Lösung
- Eine Teilmenge heißt abgeschlossen, wenn das
Komplement
offen
ist.
- offenes Intervall.
Eine
Differentialgleichung
der Form
-
wobei
-
eine
Matrix
mit Einträgen ist und
-
eine Abbildung, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
- Ein Vektor
mit
-
heißt
Beobachtervektor.
- Die Abbildung heißt differenzierbar in Richtung , falls in jedem Punkt in Richtung
differenzierbar
ist. In diesem Fall heißt die Abbildung
-
die Richtungsableitung von in Richtung .
- Das Taylor-Polynom vom Grad zu in ist
-
- heißt
volumentreu,
wenn
-
für alle
ist.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die Kettenregel für differenzierbare Kurven.
- Der Satz über die Lösung zu einem Eigenvektor bei einem linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
- Der
Satz über implizite Abbildungen.
Lösung
- Es seien
und
zwei reelle Intervalle, es sei
-
eine in
differenzierbare Funktion
und es sei
-
eine in
differenzierbare Kurve
in einen
euklidischen Vektorraum
. Dann ist auch die
zusammengesetzte Kurve
-
in differenzierbar und es gilt
-
- Es sei
-
mit
-
eine
lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
und es sei
ein
Eigenvektor
zu zum Eigenwert
.
Dann ist die
Abbildung
-
()
eine
Lösung
dieses
Differentialgleichungssystems.
- Es sei offen und sei
-
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei und es sei die Faser durch . Das
totale Differential sei surjektiv.
Dann gibt es eine offene Menge
, ,
eine offene Menge und eine stetig differenzierbare Abbildung
-
derart, dass ist und eine Bijektion
-
induziert.
Beweise das Lösungsverfahren für inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen in einer Variablen.
Lösung
Lösung
Es ist zu zeigen, dass offen ist. Es sei dazu , also
.
Dann ist
-
und somit ist
-
da ja nicht zu diesem offenen Ball gehört. Also gibt es zu jedem Punkt aus eine offene Ballumgebung, die ganz in drinliegt und daher ist diese Menge offen.
Bestimme die
Länge
der Kurve
-
Lösung
Beweise den Satz über Wegintegrale bei einer Umparametrisierung.
Lösung
Es seien die Komponentenfunktionen von und die Komponentenfunktionen von . Dann gilt mit der Substitution
-
unter Verwendung von
[[Integration/Substitutionsregel/dx Version/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Integration/Substitutionsregel/dx Version/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]
Es sei
-
eine
Lösung
der zeitunabhängigen
Differentialgleichung
-
zum Vektorfeld
-
Zeige, dass auch
-
zu jedem eine Lösung ist.
Lösung
Dies folgt direkt aus
-
Lösung
Lösung
Wir betrachten die Funktion
-
Für welche
, ,
besitzt die zugehörige dreistufige
(maximale)
untere Treppenfunktion
zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?
Lösung
Es seien die Markierungen der möglichen Intervallunterteilungen. Der Flächeninhalt der zugehörigen maximalen unteren Treppenfunktion von ist
Die partiellen Ableitungen davon sind
-
Wir bestimmen die kritischen Punkte. Aus der ersten Gleichung folgt
-
(den negativen Fall kann man ausschließen).
Wir setzen
in die zweite Gleichung ein und erhalten die Bedingung
-
woraus
-
folgt. Daher ist
-
und der einzige kritische Punkt ist
-
Die Hesse-Matrix von ist
-
Im kritischen Punkt ist der Eintrag links oben negativ. Die Determinante ist
-
positiv, sodass die Hesse-Matrix negativ definit ist und daher im kritischen Punkt ein Maximum vorliegt. Da es auch in einer geeigneten
(kleinen) offenen Umgebung des abgeschlossenen Definitionsbereiches keinen weiteren kritischen Punkt gibt, liegt ein absolutes Maximum vor. Der Wert ist
Betrachte die Abbildung
-
a) Erstelle die
Jacobi-Matrix
von .
b) Bestimme die
regulären Punkte
von .
c) Zeige, dass die Bedingung
-
erfüllt.
d) Zeige, dass die Abbildung injektiv ist.
Lösung
a) Die Jacobi-Matrix ist
-
b) Für
ist der Rang der Matrix gleich und die Abbildung ist regulär, für
wird die zweite Spalte zu und der Rang der Matrix ist . Die regulären Punkte der Abbildung sind also genau die Punkte mit
.
c) Es ist
-
d) Es seien
und
-
gegeben mit
-
Wegen
-
folgt sofort
.
Wegen
-
folgt wegen der Bijektivität der dritten Potenz direkt
-
Also ist
.
Es soll eine
(quaderförmige)
Schachtel mit den Seitenlängen
angefertigt werden, deren Inhalt gleich
-
sein soll.
a) Wie müssen gewählt werden, damit der Materialaufwand für die sechs Seiten kritisch
(also extremal sein könnte)
wird?
b) Ist der Materialaufwand unter der in a) beschriebenen Situation minimal oder maximal?
c) Für die Luxusversion der Schachtel aus Teil a) soll die kleinste Seitenfläche
(vorne und hinten)
mit einer Goldfolie bedeckt werden. Die Materialkosten für eine solche Seite sind dreimal so hoch wie für eine normale Seite. Für welche Seitenlängen sind nun die Materialkosten extremal?
Lösung
a) Wir schreiben die Inhaltsbedingung als
-
und die Flächenfunktion
(bis auf den Faktor )
als
-
Die Ableitungen in einem Punkt
sind
-
und
-
Den Ansatz für die lineare Abhängigkeit schreiben wir als
-
Die Differenz von je zwei der Gleichungen führt auf
-
Wären die drei Zahlen alle untereinander verschieden, so würde sich durch kürzen sofort der Widerspruch
-
ergeben. Bei
-
ergibt sich
-
und daraus mit der zweiten Zeile
-
also
-
was außerhalb des Definitionsbereiches liegt. Die einzige Möglichkeit für einen extremalen Punkt ist also
-
(und ).
Wegen
-
ist dieser Punkt .
b) Wir arbeiten mit der Abbildung
-
Diese stiftet eine lokale Bijektion zwischen einer offenen Umgebung von und einer offenen Umgebung von der Faser von , sodass es zu untersuchen genügt, ob die Funktion
-
in ein Maximum oder ein Minimum besitzt. Es gilt
-
Das totale Differential davon ist
-
mit dem kritischen Punkt . Die Hesse-Matrix dazu ist
-
Für den kritischen Punkt ist der Eintrag links oben positiv und die Determinante ist
-
Daher ist die Matrix positiv definit und somit liegt ein lokales Minimum vor.
c) Sei
-
Die Zielfunktion ist jetzt
-
Die Lagrange-Bedingung ist somit
-
Die Differenz der ersten beiden Gleichungen ist
-
Bei
ergibt sich
-
und daraus mit
-
der Wert
-
was nicht erlaubt ist. Also ist
-
Aus
-
folgt
-
Aus
-
ergibt sich
-
Aus der Volumenbedingung
-
folgt
-
und
-
Bestimme die ersten drei Iterationen in der
Picard-Lindelöf-Iteration
für die
lineare gewöhnliche Differentialgleichung
-
mit der Anfangsbedingung
und .
Lösung
Die nullte Iteration ist die konstante Funktion
-
Die erste Iteration ist
Die zweite Iteration ist
Die dritte Iteration ist
Berechne das Integral zur Funktion
-
über dem Einheitswürfel .
Lösung
Aufgrund des Satzes von Fubini ist
Lösung