Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Arbeitsblatt 54
- Übungsaufgaben
Betrachte die Abbildung
Für welche Punkte ist regulär? Was besagt der Satz über implizite Abbildungen in dieser Situation? Wie sieht lokal die Faser in einem regulären Punkt aus? Kann es leere Fasern geben? Bestimme die Faser über .
Was besagt der Satz über implizite Abbildungen für den Fall einer stetig differenzierbaren Funktion ? Für welche Punkte sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt? Wie sieht es aus, wenn ein Polynom ist?
Was besagt der Satz über implizite Abbildungen für den Fall einer stetig differenzierbaren Funktion ? Für welche Punkte sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt?
Es seien
zwei stetig differenzierbare Funktionen, deren Ableitungen und stets positiv seien. Zeige, dass die Funktion
stetig differenzierbar und in jedem Punkt regulär ist. Man gebe explizit eine Beschreibung der Fasern von als Graph an.
Beschreibe die Fasern der Abbildung
Man gebe, falls dies möglich ist, Diffeomorphismen zwischen und den Fasern von an.
Beschreibe den Tangentialraum an die Faser in jedem regulären Punkt der Abbildung
Beschreibe die Fasern der Abbildung
Man gebe, falls dies möglich ist, Diffeomorphismen zwischen offenen Intervallen und (möglichst großen) offenen Teilmengen der Fasern von an.
Kommentar:
Den Graphen dieser Funktion kann man sich als runde Schale vorstellen, die auf der --Ebene steht und nur im Punkt berührt (sie wird aber immer breiter und ist unendlich hoch). Eine Faser der Funktion ist dann die Schnittmenge dieser Schale mit einer horizontalen Ebene (parallel zur --Ebene) in einer festen Höhe. Für positive Höhen ist ein Schnitt durch die Schale ein Kreis. In der Höhe Null also die --Ebene selbst, trifft nur den einen Punkt der Schale, der, der diese berührt. In negativen Höhen wird die Schale gar nicht getroffen, die Fasern sind dann leer. Mathematisch ausgedrückt ist für festes (oben als Höhe bezeichnet) die Faser über (oben als Schnittmenge in der Höhe bezeichnet) gegeben durch die Menge
Für sieht man durch Wurzelziehen, dass die Kreisgleichung ist. Demnach sind die Fasern dann Kreise um den Ursprung mit Radius . Da aufgrund der Quadrate nie negativ wird, sind die Fasern für negative leer. Die Frage nach den Diffeomorphismen braucht hierfür also nicht beantwortet werden. Für müssen und null sein. Die Faser besteht demnach nur aus dem Punkt . Damit eine Abbildung von einem Intervall nach bijektiv (das ist ein Diffeomorphismus) sein kann, darf nur ein Punkt sein. Dann ist aber nicht mehr offen und die Definition eines Diffeomorphismus nicht mehr möglich. Das passt übrigens gut in den Zusammenhang mit Satz 54.4 über Implizite Abbildungen. Unsere Abbildung ist differenzierbar. Das totale Differential von ist gegeben durch und damit regulär genau dann wenn . Damit ist er auch im nicht anwendbar und oben haben wir direkt gesehen, dass auch kein Diffeomorphismus existieren kann. (Achtung! Nur weil der Satz nicht anwendbar ist, heißt es nicht, dass es so einen Diffeomorphismus nicht geben kann. Er ist nämlich von der Bauart, wenn gewisse Voraussetzungen erfüllt sind, dann existiert ein Diffeomorphismus.) Das totale Differential von ist aber regulär in jedem Punkt und von daher ist der Satz anwendbar für jede Faser über . Für festes und jedem Punkt P aus der Faser existieren offene Mengen , , und und ein Diffeomorphismus . Dieser kann jetzt durch lokales Auflösen gefunden werden. Wenn beispielsweise , dann ist . Die Faser über bzw. die Faser, die dann durch geht ist der Kreis mit Radius , bzw. die Menge
Lokal um kann ich diese dann nach auflösen zu . Diese Funktion ist diffeomorph in einem offenen Intervall um , genauer . Was wir hier gemacht haben, ist den oberen Halbkreis durch den Graph von dargestellt. So viel dazu Diffeomorphismen zu finden. Jetzt sollen wir aber Diffeomorphismen finden, die möglichst große offene Teilmengen der Fasern abdecken abdecken. Oben haben wir nur den Halbkreis abgedeckt. Beispiel 53.6 zeigt aber, dass der gesamte Kreis (die gesamte Faser), bis auf einen Punkt getroffen werden kann. Dort werden trigonometrische Funktionen für den Diffeomorphismus verwendet. Es muss beachtet werden, dass wir den dortigen Diffeomorphismus hier für festen Radius verwenden können.
Beschreibe den Tangentialraum an die Faser in jedem regulären Punkt der Abbildung
Es sei
Man fertige eine Skizze an, die die Fasern, die Tangentialräume und lokale Diffeomorphismen zwischen Tangentialraum und Faser sichtbar macht.
Es sei
Man fertige Skizzen für den (1) Graph und (2) die Fasern und die Tangentialräume dieser Abbildung an.
Es sei
eine stetige Abbildung und die Faser über . Zeige, dass es auch eine stetige Abbildung
derart gibt, dass die Faser von über einem Punkt ist.
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und ein Untervektorraum. Zeige, dass es eine lineare Abbildung
in einen weiteren reellen endlichdimensionalen Vektorraum derart gibt, dass die Faser über ist und dass in jedem Punkt regulär ist.
