Kurs:Differentialgeometrie/4/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 0 0 4 5 4 0 4 6 2 6 4 10 10 0 61




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Weingartenabbildung in zu einem Punkt auf einer orientierten differenzierbaren Hyperfläche .
  2. Eine reelles Vektorbündel vom Rang über einem topologischen Raum .
  3. Das Wegintegral zu einer -Differentialform auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit bezüglich einer stetig differenzierbaren Kurve .
  4. Eine positive Volumenform auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit .
  5. Eine geschlossene Differentialform auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit .
  6. Die tangentiale Beschleunigung einer zweifach stetig differenzierbaren Kurve auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit .


Lösung

  1. Es sei ein Einheitsnormalenfeld auf , das die Orientierung festlegt. Dann nennt man

    die Weingartenabbildung in .

  2. Ein reelles Vektorbündel vom Rang ist ein topologischer Raum zusammen mit einer stetigen Abbildung derart, dass jede Faser ein - dimensionaler reeller Vektorraum ist und dass es eine offene Überdeckung und Homöomorphismen

    über gibt, die in jeder Faser einen linearen Isomorphismus

    induzieren.

  3. Das Wegintegral ist durch

    definiert.

  4. Eine - Differentialform auf heißt eine positive Volumenform, wenn für jede Karte

    (mit und Koordinatenfunktionen ) in der lokalen Darstellung der Differentialform

    die Funktion überall positiv ist.

  5. Eine differenzierbare Differentialform auf heißt geschlossen, wenn ihre äußere Ableitung ist.
  6. Man nennt die die tangentiale Beschleunigung von , wobei die Projektion vom Levi-Civita-Zusammenhang herrührt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Normalkrümmung.
  2. Die Formel für die Berechnung des kanonischen Volumens auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit in einer Karte.
  3. Der Satz von Stokes für Mannigfaltigkeiten mit Rand.


Lösung

  1. Es sei offen, eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei . Es sei eine Normalebene durch an . Dann ist die Normalkrümmung von in gleich der Krümmung der ebenen Kurve im Punkt .
  2. Es sei eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit und die kanonische Volumenform. Es sei

    eine orientierte Karte mit

    offen mit Koordinaten mit der metrischen Fundamentalmatrix und . Dann ist

    Für eine messbare Teilmenge ist

  3. Es sei eine - dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand und mit abzählbarer Basis der Topologie, und es sei eine stetig differenzierbare - Differentialform mit kompaktem Träger auf . Dann ist


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen Krümmung und Einheitsnormalenvektor einer bogenparametrisierten ebenen Kurve.


Lösung

Die erste Aussage folgt unmittelbar aus der Definition

Aus

folgt

daher steht senkrecht auf und ist linear abhängig zu . Somit ist

und somit ist


Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

Wir betrachten auf der zweidimensionalen Einheitssphäre das tangentiale Vektorfeld

  1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu auf dem .
  2. Bestimme für den Punkt eine Matrix für die Abbildung

    bezüglich einer geeigneten Basis.

  3. Bestimme für den Punkt eine Matrix für die Abbildung

    bezüglich einer geeigneten Basis.


Lösung

  1. Die Jacobi-Matrix ist
  2. Als Normalenfeld nehmen wir , in bilden und eine Basis des Tangentialraumes. Es ist

    und

    Dabei ist ein Vielfaches zum Normalenvektor und daher ist seine orthogonale Projektion auf den Tangentialraum ebenfalls der Nullvektor. Die Abbildung ist also die Nullabbildung.

  3. In bilden und eine Basis des Tangentialraumes. Es ist

    und

    Beide Bildvektoren sind bereits tangential zu in . Eine beschreibende Matrix zu ist


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten die Ellipse

  1. Definiere eine surjektive stetig differenzierbare Abbildung .
  2. Beschreibe einen Diffeomorphismus zwischen der Sphäre und .


Lösung

Wir arbeiten mit der Beschreibung

  1. Die Abbildung

    ist als Abbildung in den stetig differenzierbar und das Bild liegt auf . Daher ist sie auch als Abbildung nach stetig differenzierbar. Die Surjektivität wird in (2) mitbewiesen.

  2. Wir betrachten die Abbildung

    Diese ist als Einschränkung einer bijektiven linearen Abbildung des stetig differenzierbar und injektiv und landet (aufgrund der expliziten Gleichungen) in der Tat in . Sie ist auch surjektiv, da man direkt die Umkehrabbildung

    angeben kann. Da die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreisen surjektiv ist, folgt, dass auch die in (1) angegebene Abbildung surjektiv ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein stetiges Vektorfeld auf an, das nur eine Nullstelle besitzt.


Lösung

Wir betrachten auf dem das stetige Vektorfeld , das durch

gegeben sei. Dieses hat keine Nullstelle und ist stetig. Wir transportieren dieses Vektorfeld mittels der stereographischen Projektion auf und ergänzen es im Nordpol durch den Wert . Wir behaupten, dass dieses Vektorfeld stetig ist. Dazu sei sei eine Folge auf , die gegen konvergiert. Dabei können wir direkt annehmen, dass alle sind. Das Kartenbild dieser Folge ist

und da gegen den Nordpol konvergiert, divergiert bestimmt gegen . Daher konvergiert die Folge

gegen .


