Kurs:Differentialgeometrie/4/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Punkte | 3 | 3 | 0 | 0 | 4 | 5 | 4 | 0 | 4 | 6 | 2 | 6 | 4 | 10 | 10 | 0 | 61 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Weingartenabbildung in zu einem Punkt auf einer orientierten differenzierbaren Hyperfläche .
- Eine reelles Vektorbündel vom Rang über einem topologischen Raum .
- Das Wegintegral zu einer -Differentialform auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit bezüglich einer stetig differenzierbaren Kurve .
- Eine positive Volumenform auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit .
- Eine geschlossene Differentialform auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit .
- Die tangentiale Beschleunigung einer zweifach stetig differenzierbaren Kurve auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit .
- Es sei ein
Einheitsnormalenfeld
auf , das die Orientierung festlegt. Dann nennt man
die Weingartenabbildung in .
- Ein
reelles Vektorbündel
vom Rang ist ein topologischer Raum zusammen mit einer
stetigen Abbildung
derart, dass jede
Faser
ein
-
dimensionaler
reeller Vektorraum
ist und dass es eine
offene Überdeckung
und
Homöomorphismen
über gibt, die in jeder Faser einen linearen Isomorphismus
induzieren.
- Das Wegintegral ist durch
definiert.
- Eine
-
Differentialform
auf heißt eine positive Volumenform, wenn für jede
Karte
(mit und Koordinatenfunktionen ) in der lokalen Darstellung der Differentialform
die Funktion überall positiv ist.
- Eine differenzierbare Differentialform auf heißt geschlossen, wenn ihre äußere Ableitung ist.
- Man nennt die die tangentiale Beschleunigung von , wobei die Projektion vom Levi-Civita-Zusammenhang herrührt.
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Normalkrümmung.
- Die Formel für die Berechnung des kanonischen Volumens auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit in einer Karte.
- Der Satz von Stokes für Mannigfaltigkeiten mit Rand.
- Es sei offen, eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei . Es sei eine Normalebene durch an . Dann ist die Normalkrümmung von in gleich der Krümmung der ebenen Kurve im Punkt .
- Es sei eine
orientierte
riemannsche Mannigfaltigkeit
und die
kanonische Volumenform.
Es sei
eine orientierte Karte mit
offen mit Koordinaten mit der metrischen Fundamentalmatrix und . Dann ist
Für eine messbare Teilmenge ist
- Es sei eine
-
dimensionale
orientierte
differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand
und mit
abzählbarer Basis der Topologie,
und es sei eine
stetig differenzierbare
-
Differentialform
mit
kompaktem
Träger auf . Dann ist
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Beweise den Satz über die Beziehung zwischen Krümmung und Einheitsnormalenvektor einer bogenparametrisierten ebenen Kurve.
Die erste Aussage folgt unmittelbar aus der Definition
Aus
folgt
daher steht senkrecht auf und ist linear abhängig zu . Somit ist
und somit ist
Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)
Wir betrachten auf der zweidimensionalen Einheitssphäre das tangentiale Vektorfeld
- Bestimme die Jacobi-Matrix zu auf dem .
- Bestimme für den Punkt
eine Matrix für die Abbildung
bezüglich einer geeigneten Basis.
- Bestimme für den Punkt
eine Matrix für die Abbildung
bezüglich einer geeigneten Basis.
- Die Jacobi-Matrix ist
- Als Normalenfeld nehmen wir , in
bilden
und
eine Basis des Tangentialraumes. Es ist
und
Dabei ist ein Vielfaches zum Normalenvektor und daher ist seine orthogonale Projektion auf den Tangentialraum ebenfalls der Nullvektor. Die Abbildung ist also die Nullabbildung.
- In
bilden
und
eine Basis des Tangentialraumes. Es ist
und
Beide Bildvektoren sind bereits tangential zu in . Eine beschreibende Matrix zu ist
Aufgabe (4 (2+2) Punkte)
Wir betrachten die Ellipse
- Definiere eine surjektive stetig differenzierbare Abbildung .
