Definiere die folgenden
(kursiv gedruckten) Begriffe.
- Der positive Teil einer Funktion
-
wobei eine Menge bezeichnet.
- Das Bildmaß unter einer messbaren Abbildung
-
von einem Maßraum in einen Messraum .
- Ein translationsinvariantes Maß auf .
- Der Limes superior zu einer reellen Folge .
- Ein
überdeckungskompakter
topologischer Raum.
- Zwei in einem Punkt einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit tangential äquivalente differenzierbare Kurven
-
(dabei sei ein offenes reelles Intervall und ).
- Die zurückgezogene Differentialform zu einer Differentialform bezüglich einer stetig differenzierbaren Abbildung
zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten
und .
- Die kanonische Volumenform auf einer orientierten riemannschen Mannigfaltigkeit .
Definiere die folgenden
(kursiv gedruckten) Begriffe.
- Der positive Teil einer Funktion
-
wobei eine Menge bezeichnet.
- Das Bildmaß unter einer messbaren Abbildung
-
von einem Maßraum in einen Messraum .
- Ein translationsinvariantes Maß auf .
- Der Limes superior zu einer reellen Folge .
- Ein
überdeckungskompakter
topologischer Raum.
- Zwei in einem Punkt einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit tangential äquivalente differenzierbare Kurven
-
(dabei sei ein offenes reelles Intervall und ).
- Die zurückgezogene Differentialform zu einer Differentialform bezüglich einer stetig differenzierbaren Abbildung
zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten
und .
- Die kanonische Volumenform auf einer orientierten riemannschen Mannigfaltigkeit .
- Es sei ein
-
endlicher
Maßraum und es sei
-
eine
Folge
von nichtnegativen
messbaren
numerischen Funktionen.
Dann gilt
-
- Für eine
messbare Funktion
-
ist genau dann
integrierbar
auf , wenn die
Hintereinanderschaltung
auf integrierbar ist. In diesem Fall gilt
-
wobei die Determinante des totalen Differentials bezeichnet.
- Es seien
offene Teilmengen,
deren Koordinaten mit bzw. mit bezeichnet seien. Es sei
-
eine
differenzierbare Abbildung
und es sei eine
-
Differentialform
auf mit der Darstellung
-
Dann besitzt die
zurückgezogene Form
die Darstellung
-
- Es sei eine
-
dimensionale
orientierte
differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand
und mit
abzählbarer Basis der Topologie,
und es sei eine
stetig differenzierbare
-
Differentialform
mit
kompaktem
Träger auf . Dann ist
-
Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)
Die Grundfläche eines Kochtopfes sei eine Kreisscheibe mit Radius cm, der Topf sei cm hoch und auf die Höhe von cm mit Wasser gefüllt. Eine Kartoffel wird in den Topf geworfen und taucht voll unter, wobei das Wasser auf eine Höhe von cm ansteigt.
a) Berechne das Volumen der Kartoffel
(rechne mit ; Einheit nicht vergessen)!
b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?
c) Handelt es sich um eine große oder um eine kleine Kartoffel?
a) Das Wasser steigt um cm, daher ist das Volumen der Kartoffel gleich
-
(in Kubikzentimetern).
b) Es wurde dabei die Formel für die Kreisfläche
(für die Grundfläche des Topfes), die Produktformel für das Maß einer Produktmenge und das Additivitätsprinzip für disjunkte Teilmengen angewendet.
c) Wegen ist die Kartoffel volumengleich zu einem Würfel, dessen Kantenlänge größer als cm ist. Die Kartoffel ist also ziemlich groß.
Berechne das
Volumen
des von den Vektoren
-
im
erzeugten Parallelotops
(in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).
Sei
-
Die Skalarprodukte haben die Werte
-
-
Die Determinante der Matrix
-
ist
-
Das Volumen des Parallelotops ist also .