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein Verklebungsdatum , , für topologische Räume gegeben. Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten topologischen Raum , eine offene Überdeckung und Homöomorphismen derart gibt, dass

ist und

gilt.


Lösung

Es sei die disjunkte Vereinigung der . Wir definieren auf eine Äquivalenzrelation , wobei wir Punkte und als äquivalent ansehen, wenn , und ist. Die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation sind dabei durch die Kozykelbedingung gesichert, siehe Aufgabe . (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)). Wir setzen

und versehen mit der Quotiententopologie. Die Verknüpfungen

sind die , und sind die Bilder dieser Abbildungen. Daher liegen Homöomorphismen vor. Dabei ist zu

genau dann, wenn ist, da genau in diesem Fall mit identifiziert wird. Daher ist . Die Kommutativität des Diagramms

folgt ebenso.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, eine differenzierbare Kurve in und eine differenzierbare - Form auf . Zeige, dass

ist.


Lösung

Es ist eine -Form auf und das überträgt sich auf . Auf einer eindimensionalen Mannigfaltigkeit sind aber alle -Formen gleich .


Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Es sei eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit zumindest zwei Punkten.

  1. Zeige, dass eine exakte stetige - Differentialform auf zumindest zwei Nullstellen besitzt.
  2. Zeige, dass dies für eine geschlossene Differentialform nicht gelten muss.


Lösung

  1. Eine exakte Differentialform kann man als

    mit einer differenzierbaren Funktion

    ansetzen. Wenn konstant ist, ist und die Aussage ist klar. Sei also nicht konstant. Nach Fakt ***** nimmt die stetige Funktion ein globales Maximum und ein globales Minimum an, sagen wir in den Punkten bzw. . Nach Aufgabe ***** ist dann

  2. Wir betrachten auf der kompakten eindimensionalen Sphäre die Differentialform

    Dies ist in der Tat eine Differentialform auf dem Kreis, da tangential zum Ortsvektor ist. Diese Form ist geschlossen, da wir in der Dimension sind. Sie hat keine Nullstelle, da auf dem Kreis nicht und gleichzeitig sind.


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit mit Rand, deren Rand aus (einer disjunkten Vereinigung von) unendlich vielen besteht.


Lösung

Die Funktion

läuft an den beiden Grenzen gegen unendlich, der Graph zu ist diffeomorph zu und damit auch zu . Wir betrachten nun zu die entsprechende Funktion, deren Definitonsbereich um verschoben wird (also mit dem Definitionsbereich ). Es sei der zugehörige Graph und der zugehörige offene (!) Epigraph. Wir setzen

Diese ist eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit mit Rand und der Rand ist die disjunkte Vereinigung der .


Aufgabe (10 Punkte)

Beweise den Satz über die Partition der Eins.


Lösung

Nach Lemma 22.9 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) können wir davon ausgehen, dass eine offene Überdeckung aus Kartengebieten , , ( abzählbar) mit

und mit Ballumgebungen

(mit ) vorliegt derart, dass auch die eine Überdeckung von bilden und dass jeder Punkt nur in endlich vielen der und insbesondere nur in endlich vielen dieser enthalten ist. Auf betrachten wir die Funktion , die durch

definiert ist. Diese Funktion hat genau auf einen positiven Wert und ihr Träger ist . Eine Betrachtung auf den beiden offenen Teilmengen (die überdecken) und zeigt, dass unendlich oft differenzierbar ist. Wir definieren eine Funktion

durch

Diese Funktion ist stetig differenzierbar auf , da der „Streifen“ einen glatten Übergang erlaubt. Wir setzen

wobei dies für jeden Punkt eine endliche Summe ist, da der Träger von in

liegt. Diese Funktion ist stetig differenzierbar auf und überall positiv, da die auf den überdeckenden Mengen positiv sind. Dann bilden die

die gesuchte Partition der Eins.


Aufgabe (10 (2+6+2) Punkte)

Wir betrachten die - Differentialform

auf der Einheitskugel .

a) Zeige, dass das Dreifache der Standardvolumenform auf der Kugel ist.

b) Zeige, dass die Standardflächenform auf der Einheitssphäre ist.

c) Berechne die Kugeloberfläche aus dem Kugelvolumen mit dem Satz von Stokes.


Lösung

a) Es ist

wobei wir verwendet haben, dass sich das Vorzeichen bei der Vertauschung von Faktoren im Dachprodukt ändert.

b) Für einen Punkt und zwei orthonormale, (zusammen mit ) die Orientierung repräsentierende Tangentialvektoren und ist nach [[Dachprodukt/Natürliche Dualität/Endlichdimensional/Fakt|Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Dachprodukt/Natürliche Dualität/Endlichdimensional/Fakt/Faktreferenznummer (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))]]


Die Determinante eines die Orientierung repräsentierenden Orthonormalsystems ist aber . Also erfüllt die eingeschränkte Differentialform die Eigenschaft, die die Standardvolumenform charakterisiert.

c) Die Oberfläche der Kugel ist unter Verwendung von a), b), des Satzes von Stokes und des Kugelvolumens gleich


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung