Ein
metrischer Raum
ist dadurch ausgezeichnet, dass es in ihm eine Abstandsfunktion gibt, und dass dadurch zwei Punkte „näher“ zueinander liegen können als zwei andere Punkte. Bei einer Abbildung
zwischen zwei metrischen Räumen kann man sich fragen, inwiefern der Abstand im Werteraum durch den Abstand im Definitionsraum kontrollierbar ist. Sei und der Bildpunkt. Man möchte, dass für Punkte , die „nahe“ an sind, auch die Bildpunkte nahe an sind. Um diese intuitive Vorstellung zu präzisieren, sei ein vorgegeben. Dieses repräsentiert eine „gewünschte Zielgenauigkeit“. Die Frage ist dann, ob man ein finden kann
(eine „Startgenauigkeit“)
mit der Eigenschaft, dass für alle mit die Beziehung gilt. Dies führt zum Begriff der stetigen Abbildung.
eine
Abbildung
und
.
Die Abbildung heißt stetig in, wenn für jedes
ein
derart existiert, dass
gilt. Die Abbildung heißt stetig, wenn sie stetig in für jedes
ist.
Statt mit den abgeschlossenen Ballumgebungen könnte man hier genauso gut mit den offenen Ballumgebungen arbeiten. Die einfachsten Beispiele für stetige Abbildungen sind konstante Abbildungen, die Identität eines metrischen Raumes und die Inklusion einer mit der induzierten Metrik versehenen Teilmenge eines metrischen Raumes. Siehe dazu die Aufgaben.
Die Äquivalenz von (1) und (2) ist klar.
Es sei nun (2) erfüllt und sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Wir müssen zeigen, dass
ist. Dazu sei
gegeben. Wegen (2) gibt es ein mit der angegebenen Eigenschaft und wegen der Konvergenz von gegen gibt es eine natürliche Zahl derart, dass für alle
die Abschätzung
gilt. Nach der Wahl von ist dann
sodass die Bildfolge gegen konvergiert.
Es sei (3) erfüllt und
vorgegeben. Wir nehmen an, dass es für alle
Elemente
gibt, deren Abstand zu maximal gleich ist, deren Wert unter der Abbildung aber zu einen Abstand größer als besitzt. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche
, .
D.h. für jede natürliche Zahl gibt es ein
mit
Diese so konstruierte Folge konvergiert gegen , aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen , da der Abstand der Bildfolgenwerte zu zumindest ist. Dies ist ein Widerspruch zu (3).
Die Äquivalenz der ersten drei Formulierungen folgt direkt aus
Lemma 34.2.
Es sei (1) erfüllt und eine offene Menge
gegeben mit dem Urbild
.
Sei
ein Punkt mit dem Bildpunkt
.
Da offen ist, gibt es nach Definition ein
mit
.
Nach (2) gibt es ein
mit
.
Daher ist
und wir haben eine offene Ballumgebung von innerhalb des Urbilds gefunden. Deshalb ist offen.
Es sei (4) erfüllt und
mit
und
vorgegeben. Da der offene Ball offen ist, ist wegen (4) auch das Urbild offen. Da zu dieser Menge gehört, gibt es ein
mit
Dies folgt am einfachsten aus der Charakterisierung von stetig mit offenen Mengen, siehe
Satz 34.3.
Bei einer bijektiven stetigen Abbildung zwischen metrischen Räumen ist die Umkehrfunktion nicht automatisch stetig, siehe
Aufgabe 34.14
und
Aufgabe 34.15.
Die Abbildung links ist stetig aufgrund von
Lemma 34.8.
Die rechte Abbildung ist stetig aufgrund von
Lemma 34.7.
Daher ist wegen
Lemma 34.4
auch die Gesamtabbildung stetig. Die Gesamtabbildung ist aber die Addition der beiden Funktionen. Für die Multiplikation verläuft der Beweis gleich, für die Negation und die Division muss man zusätzlich
Lemma 34.6
heranziehen und
(für die Division)
das Diagramm
Eine komplex-lineare Abbildung ist auch reell-linear, und die euklidische Metrik hängt nur von der reellen Struktur ab. Wir können also
annehmen. Aufgrund von
Lemma 34.8
können wir
annehmen. Die Abbildung sei durch
mit
gegeben. Die Nullabbildung ist konstant und daher stetig, also sei
.
Es sei
und ein
vorgegeben. Für alle
mit
ist insbesondere
für alle und daher ist
Polynomiale Funktionen
Wir haben schon Polynome in ein und in zwei Variablen
(beispielsweise bei einfachen Differentialgleichungen)
verwendet. Die folgende Definition verwendet Multiindex-Schreibweise, um Polynomfunktionen in beliebig
(endlich)
vielen Variablen einzuführen. Dabei steht ein Index für ein Tupel