Die Folge besitzt genau dann als einen Häufungspunkt, wenn es zu jedem unendlich viele Folgenglieder in gibt. Dies ist äquivalent dazu, dass es zu jedem und jedem ein gibt mit
-
Wir definieren
-
Mit dieser Bezeichnung ist
-
Die Menge ist das Urbild des abgeschlossenen Intervalls unter der messbaren Abbildung , also messbar. Daher ist für jedes die abzählbare Vereinigung messbar. Somit sind auch die abzählbaren Durchschnitte
und
messbare Teilmengen.
Berechne das Integral zur Funktion
-
über dem Einheitswürfel .
Aufgrund des Satzes von Fubini ist
a) Die Vektoren repräsentieren die Standardorientierung genau dann, wenn ihre Determinante positiv ist. Diese ist
-
und dies ist positiv genau dann, wenn ist.
b) Die entgegengesetzte Orientierung liegt genau dann vor, wenn die Determinante negativ ist, und dies ist genau bei der Fall.
Sei
-
die Einheitssphäre. Zu ist
-
eine Ebene durch den Nullpunkt, die einen Großkreis
(einen „Äquator“)
und zwei offene Halbsphären auf definiert.
a) Beschreibe zu den zugehörigen Großkreis und die beiden Halbsphären mit Gleichungen bzw. mit Ungleichungen.
b) Zeige, dass man nicht mit drei offenen Halbsphären überdecken kann.
a) Der Großkreis ist
-
und die beiden offenen Halbsphären sind
-
bzw.
-
b) Für jede offene Halbkugel und den zugehörigen Großkreis ist . Der maximale Abstand von zwei Punkten ist , und dies ist genau dann der Fall, wenn die beiden Punkte gegenüber
(antipodal) liegen, wenn also ihre Verbindungsgerade durch den Kugelmittelpunkt geht
(also bei ). Ein solches antipodale Paar liegt nicht auf einer offenen Halbsphäre, da bei und ja und daher gilt, also .
Wir nehmen nun an, dass es eine offene Überdeckung
-
mit drei offenen Halbsphären gibt
(die entsprechenden Ebenen und Großkreise seien mit
bzw. bezeichnet).
Wegen folgt
-
Der Durchschnitt enthält mindestens zwei antipodale Punkte
und
Dabei ist . Da nach der Vorüberlegung kein antipodales Punktepaar enthält, gehört einer dieser Punkte auch nicht zu und wir haben einen Widerspruch.
Aufgabe * (7 (2+3+2) Punkte)
Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen
-
und
-
und die Differentialform
-
auf dem .
a) Berechne die zurückgezogene Differentialform auf dem .
b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform zum Weg .
c) Berechne
(ohne Bezug auf b))
das Wegintegral zur Differentialform zum Weg .
a) Die zurückgezogene Differentialform ist
b) Das Wegintegral ist
c) Der verknüpfte Weg ist
-
Somit ist
Berechne die äußere Ableitung der Differentialform
-
auf dem .
Es ist
Es seien
-
die drei Eckpunkte. Wegen ist das Integral zu dieser Flächenform über gleich dem Flächeninhalt des Dreiecks. Dieses Dreieck wird von aus von den beiden Vektoren
und aufgespannt. Der Flächeninhalt ist nach der Determinantenformel für ein Parallelotop somit gleich
-
Wenn die beiden Vektoren die Standardorientierung repräsentieren, was wir von nun an annehmen, so kann man den Betrag weglassen.
Wir berechnen nun das Wegintegral zu entlang des gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Dreiecksrandes. Dabei geht der Weg von nach , dann nach und zurück zu
(dies entspricht dem entgegengesetzten Uhrzeigersinn bei der fixierten Orientierung).
Diese linearen Wege sind
(jeweils auf dem Einheitsintervall definiert)
-
-
und
-
Es ist
Entsprechend ist
-
und
-
Die Summe dieser drei Wegintegrale ist die Hälfte von
so dass die beiden Integrale übereinstimmen.
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