Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Vorlesung 14/kontrolle

Linearformen

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Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Eine lineare Abbildung

$V\longrightarrow K$

heißt eine Linearform auf ${}V$.

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Eine Linearform auf dem ${}K^{n}$ ist von der Form

$K^{n}\longrightarrow K,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i},$

zu einem Tupel ${}\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)$. Besonders einfache Linearformen sind die Projektionen

$p_{j}\colon K^{n}\longrightarrow K,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto x_{j}.$

Die Nullabbildung nach ${}K$ ist ebenfalls eine Linearform, die man auch die Nullform nennt.

Wir haben schon eine Vielzahl von Linearformen kennengelernt, beispielsweise die Preisfunktion bei einem Einkauf verschiedener Produkte oder der Vitamingehalt von Obstsalaten aus verschiedenen Obstsorten. Bezüglich einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ und einer Basis ${}w$ von ${}K$ (dabei ist ${}w$ einfach ein von ${}0$ verschiedenes Element aus ${}K$) besteht die beschreibende Matrix zu einer Linearform einfach aus einer Zeile mit ${}n$ Einträgen.

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Eine Reihe von prominenten Bespielen von Linearformen auf unendlichdimensionalen Vektorräumen finden sich in der Analysis. Zu einem reellen Intervall ${}[a,b]$ sind die Menge der Funktionen ${}\operatorname {Abb} ([a,b],\mathbb {R} )$ bzw. die Menge der stetigen Funktionen ${}C([a,b],\mathbb {R} )$ bzw. die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen ${}C^{1}([a,b],\mathbb {R} )$ reelle (ineinander enthaltene) Vektorräume. Zu einem Punkt ${}P\in [a,b]$ ist jeweils die Auswertung ${}f\mapsto f(P)$ eine Linearform (wegen der punktweise definierten Addition und Skalarmultiplikation auf diesen Räumen). Ebenso ist die Auswertung der Ableitung

$C^{1}([a,b],\mathbb {R} )\longrightarrow \mathbb {R} ,\,f\longmapsto f'(P),$

eine Linearform. Für ${}C([a,b],\mathbb {R} )$ ist ferner das Integral, also die Abbildung

$C([a,b],\mathbb {R} )\longrightarrow \mathbb {R} ,\,f\longmapsto \int _{a}^{b}f(t)dt,$

eine Linearform. Dies beruht auf der Linearität des Integrals.

Bemerkung   Bemerkung 14.4 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Zu einer Linearform

$f\colon V\longrightarrow K$

und einem Vektor ${}w\in W$ ist die Abbildung

$fw\colon V\longrightarrow W,\,v\longmapsto f(v)w,$

linear. Es handelt sich einfach um die Hintereinanderschaltung

$V{\stackrel {f}{\longrightarrow }}K{\stackrel {\iota _{w}}{\longrightarrow }}W,$

wobei ${}\iota _{w}$ die Abbildung ${}s\rightarrow sw$ bezeichnet.

Der Kern der Nullform ist der gesamte Raum, ansonsten besitzt der Kern einer jeden Linearform ${}f\in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}$ mit ${}f\neq 0$ die Dimension ${}\dim _{K}{\left(V\right)}-1$. Dies folgt aus der Dimensionsformel. Abgesehen von der Nullform ist eine Linearform stets surjektiv.

Lemma Lemma 14.5 ändern

Es sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler ${}K$- Vektorraum und es sei ${}U\subseteq V$ ein ${}n-1$-dimensionaler Untervektorraum.

Dann gibt es eine Linearform ${}f\colon V\rightarrow K$ mit ${}U=\operatorname {kern} f$.

Beweis

Siehe Aufgabe 14.5.

$\Box$

Lemma Lemma 14.6 ändern

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und es sei ${}v\in V$ ein von ${}0$ verschiedener Vektor.

Dann gibt es eine Linearform ${}f\colon V\rightarrow K$ mit ${}f(v)\neq 0$.

Beweis

Der eindimensionale ${}K$- Untervektorraum ${}Kv\subseteq V$ besitzt ein direktes Komplement, also

${}V=Kv\oplus U\,$

mit einem Untervektorraum ${}U\subseteq V$. Die Projektion auf ${}Kv$ zu dieser Zerlegung bildet ${}v$ auf ${}1$ ab.

$\Box$

Lemma Lemma 14.7 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum, und seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$. Zu jedem ${}k$ gebe es eine Linearform

$\varphi _{k}\colon V\longrightarrow K$

mit

$\varphi _{k}(v_{k})\neq 0{\text{ und }}\varphi _{k}(v_{i})=0{\text{ für }}i\neq k.$

Dann sind die ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängig.

Beweis

Siehe Aufgabe 14.7.

$\Box$

Der Dualraum

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Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Dann heißt der Homomorphismenraum

${}{V}^{*}=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\,$

der Dualraum zu ${}V$.

Die Addition und die Skalarmultiplikation sind wie allgemein im Fall von Homomorphismenräumen definiert, also ${}(f+g)(v):=f(v)+g(v)$ und ${}(sf)(v):=s\cdot f(v)$. Bei endlichdimensionalem ${}V$ ist nach Korollar 13.12 die Dimension des Dualraumes ${}{V}^{*}$ gleich der Dimension von ${}V$.

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Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$. Dann nennt man die Linearformen

${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}\in {V}^{*}\,,$

die durch

${}v_{i}^{*}(v_{j})=\delta _{ij}={\begin{cases}1,{\text{ falls }}i=j\,,\\0,{\text{ falls }}i\neq j\,,\end{cases}}\,$

festgelegt sind, die Dualbasis zur gegebenen Basis.

Wegen Satz 10.10 ist durch die Vorschrift in der Tat jeweils eine Linearform festgelegt. Die Linearform ${}v_{i}^{*}$ ordnet einem beliebigen Vektor ${}v\in V$ die ${}i$-te Koordinate von ${}v$ bezüglich der gegebenen Basis zu. Zu ${}v=\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{j}$ ist ja

${}v_{i}^{*}(v)=v_{i}^{*}{\left(\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{i}^{*}(v_{j})=s_{i}\,.$

Es ist wichtig zu betonen, dass ${}v_{i}^{*}$ nicht nur von dem Vektor ${}v_{i}$, sondern von der gesamten Basis abhängt. Es gibt keinen „dualen Vektor“ zu einem Vektor. Dies sieht beispielsweise anders aus, wenn auf ${}V$ ein Skalarprodukt gegeben ist.

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Zur Standardbasis ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$ im ${}K^{n}$ besteht die Dualbasis aus den Projektionen auf eine Komponente, also gleich ${}e_{i}^{*}=p_{i}$ mit

$p_{i}\colon K^{n}\longrightarrow K,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto x_{i}.$

Sie heißt die Standarddualbasis.

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Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$.

Dann bildet die Dualbasis

${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}\in {V}^{*}\,$

eine Basis des Dualraums.

Beweis

Es sei

${}\sum _{j=1}^{n}a_{j}v_{j}^{*}=0\,$

mit ${}a_{j}\in K$. Wenn wir diese Linearform auf ${}v_{i}$ anwenden, ergibt sich direkt

${}a_{i}=0\,.$

Die ${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$ sind also linear unabhängig. Nach Korollar 13.12 besitzt der Dualraum die Dimension ${}n$, daher muss bereits eine Basis vorliegen.

$\Box$

Lemma Lemma 14.12 ändern

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ und der Dualbasis

${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}\in {V}^{*}\,.$

Dann gilt für jeden Vektor ${}v\in V$ die Gleichheit

${}v=\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{*}(v)v_{i}\,.$

D.h. die Linearformen ${}v_{i}^{*}$ ergeben die Skalare (Koordinaten) eines Vektors bezüglich einer Basis.

Beweis

Der Vektor ${}v$ hat eine eindeutige Darstellung

${}v=\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{j}\,$

mit ${}s_{j}\in K$. Die rechte Seite der behaupteten Gleichheit ist somit

${}\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{*}(v)v_{i}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{*}{\left(\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{j}\right)}v_{i}=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}=v\,.$

$\Box$

Lemma Lemma 14.13 ändern

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ mit der Dualbasis ${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$. Es sei ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ eine weitere Basis mit der Dualbasis ${}w_{1}^{*},\ldots ,w_{n}^{*}$ und mit

${}w_{r}=\sum _{k=1}^{n}a_{kr}v_{k}\,.$

Dann ist

${}w_{j}^{*}=\sum _{i=1}^{n}b_{ij}v_{i}^{*}\,,$

wobei ${}{\left(b_{ij}\right)}_{ij}={{\left(A^{-1}\right)}^{\text{tr}}}$ die Transponierte der inversen Matrix von ${}A={\left(a_{kr}\right)}_{kr}$ ist.

Beweis

Es ist

${}{\begin{aligned}{\left(\sum _{i=1}^{n}b_{ij}v_{i}^{*}\right)}(w_{r})&={\left(\sum _{i=1}^{n}b_{ij}v_{i}^{*}\right)}{\left(\sum _{k=1}^{n}a_{kr}v_{k}\right)}\\&=\sum _{1\leq i,k\leq n}b_{ij}a_{kr}v_{i}^{*}(v_{k})\\&=\sum _{i=1}^{n}b_{ij}a_{ir}.\end{aligned}}$

Hier steht das „Produkt“ aus der ${}j$-ten Spalte von ${}B$ und der ${}r$-ten Spalte von ${}A$, also das Produkt aus der ${}j$-ten Zeile von ${}{B^{\text{tr}}}=A^{-1}$ und der ${}r$-ten Spalte von ${}A$. Bei ${}r=j$ ist dies ${}1$ und bei ${}r\neq j$ ist dies ${}0$. Daher stimmt die angegebene Linearform mit ${}w_{j}^{*}$ überein.

