Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Vorlesung 35/kontrolle

Winkeltreue Abbildungen

Definition Referenznummer erstellen

Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

zwischen euklidischen Vektorräumen ${}V$ und ${}W$ heißt winkeltreu, wenn für je zwei Vektoren ${}u,v\in V$ die Beziehung

${}\angle (\varphi (u),\varphi (v))=\angle (u,v)\,$

gilt.

Da Winkel nur für von ${}0$ verschiedene Vektoren definiert sind, müssen winkeltreue Abbildungen injektiv sein. Eine Isometrie ist insbesondere winkeltreu, da ja sowohl die Norm als auch der Winkel unter Bezug auf das Skalarprodukt definiert werden und dieses sich bei einer Isometrie nicht ändert. Weitere Beispiele für winkeltreue Abbildungen sind Streckungen um einen von ${}0$ verschiedenen Streckungsfaktor, siehe Aufgabe 35.1. Bei einer winkeltreuen Abbildung werden insbesondere zueinander orthogonale Vektoren auf orthogonale Vektoren abgebildet.

Beispiel Referenznummer erstellen

Es sei

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine ${}{\mathbb {C} }$- lineare Abbildung, die durch die Multiplikation mit der komplexen Zahl

${}w=a+b{\mathrm {i} }\neq 0\,$

gestiftet wird. Bezüglich der reellen Basis ${}1,{\mathrm {i} }$ von ${}{\mathbb {C} }=\mathbb {R} ^{2}$ wird diese Abbildung durch die reelle ${}2\times 2$- Matrix

${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$

beschrieben. Diese schreiben wir als

${}{\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}&0\\0&{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}&-{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\\{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}&{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\end{pmatrix}}\,.$

Somit liegt die Hintereinanderschaltung von einer Isometrie (einer Drehung) und einer Streckung mit dem Streckungsfaktor

${}\vert {w}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$

und insbesondere eine winkeltreue Abbildung vor.

Satz Referenznummer erstellen

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine winkeltreue lineare Abbildung auf dem euklidischen Vektorraum ${}V$.

Dann gibt es eine Isometrie

$\psi \colon V\longrightarrow V$

und eine Streckung

$\sigma \colon V\longrightarrow V$

mit

${}\varphi =\sigma \circ \psi \,.$

Beweis

Es sei

${}r=\det \varphi \,$

und es sei

${}s:={\sqrt[{n}]{\vert {r}\vert }}\,,$

wobei ${}n$ die Dimension von ${}V$ sei. Es sei ${}\sigma$ die Streckung mit dem Faktor ${}s$ und wir betrachten die Abbildung

${}\psi :=\sigma ^{-1}\circ \varphi \,.$

Diese Abbildung ist nach wie vor winkeltreu und ihre Determinante ist ${}1$ oder ${}-1$. Nach Aufgabe 33.18 ist ${}\psi$ eine Isometrie.

$\Box$

Bemerkung   Referenznummer erstellen

Bei einer winkeltreuen Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

zwischen euklidischen Vektorräumen ${}V$ und ${}W$ werden nicht nur die Winkel am Nullpunkt, sondern überhaupt alle Winkel erhalten. Für Punkte ${}P,Q,R\in V$ stimmt ja der Winkel des Dreiecks an ${}Q$ wegen

${}\angle (P,Q,R)=\angle ({\overrightarrow {QP}},{\overrightarrow {QR}})=\angle (\varphi ({\overrightarrow {QP}}),\varphi ({\overrightarrow {QR}}))=\angle ({\overrightarrow {\varphi (Q)\varphi (P)}}),{\overrightarrow {\varphi (Q)\varphi (R)}})=\angle (\varphi (P),\varphi (Q),\varphi (R))\,$

mit dem Winkel an ${}\varphi (Q)$ des Bilddreiecks ${}\varphi (P),\varphi (Q),\varphi (R)$ überein.

Abstände zwischen Mengen

Definition Referenznummer erstellen

Zu zwei nichtleeren Teilmengen ${}A,B\subseteq M$ in einem metrischen Raum ${}M$ nennt man

${}d(A,B):=\inf {\left(d(P,Q),\,P\in A,\,Q\in B\right)}\,$

den Abstand der Teilmengen ${}A$ und ${}B$.

Speziell werden wir dieses Konzept auf normierte Vektorräume und auf euklidische Vektorräume anwenden. Zu zwei Punkten ${}P,Q\in V$ ist der Abstand zwischen den Mengen ${}\{P\}$ und ${}\{Q\}$ natürlich gleich ${}d(P,Q)$.

Wir werden uns hauptsächlich mit Situationen beschäftigen, in denen das Infimum angenommen wird, also ein Minimum ist. Für lineare Objekte ist dieses Verhalten typisch.

Lemma Lemma 35.6 ändern

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum, ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum und ${}v\in V$.

Dann ist ${}p_{U}(v)$ derjenige Punkt auf ${}U$, der unter allen Punkten auf ${}U$ zu ${}v$ den minimalen Abstand besitzt.

Insbesondere ist

${}d(v,U)=d(v,p_{U}(v))\,.$

Beweis

Zu ${}u\in U$ ist nach dem Satz des Pythagoras

${}d(v,u)^{2}=d(v,p_{U}(v))^{2}+d(p_{U}(v),u)^{2}\,,$

da ja ${}p_{U}(v)-u\in U$ und ${}v-p_{U}(v)\in U^{\perp }$ aufeinander senkrecht stehen. Der Ausdruck wird minimal genau dann, wenn ${}d(p_{U}(v),u)=0$ ist, was genau bei

${}p_{U}(v)=u\,$

der Fall ist.

$\Box$

In diesem Zusammenhang nennt man ${}p_{U}(v)$ auch den Lotfußpunkt von ${}v$ auf ${}U$.

Korollar Korollar 35.7 ändern

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum, ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum und ${}v\in V$. Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{m}$ eine Orthonormalbasis von ${}U$. Dann ist

${}d(v,U)^{2}=\Vert {v}\Vert ^{2}-\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle ^{2}\,.$

Beweis

Nach Lemma 35.6 ist

${}d(v,U)=d(v,p_{U}(v))\,$

und nach Lemma 32.14 ist

${}p_{U}(v)=\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\,.$

Wir ergänzen die Orthonormalbasis zu einer Orthonormalbasis ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ von ${}V$. Also ist unter Verwendung des Satzes des Pythagoras

${}{\begin{aligned}d(v,U)^{2}&=d{\left(v,\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\right)}^{2}\\&=d{\left(\sum _{i=1}^{n}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i},\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\right)}^{2}\\&=\Vert {\sum _{i=m+1}^{n}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}}\Vert ^{2}\\&=\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}}\Vert ^{2}\\&=\Vert {v}\Vert ^{2}-\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle ^{2}.\end{aligned}}$

$\Box$

Beispiel Referenznummer erstellen

Es sei ${}J\subseteq {\{1,\ldots ,n\}}$ und ${}U=\langle e_{i},\,i\in J\rangle \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ der von dieser Auswahl an Standardvektoren aufgespannte Achsenunterraum. Sei

${}v={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Dann ist der Abstand von ${}v$ zu ${}U$ gleich

${}d(v,U)={\sqrt {\sum _{i\not \in J}v_{i}^{2}}}\,.$

Der Lotfußpunkt von ${}v$ auf ${}U$ ist

${}p_{U}(v)={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}\,$

mit

${}w_{i}={\begin{cases}v_{i},\,{\text{ falls }}i\in J,\,\\0,\,{\text{ falls }}i\not \in J\,.\end{cases}}\,$

Korollar Referenznummer erstellen

Es sei ${}a\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Vektor mit ${}\Vert {a}\Vert =1$ und

${}U={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=0\right\}}=(\mathbb {R} a)^{\perp }\,$

der durch ${}a$ als Normalenvektor definierte Untervektorraum.

Dann ist für einen Vektor ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ der Abstand zu ${}U$ gleich

${}d(U,v)=\vert {\left\langle a,v\right\rangle }\vert \,.$

Beweis

Es sei ${}a,u_{2},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von ${}\mathbb {R} ^{n}$ und

${}v=\lambda a+\sum _{i=2}^{n}c_{i}u_{i}\,.$

Dann ist

${}p_{U}(v)=\sum _{i=2}^{n}c_{i}u_{i}\,$

und nach Lemma 35.6 ist

${}d(U,v)=\Vert {v-p_{U}(v)}\Vert =\Vert {\lambda a}\Vert =\vert {\lambda }\vert \Vert {a}\Vert =\vert {\lambda }\vert \,,$

was in Verbindung mit

${}\left\langle a,v\right\rangle =\left\langle a,\lambda a+\sum _{i=2}^{n}c_{i}u_{i}\right\rangle =\left\langle a,\lambda a\right\rangle =\lambda \,$

das Resultat liefert.