Ein Fußballfeld soll in einen Park mit Erhebungen und mit Senken umgewandelt werden. Dabei sollen die Linien unverändert bleiben und alle anderen Punkte sollen ihre Höhe ändern. Ist dabei jede Vorgabe, welche umrandeten Gebiete erhöht oder gesenkt werden sollen, möglich? Ist jedes solche Vorhaben durch eine stetige oder eine differenzierbare Höhenfunktion durchführbar? Können im differenzierbaren Fall alle Punkte regulär sein?
Es sei offen und
eine stetig differenzierbare Abbildung, die im Punkt ein surjektives totales Differential besitze. Es sei
(mit offen) ein lokaler Diffeomorphismus auf die Faser durch , bei dem auf abgebildet wird. Zeige, dass man den Tangentialraum an die Faser durch auch als
beschreiben kann.
Kommentar:
Nach Definition des Tangentialraums ist er in einem Punkt definiert, in dem das totale Differential der surjektiv ist und gehört zu der Faser durch . Insbesondere ist wegen der Surjektivität dann ein regulärer Punkt und es muss sein. Der Tangentialraum an in ist gegeben durch (in der affinen Darstellung wie in der Vorlesung 54 nach Definition 54.6 besprochen)
Jetzt ist ein Diffeomorphismus gegeben, dessen Bild die Faser in einer Umgebung um ist. Der Punkt, der von ihr auf abgebildet wird, wird genannt, d.h. . Wir sollen nun zeigen, dass der obige Tangentialraum mit Hilfe des Differentials von im Punkt beschrieben werden kann. Intuitiv kann es schnell eingesehen werden, da bereits in der Vorlesung der Tangentialraum einer Faser im entsprechenden Punkt als die lineare Approximation dieser Faser nahe des Punktes verstanden werden kann. Jetzt beschreibt gerade die Faser nahe und das totale Differential einer Funktion haben wir als lineare Approximation dieser Funktion nahe des Punktes kennengelernt. Von daher macht es Sinn, dass der Tangentialraum und das totalen Differntial von eng zusammen hängen. Wir machen das jetzt aber etwas exakter. Wir wollen zeigen, dass der obige Tangentialraum auch durch
gegeben ist. Das heißt, die Vektoren aus dem Kern von werden durch Vektoren aus dem Bild von ersetzt. Zwei Fragen stellen sich nun. Sind Bildvektoren von immer Kernvektoren von ? Und wenn ja, sind dadurch alle Kernvektoren beschrieben, oder gibt es welche die nicht durch Abbilden mit getroffen werden? Zur ersten Frage nutzen wir, dass in die Faser von abbildet. Da ausgewertet an einem beliebigen Punkt immer den selben Wert ergibt, sagen wir , haben wir
für alle und deshalb wegen der Kettenregel insbesondere
also die Nullabbildung. Jeder Bildvektor von wird von auf Null geschickt und ist deshalb im Kern von . Dass das nun auch alle Vektoren im Kern abdeckt folgt daraus, dass ein Diffeomorphismus ist. Aus dieser Eigenschaft folgt, dass regulär und als Abbildung von injektiv sein muss (wir haben ). Das Bild von hat demnach Dimension . Welche Dimension hat der Kern von ? Sind wir dann fertig?
Die nächste Aufgabe knüpft an Aufgabe 36.24 an.
Im Nullpunkt befinde sich die Pupille eines Auges (oder eine Linse) und die durch bestimmte Ebene sei die Netzhaut (oder eine Fotoplatte). Bestimme die Abbildung
die das Sehen (oder Fotografieren) beschreibt (d.h. einem Punkt des Halbraumes wird durch den Lichtstrahl ein Punkt der Netzhaut zugeordnet). Ist diese Abbildung differenzierbar? Für welche Punkte ist diese Abbildung regulär, wie sehen die Fasern aus?
Wir betrachten die Abbildung
Bestimme die regulären Punkte, die Fasern, das Bild und das Bild aller regulären Punkte dieser Abbildung.
Beschreibe den Tangentialraum an die Faser in jedem regulären Punkt der Abbildung
Wir betrachten die Abbildung
a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung . Zeige, dass regulär ist.
b) Beschreibe für den Punkt den Tangentialraum an die Faser von durch .
c) Man gebe für einen lokalen Diffeomorphismus zwischen einem offenen Intervall und einer offenen Umgebung von in der Faser durch an.
Es seien und Mengen und ihre Produktmenge. Beschreibe die Faser der Projektion
Seien und Mengen und seien
Abbildungen. Zu einem Punkt sei die Faser von über . Zeige, dass die Faser der Produktabbildung über gleich ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Wir betrachten die Funktion
Zeige, dass die Faser durch den Punkt sich lokal durch eine differenzierbare Kurve
mit parametrisieren lässt, und bestimme die möglichen Werte der Ableitung .
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme den Tangentialraum an die Faser im Punkt der Abbildung
und zwar sowohl durch lineare Gleichungen als auch durch eine parametrisierte Gerade.
Aufgabe (4 Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
im Punkt . Man gebe eine differenzierbare Abbildung
an, wobei eine möglichst große offene Teilmenge des Tangentialraumes an die Faser von durch ist, die eine Bijektion zwischen und stiftet ( offen).
Aufgabe (4 Punkte)
Es seien
stetige Abbildungen und seien und Fasern dieser Abbildungen, d.h. es sei und (für gewisse ). Zeige, dass es eine stetige Abbildung
und ein derart gibt, dass ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (5 Punkte)
Zeige, dass die Fasern der Abbildung
in jedem Punkt lokal homöomorph zu einem offenen reellen Intervall sind. D.h. dass es zu jedem Punkt eine offene Umgebung , ein offenes Intervall und eine stetige Bijektion
gibt (wobei die Faser von durch bezeichnet), deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.
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