$\Box$

Mit Basiswechselmatrizen kann man dies auch als

${}M_{\mathfrak {v^{*}}}^{\mathfrak {w^{*}}}={({\left(M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}\right)}^{-1})^{\text{tr}}}={(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}})^{\text{tr}}}\,$

ausdrücken.

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Wir betrachten den ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit der Standardbasis ${}e_{1},e_{2}$, seiner Dualbasis ${}e_{1}^{*},e_{2}^{*}$ und die Basis bestehend aus ${}u_{1}={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ und ${}u_{2}={\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}$. Wir wollen die Dualbasis ${}u_{1}^{*}$ und ${}u_{2}^{*}$ als Linearkombinationen der Standarddualbasis ausdrücken, also in

${}u_{1}^{*}=ae_{1}^{*}+be_{2}^{*}\,$

(bzw. in ${}u_{2}^{*}=ce_{1}^{*}+de_{2}^{*}$) die Koeffizienten ${}a$ und ${}b$ (bzw. ${}c$ und ${}d$) bestimmen. Dabei ist ${}a=u_{1}^{*}(e_{1})$ und ${}b=u_{1}^{*}(e_{2})$. Um dies berechnen zu können, müssen wir ${}e_{1}$ und ${}e_{2}$ als Linearkombination der ${}u_{1}$ und ${}u_{2}$ ausdrücken. Dies ist

${}e_{1}={\frac {3}{7}}{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}-{\frac {1}{7}}{\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}\,$

und

${}e_{2}={\frac {1}{7}}{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}+{\frac {2}{7}}{\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}\,.$

Also ist

${}a=u_{1}^{*}(e_{1})=u_{1}^{*}{\left({\frac {3}{7}}u_{1}-{\frac {1}{7}}u_{2}\right)}={\frac {3}{7}}\,$

und entsprechend

${}b=u_{1}^{*}(e_{2})=u_{1}^{*}{\left({\frac {1}{7}}u_{1}+{\frac {2}{7}}u_{2}\right)}={\frac {1}{7}}\,$

und somit ist

${}u_{1}^{*}={\frac {3}{7}}e_{1}^{*}+{\frac {1}{7}}e_{2}^{*}\,.$

Mit den gleichen Rechnungen ergibt sich

${}u_{2}^{*}=-{\frac {1}{7}}e_{1}^{*}+{\frac {2}{7}}e_{2}^{*}\,.$

Die Übergangsmatrix von ${}u^{*}$ zu ${}e^{*}$ ist daher

${}M_{\mathfrak {e^{*}}}^{\mathfrak {u^{*}}}={\begin{pmatrix}{\frac {3}{7}}&-{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{7}}&{\frac {2}{7}}\end{pmatrix}}\,.$

Die transponierte Matrix davon ist

${}{{\left(M_{\mathfrak {e^{*}}}^{\mathfrak {u^{*}}}\right)}^{\text{tr}}}={\begin{pmatrix}{\frac {3}{7}}&{\frac {1}{7}}\\-{\frac {1}{7}}&{\frac {2}{7}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&-1\\1&3\end{pmatrix}}^{-1}={\left(M_{\mathfrak {e}}^{\mathfrak {u}}\right)}^{-1}\,.$

Die umgekehrte Aufgabe, die Standarddualbasis durch ${}u_{1}^{*}$ und ${}u_{2}^{*}$ auszudrücken, ist einfacher zu lösen, da man dies aus der Darstellung der ${}u_{i}$ bezüglich der Standardbasis direkt ablesen kann. Es ist

${}e_{1}^{*}=2u_{1}^{*}+u_{2}^{*}\,$

und

${}e_{2}^{*}=-u_{1}^{*}+3u_{2}^{*}\,,$

wie man überprüft, wenn man beidseitig an ${}u_{1},u_{2}$ auswertet.

Die Spur

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Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Dann heißt

${}\operatorname {Spur} {\left(M\right)}:=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}\,$

die Spur von ${}M$.

Definition Definition 14.16 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung, die bezüglich einer Basis durch die Matrix ${}M$ beschrieben werde. Dann nennt man ${}\operatorname {Spur} {\left(M\right)}$ die Spur von ${}\varphi$, geschrieben ${}\operatorname {Spur} {\left(\varphi \right)}$.

Nach Aufgabe 14.15 ist dies unabhängig von der gewählten Basis. Die Spur ist eine Linearform auf dem Vektorraum der quadratischen Matrizen bzw. auf dem Vektorraum der Endomorphismen.

Fußnoten