$\Box$

Die bisherigen Überlegungen übertragen sich direkt auf affine Unterräume.

Beispiel Referenznummer erstellen

Es sei ${}E$ ein reeller affiner Raum über einem euklidischen Vektorraum ${}V$, ${}P\in E$ ein Punkt und ${}F\subseteq E$ ein affiner Unterraum. Bei ${}P\in F$ ist der Abstand von ${}P$ zu ${}F$ gleich ${}0$. Im Allgemeinen schreibt man

${}F=Q+U\,$

mit einem Aufpunkt ${}Q\in F$ und mit einem Untervektorraum ${}U\subseteq V$ und bestimmt das orthogonale Komplement ${}W=U^{\perp }$ von ${}U$ in ${}V$. Wenn ${}u_{1},\ldots ,u_{m}$ eine Basis von ${}U$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{k}$ eine Basis von ${}W$ ist, so gibt es eine eindeutige Darstellung

${}{\overrightarrow {PQ}}=\sum _{i=1}^{m}a_{i}u_{i}+\sum _{j=1}^{k}b_{j}w_{j}\,.$

Es ist dann

${}L=P+\sum _{j=1}^{k}b_{j}w_{j}=Q-\sum _{i=1}^{m}a_{i}u_{i}\,$

der Lotfußpunkt von ${}P$ auf ${}F$ und der Abstand von ${}P$ zu ${}L$ ist

${}d{\left(P,F\right)}=d{\left(P,L\right)}=\Vert {\sum _{j=1}^{k}b_{j}w_{j}}\Vert \,.$

Wenn die ${}w_{j}$ eine Orthonormalbasis von ${}U$ bilden, so ist dies gleich ${}{\sqrt {\sum _{j=1}^{k}b_{j}^{2}}}$.

Beispiel Referenznummer erstellen

Wir wollen in der euklidischen Ebene den Abstand des Punktes ${}P={\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}$ zu der Geraden ${}G$, die durch ${}2x-3y=7$ gegeben ist, berechnen. Die Gerade hat die Form

${}G={\left\{{\begin{pmatrix}{\frac {7}{2}}\\0\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}\,$

und ${}{\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}$ ist ein zu ${}G$ orthogonaler Vektor. Es ist

${}{\begin{pmatrix}{\frac {7}{2}}\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}\\-5\end{pmatrix}}=-{\frac {23}{26}}{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}+{\frac {14}{13}}{\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}\,.$

Somit ist der Lotfußpunkt gleich

${}{\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}+{\frac {14}{13}}{\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {80}{13}}\\{\frac {23}{13}}\end{pmatrix}}\,$

und der Abstand ist

${\frac {14}{13}}{\sqrt {13}}.$

Lemma Lemma 35.12 ändern

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und seien ${}E_{1}=P_{1}+U_{1}$ und ${}E_{2}=P_{2}+U_{2}$ nichtleere affine Unterräume mit den Untervektorräumen ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$. Es sei

${}P_{1}-P_{2}=u_{1}+u_{2}+u\,$

mit ${}u_{1}\in U_{1}$, ${}u_{2}\in U_{2}$ und ${}u\in {\left(U_{1}+U_{2}\right)}^{\perp }$.

Dann ist der Abstand ${}d(E_{1},E_{2})$ gleich ${}\Vert {u}\Vert$ und wird in den Punkten ${}P_{1}-u_{1}\in E_{1}$ und ${}P_{2}+u_{2}\in E_{2}$ angenommen.

Insbesondere steht der Verbindungsvektor zu Punkten, in denen der minimale Abstand angenommen wird, sowohl auf ${}E$ als auch auf ${}F$ senkrecht.

Beweis

Es sei also ${}P-Q=u_{1}+u_{2}+u$ mit ${}u_{1}\in U_{1}$, ${}u_{2}\in U_{2}$ und ${}u\in {\left(U_{1}+U_{2}\right)}^{\perp }$, wobei es eine solche Zerlegung immer gibt, und wobei ${}u_{1},u_{2}$ nicht eindeutig bestimmt sein müssen (falls ${}U_{1}\cap U_{2}\neq 0$ ist), aber ${}u$ eindeutig bestimmt ist. Es ist dann

${}P_{1}-u_{1}=P_{2}+u_{2}+u\,$

und dabei ist ${}Q_{1}:=P_{1}-u_{1}\in E_{1}$ und ${}Q_{2}:=P_{2}+u_{2}\in E_{2}$. Der Abstand zwischen ${}Q_{1}$ und ${}Q_{2}$ ist ${}\Vert {u}\Vert$. Für beliebige Punkte ${}R_{1}=Q_{1}+v_{1}\in E_{1}$ und ${}R_{2}=Q_{2}+v_{2}\in E_{2}$ mit ${}v_{1}\in U_{1}$ und ${}v_{2}\in U_{2}$ ist

${}{\begin{aligned}d(R_{1},R_{2})^{2}&=\Vert {R_{1}-R_{2}}\Vert ^{2}\\&=\Vert {v_{1}-v_{2}+u}\Vert ^{2}\\&=\left\langle v_{1}-v_{2}+u,v_{1}-v_{2}+u\right\rangle \\&=\left\langle v_{1}-v_{2},v_{1}-v_{2}\right\rangle +\left\langle u,u\right\rangle \\&\geq \left\langle u,u\right\rangle ,\end{aligned}}$

d.h.

${}d(R_{1},R_{2})\geq \Vert {u}\Vert \,.$

$\Box$

In der vorstehenden Aussage sind die Punkte, in denen das Minimum angenommen wird, nicht eindeutig bestimmt, man denke beispielsweise an zwei parallele Geraden in der Ebene. Eindeutigkeit liegt vor, wenn der Durchschnitt der zu ${}E,F$ gehörenden Untervektorräume gleich ${}0$ ist. Dies ist bei windschiefen Geraden der Fall.

Beispiel Beispiel 35.13 ändern

Zwei (affine) Geraden ${}G,H\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ heißen windschief, wenn sie keinen gemeinsamen Punkt haben und auch nicht parallel sind, ihre Richtungsvektoren also nicht linear abhängig sind. Dann erzeugen die Richtungsvektoren eine Ebene, und auf dieser Ebene steht ein (bis auf Streckung eindeutiger) Vektor ${}u$ senkrecht. Einen solchen Vektor, den Normalenvektor, kann man mit dem Kreuzprodukt berechnen. Sei

${}G=P+\mathbb {R} v\,$

und

${}H=Q+\mathbb {R} w\,.$

Das lineare Gleichungssystem

${}P-Q=av+bw+cu\,$

besitzt eine eindeutige Lösung ${}(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}$. Dabei sind ${}P-av\in G$ und ${}Q+bw\in H$ die Lotfußpunkte, in denen nach Lemma 35.12 der Abstand der Geraden angenommen wird. Dieser Abstand ist ${}\Vert {cu}\Vert$.

Korollar Referenznummer erstellen

Es seien

${}G=P+\mathbb {R} v\,$

und

${}H=Q+\mathbb {R} w\,$

windschiefe Geraden im ${}\mathbb {R} ^{3}$ mit Vektoren ${}v,w\in \mathbb {R} ^{3}$. Es sei ${}u$ ein normierter Vektor, der zu ${}v$ und ${}w$ senkrecht sei.

Dann ist

${}d(G,H)=\vert {\left\langle P-Q,u\right\rangle }\vert \,.$

Beweis

Wir gehen von Beispiel 35.13 aus und betrachten

${}P-Q=av+bw+cu\,.$

Mit der Cramerschen Regel erhalten wir unter Verwendung von Lemma 33.3  (5) und da ${}u$ ein lineares Vielfaches von ${}v\times w$ ist

${}{\begin{aligned}c&={\frac {\det {\begin{pmatrix}v_{1}&w_{1}&P_{1}-Q_{1}\\v_{2}&w_{2}&P_{2}-Q_{2}\\v_{3}&w_{3}&P_{3}-Q_{3}\end{pmatrix}}}{\det {\begin{pmatrix}v_{1}&w_{1}&u_{1}\\v_{2}&w_{2}&u_{2}\\v_{3}&w_{3}&u_{3}\end{pmatrix}}}}\\&={\frac {\left\langle v\times w,P-Q\right\rangle }{\left\langle v\times w,u\right\rangle }}\\&={\frac {\left\langle u,P-Q\right\rangle }{\left\langle u,u\right\rangle }}\\&=\left\langle u,P-Q\right\rangle .\end{aligned}}$

