
Vektorräume über . Es sei
, ,
eine Basis von und es seien
, ,
Elemente in . Dann gibt es genau eine lineare Abbildung
-
mit
-
- Es sei ein
Körper und
-
ein
inhomogenes lineares Gleichungssystem
Es sei vorausgesetzt, dass die beschreibende Matrix
invertierbar
sei. Dann erhält man die eindeutige Lösung für durch
-
- Es sei
ein
Endomorphismus
auf dem
endlichdimensionalen
-
Vektorraum
und es sei
eine
Basis
von . Es sei
die
beschreibende Matrix
zu bezüglich dieser Basis. Dann ist genau dann ein
Eigenvektor
zu zum
Eigenwert
, wenn das
Koordinatentupel
zu bezüglich der Basis ein Eigenvektor zu zum Eigenwert ist.
Es soll Holz unterschiedlicher Länge
(ohne Abfall)
in Stücke zerlegt werden, die zwischen und cm lang sein sollen
(jeweils einschließlich).
Für welche Holzlängen ist dies möglich?
Lösung
Es sei die Länge des Holzes, das zerlegt werden soll. Für ist eine Zerlegung offenbar nicht möglich. Für
kann man das Stück so lassen, wie es ist, eine Zerlegung ist also möglich. Für
ist eine Zerlegung nicht möglich, da das Stück zu lang ist, um es direkt zu übernehmen, aber zu kurz, um es in zwei oder mehr Teile zu zerlegen. Für
kann man das Stück in zwei
(beispielsweise gleichgroße)
Teile unterteilen, eine Zerlegung ist also möglich. Für
ist keine Zerlegung möglich. Für zwei Teile ist das Stück nämlich zu lang und für drei oder mehr Teile ist es zu kurz. Ab
-
ist eine Zerlegung stets möglich. Die Länge erfüllt dann nämlich
-
mit einer natürlichen Zahl
.
Wenn man durch dividiert, erhält man
-
was als Länge eines Teilstücks erlaubt ist.
Lösung
Lösung
Wir nehmen an, dass
-
ist, wobei verschiedene Primzahlen und rationale Zahlen sind. Diese müssen wir als nachweisen. Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner können wir annehmen, dass die ganze Zahlen sind. Wir wenden die
Exponentialfunktion
auf die obige Gleichung an und erhalten
-
Es sei
die Teilmenge aller , für die der Exponent nichtnegativ ist. Durch Sortieren erhalten wir eine Gleichung der Form
-
Dies ist eine positive natürliche Zahl und wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung müssen alle sein.
Im seien die beiden
Untervektorräume
-
und
-
gegeben. Bestimme eine Basis für .
Lösung
Jeder Vektor aus dem Durchschnitt besitzt eine Darstellung
-
Die Koeffiziententupel bilden den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
-
das wir lösen müssen. Wir ersetzen die erste Gleichung durch
-
und die dritte Gleichung durch
-
Wir wählen , sodass sein muss. Dies legt eindeutig und dann auch fest. Daher ist der Durchschnitt eindimensional und
-
ist ein Basisvektor von .
Lösung
Lösung
Bestimme die komplexen Zahlen , für die die Matrix
-
nicht invertierbar ist.
Lösung
Die Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ist. Wir müssen also die Nullstellen der Determinante bestimmen. Die Determinante ist
(nach der Regel von Sarrus)
-
Dies ist gleich genau dann, wenn
-
ist. Durch quadratisches Ergänzen führt diese Gleichung auf
-
Daher sind
-
die beiden einzigen Lösungen der quadratischen Gleichung. Diese zwei reellen Zahlen sind also die einzigen
(reellen oder komplexen)
Zahlen, für die die Matrix nicht invertierbar ist.
Lösung
Es seien zwei Permutationen
und
gegeben. Dann ist
Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix
-
gegebenen linearen Abbildung
-
Lösung
Es sei ein
Körper
und seien
-
Elemente, die nicht alle gleich seien. Wir betrachten die
-
Matrix
-
wobei die Einträge durch
-
gegeben sind.
a) Bestimme den
Rang
der Matrix .
b) Zeige, dass der Vektor ein
Eigenvektor
zu ist und bestimme den zugehörigen
Eigenwert.
c) Zeige, dass bei
diagonalisierbar
ist.
d) Zeige, dass bei
nicht diagonalisierbar sein muss.
Lösung
a) Es ist
-
Daher besitzt die durch gegebene lineare Abbildung eine Faktorisierung der Form
-
Daher ist das Bild von maximal eindimensional und der Rang der Matrix ist höchstens . Da nicht alle gleich sind, ist nicht die Nullmatrix und daher ist der Rang genau .
b) Es ist
Da nicht alle gleich sind, ist dieser Vektor ein Eigenvektor zum Eigenwert .
c) Die Matrix besitzt aufgrund der Rangeigenschaft einen -dimensionalen
Kern.
Ferner gibt es einen weiteren Eigenvektor zu einem von verschiedenen Eigenwert
(da wir in sind und eine Summe von Quadraten betrachten).
Daher ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume gleich und somit liegt nach
Lemma 22.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
eine diagonalisierbare Abbildung vor.
d) Es sei
und
.
Die in Frage stehende Matrix ist dann
-
Das charakteristische Polynom davon ist
-
Daher ist der einzige Eigenwert. Der Kern ist aber eindimensional, daher ist die Matrix nicht diagonalisierbar.
Man gebe eine Matrix
der
Ordnung
an.
Lösung
Sei
-
Dann ist
-
Ferner ist
-
und
-
also ist die Ordnung gleich .
Lösung
Die nilpotente -Jordanmatrix hat die Gestalt
-
Die zugehörige lineare Abbildung ist also durch
-
gegeben. Die -te Iteration davon bildet somit auf
-
ab. Daher gehören die zum Kern von . Die Basisvektoren werden hingegen unter auf die linear unabhängigen Vektoren abgebildet. Daher ist der Rang gleich und es ist
-
mit der Dimension . Die Kerne bilden also eine aufsteigende Kette von Untervektorräumen, wobei die Dimensionen um wachsen. Es liegt also eine Fahne vor.
Es seien
und
affine Räume
über mit Punkten und . Zeige, dass im
Produktraum
die
baryzentrische
Beziehung
-
gilt.
Lösung
Zur Auswertung des baryzentrischen Ausdruckes wählen wir als Aufpunkt und erhalten