Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 20/kontrolle



Aufgaben

Bestimme auf der projektiven Geraden die Divisoren zu den folgenden meromorphen Funktionen und meromorphen Differentialformen.

  1. und .
  2. und .
  3. und .


Es sei eine riemannsche Fläche und eine meromorphe Differentialform auf . Zeige, dass genau dann holomorph ist, wenn der zugehörige Divisor effektiv ist.


Aufgabe Aufgabe 20.3 ändern

Es sei eine riemannsche Fläche. Zeige, dass die Divisoren zu meromorphen Differentialformen folgenden Eigenschaften erfüllen.

  1. Die Divisoren zu meromorphen Differentialformen sind linear äquivalent.
  2. Für eine meromorphe Differentialform und eine meromorphe Funktion ist
  3. Für eine nichtkonstante meromorphe Funktion gilt für Punkte aus dem Träger des Hauptdivisors die Beziehung

    Für Punkte außerhalb des Trägers gilt die Abschätzung


Für die beiden folgenden Aufgaben siehe auch Lemma 31.7 und Satz 31.8.

Zeige, dass für eine endliche holomorphe Abbildung

zwischen riemannschen Flächen und und einer holomorphen Differentialform auf mit dem zugehörigen Divisor der zurückgezogene Divisor im Allgemeinen nicht der Divisor zur zurückgezogenen Differentialform ist.


Den Rückzug einer meromorphen Differentialform kann man wie im holomorphen Fall lokal definieren.

Zeige, dass für eine endliche holomorphe Abbildung

zwischen kompakten riemannschen Flächen und und einer meromorphen Differentialform auf mit dem zugehörigen Divisor der zurückgezogene Divisor im Allgemeinen nicht der Divisor (und auch nicht die Divisorklasse) zur zurückgezogenen Differentialform ist.


Wenn in den Aufgaben von einem beringten Raum gesprochen wird, so darf man sich gerne auf eine riemannsche Fläche mit der Garbe der holomorphen Funktionen beschränken.

Es sei ein - Modul auf einem beringten Raum . Zeige, dass zu jedem Punkt der Halm ein - Modul ist.


Es seien und - Moduln auf einem beringten Raum . Zeige, dass dann auch die direkte Summe ein -Modul ist.


Es sei ein - Modul auf einem beringten Raum und ein - Untermodul. Zeige, dass die Quotientengarbe in natürlicher Weise ein -Modul ist.


Es sei ein beringter Raum und sei ein - Modul auf . Zeige, dass globale Schnitte Anlass zu einem eindeutig bestimmten Modulhomomorphismus

geben.


Es sei ein beringter Raum und seien und Modulgarben auf . Es sei

ein Garbenmorphismus und es sei eine offene Überdeckung. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Wenn die Abbildungen

    für alle mit der Addition verträglich sind, so gilt dies auch für

  2. Wenn die

    für alle mit den -Skalarmultiplikationen verträglich sind, so gilt dies auch für

  3. Wenn die

    - Modulhomomorphismen für alle sind, so gilt dies auch für .


Es sei eine invertierbare Garbe auf einem beringten Raum . Zeige, dass die duale Garbe ebenfalls invertierbar ist.


Es sei und invertierbare Garben auf einem beringten Raum . Zeige, dass die Tensorierung ebenfalls invertierbar ist.


Es seien und invertierbare Garben auf einem beringten Raum und sei ein surjektiver Modulhomomorphismus. Zeige, dass ein Isomorphismus ist.


Zeige, dass die Halme zu einer beliebigen invertierbaren Garbe auf einer beliebigen riemannschen Fläche in einem beliebigen Punkt stets zueinander isomorph sind.


Es sei eine riemannsche Fläche, ein Divisor und die zugehörige invertierbare Garbe. Zeige, dass genau dann effektiv ist, wenn einen nichttrivialen globalen Schnitt besitzt.


Zeige, dass ein Divisor auf einer riemannschen Fläche genau dann ein kanonischer Divisor ist, wenn die zugehörige invertierbare Garbe isomorph zur Garbe der holomorphen Differentialformen ist.


Aufgabe * Aufgabe 20.17 ändern

Zeige, dass auf einer riemannschen Fläche jede invertierbare Untergarbe der Garbe der meromorphen Funktionen von einem Divisor herrührt.


Aufgabe * Aufgabe 20.18 ändern

Es sei ein Punkt der projektiven Geraden und .

  1. Zeige, dass die zugehörige invertierbare Garbe unabhängig vom Punkt ist. Wir bezeichnen sie mit .
  2. Bestimme eine Basis des Vektorraumes als Untervektorraum von
  3. Bestimme die Dimension von .


Aufgabe Aufgabe 20.19 ändern

Es sei eine zusammenhängende riemannsche Fläche und ein Divisor auf . Zu betrachten wir die invertierbaren Garben (als Untergarben der Garbe der meromorphen Funktionen). Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Mit und ist .
  2. Die Vereinigung ist ein Unterring von .
  3. Es sei ein effektiver Divisor auf mit den Trägerpunkten . Dann ist


Es sei eine zusammenhängende riemannsche Fläche und ein Divisor auf . Zu betrachten wir die invertierbaren Garben (als Untergarben der Garbe der meromorphen Funktionen). Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Mit und ist .
  2. Die direkte Summe ist eine kommutative - Algebra.
  3. Die Algebra ist ein Unterring des Polynomrings .