$\Box$

Beispiel Referenznummer erstellen

Es seien

${}G=P+\mathbb {R} v\,$

und

${}H=Q+\mathbb {R} w\,$

windschiefe Geraden. Wir wollen das Abstandsproblem zwischen den beiden Geraden als Extremalproblem im Sinne der höherdimensionalen Analysis verstehen. Sei

${}P={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\,$

und

${}Q={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}\,.$

Das Quadrat des Abstandes zwischen zwei Punkten

${}P'={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}\,$

und

${}Q'={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{pmatrix}}\,$

ist (mit ${}c_{i}=a_{i}-b_{i}$)

${}{\begin{aligned}d(P',Q')^{2}&={\left(c_{1}+sv_{1}-tw_{1}\right)}^{2}+{\left(c_{2}+sv_{2}-tw_{2}\right)}^{2}+{\left(c_{3}+sv_{3}-tw_{3}\right)}^{2}\\&=c_{1}^{2}+s^{2}v_{1}^{2}+t^{2}w_{1}^{2}+2sc_{1}v_{1}-2tc_{1}w_{1}-2stv_{1}w_{1}+c_{2}^{2}+s^{2}v_{2}^{2}+t^{2}w_{2}^{2}+2sa_{2}v_{2}-2tc_{2}w_{2}-2stv_{2}w_{2}+c_{3}^{2}+s^{2}v_{3}^{2}+t^{2}w_{3}^{2}+2sc_{3}v_{3}-2tc_{3}w_{3}-2stv_{3}w_{3}\\&=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}+2s{\left(c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}\right)}-2t{\left(c_{1}w_{1}+c_{2}w_{2}+c_{3}w_{3}\right)}+s^{2}{\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}\right)}+t^{2}{\left(w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}\right)}-2st{\left(v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}\right)}.\end{aligned}}$

Diesen Ausdruck kann man mit Mitteln der Analysis 2 interpretieren. Wir betrachten die durch die Geraden gegebenen Daten als fixierte Parameter, sodass ein reellwertiger funktionaler Ausdruck ${}f(s,t)$ in den beiden reellen Variablen ${}s$ und ${}t$ vorliegt, für den Extrema zu bestimmen sind. Die partiellen Ableitungen sind

${\frac {\partial f}{\partial s}}=2{\left(c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}\right)}+2s{\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}\right)}-2t{\left(v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}\right)}\,$

und

${\frac {\partial f}{\partial t}}=2{\left(c_{1}w_{1}+c_{2}w_{2}+c_{3}w_{3}\right)}+2t{\left(w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}\right)}-2s{\left(v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}\right)}\,.$

Wenn wir diese gleich ${}0$ setzen, so erhalten wir ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in den Variablen ${}s$ und ${}t$. Mit der Cramerschen Regel erhält man

${}s={\frac {\det {\begin{pmatrix}-c_{1}v_{1}-c_{2}v_{2}-c_{3}v_{3}&-v_{1}w_{1}-v_{2}w_{2}-v_{3}w_{3}\\-c_{1}w_{1}-c_{2}w_{2}-c_{3}w_{3}&w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}\end{pmatrix}}}{\det {\begin{pmatrix}v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}&-v_{1}w_{1}-v_{2}w_{2}-v_{3}w_{3}\\-v_{1}w_{1}-v_{2}w_{2}-v_{3}w_{3}&w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}\end{pmatrix}}}}\,$

und

${}t={\frac {\det {\begin{pmatrix}v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}&-c_{1}v_{1}-c_{2}v_{2}-c_{3}v_{3}\\-v_{1}w_{1}-v_{2}w_{2}-v_{3}w_{3}&-c_{1}w_{1}-c_{2}w_{2}-c_{3}w_{3}\end{pmatrix}}}{\det {\begin{pmatrix}v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}&-v_{1}w_{1}-v_{2}w_{2}-v_{3}w_{3}\\-v_{1}w_{1}-v_{2}w_{2}-v_{3}w_{3}&w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}\end{pmatrix}}}}\,.$

Wenn ${}v$ und ${}w$ normiert sind, so vereinfachen sich diese Ausdrücke zu

${}s={\frac {-\left\langle P-Q,v\right\rangle -\left\langle P-Q,w\right\rangle \left\langle v,w\right\rangle }{1-\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}}\,$

und

${}t={\frac {-\left\langle P-Q,w\right\rangle -\left\langle P-Q,v\right\rangle \left\langle v,w\right\rangle }{1-\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}}\,.$