- Beschreibe einen Diffeomorphismus zwischen der Sphäre und .
Wir arbeiten mit der Beschreibung
- Die Abbildung
ist als Abbildung in den stetig differenzierbar und das Bild liegt auf . Daher ist sie auch als Abbildung nach stetig differenzierbar. Die Surjektivität wird in (2) mitbewiesen.
- Wir betrachten die Abbildung
Diese ist als Einschränkung einer bijektiven linearen Abbildung des stetig differenzierbar und injektiv und landet (aufgrund der expliziten Gleichungen) in der Tat in . Sie ist auch surjektiv, da man direkt die Umkehrabbildung
angeben kann. Da die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreisen surjektiv ist, folgt, dass auch die in (1) angegebene Abbildung surjektiv ist.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Man gebe ein stetiges Vektorfeld auf an, das nur eine Nullstelle besitzt.
Wir betrachten auf dem das stetige Vektorfeld , das durch
gegeben sei. Dieses hat keine Nullstelle und ist stetig. Wir transportieren dieses Vektorfeld mittels der stereographischen Projektion auf und ergänzen es im Nordpol durch den Wert . Wir behaupten, dass dieses Vektorfeld stetig ist. Dazu sei sei eine Folge auf , die gegen konvergiert. Dabei können wir direkt annehmen, dass alle sind. Das Kartenbild dieser Folge ist
und da gegen den Nordpol konvergiert, divergiert bestimmt gegen . Daher konvergiert die Folge
gegen .
Aufgabe (6 Punkte)
Es sei ein Verklebungsdatum , , für topologische Räume gegeben. Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten topologischen Raum , eine offene Überdeckung und Homöomorphismen derart gibt, dass
ist und
gilt.
Es sei die disjunkte Vereinigung der . Wir definieren auf eine Äquivalenzrelation , wobei wir Punkte und als äquivalent ansehen, wenn , und ist. Die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation sind dabei durch die Kozykelbedingung gesichert, siehe Aufgabe . (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)). Wir setzen
und versehen mit der Quotiententopologie. Die Verknüpfungen
sind die , und sind die Bilder dieser Abbildungen. Daher liegen Homöomorphismen vor. Dabei ist zu
genau dann, wenn ist, da genau in diesem Fall mit identifiziert wird. Daher ist . Die Kommutativität des Diagramms
folgt ebenso.
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, eine differenzierbare Kurve in und eine differenzierbare - Form auf . Zeige, dass
ist.
Es ist eine -Form auf und das überträgt sich auf . Auf einer eindimensionalen Mannigfaltigkeit sind aber alle -Formen gleich .
Aufgabe (6 (3+3) Punkte)
Es sei eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit zumindest zwei Punkten.
- Zeige, dass eine exakte stetige - Differentialform auf zumindest zwei Nullstellen besitzt.
- Zeige, dass dies für eine geschlossene Differentialform nicht gelten muss.
- Eine exakte Differentialform kann man als
mit einer differenzierbaren Funktion
ansetzen. Wenn konstant ist, ist und die Aussage ist klar. Sei also nicht konstant. Nach Fakt ***** nimmt die stetige Funktion ein globales Maximum und ein globales Minimum an, sagen wir in den Punkten bzw. . Nach Aufgabe ***** ist dann
- Wir betrachten auf der kompakten eindimensionalen Sphäre die Differentialform
Dies ist in der Tat eine Differentialform auf dem Kreis, da tangential zum Ortsvektor ist. Diese Form ist geschlossen, da wir in der Dimension sind. Sie hat keine Nullstelle, da auf dem Kreis nicht und gleichzeitig sind.
Aufgabe (4 Punkte)
Man gebe ein Beispiel für eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit mit Rand, deren Rand aus (einer disjunkten Vereinigung von) unendlich vielen besteht.
Die Funktion
läuft an den beiden Grenzen gegen unendlich, der Graph zu ist diffeomorph zu und damit auch zu . Wir betrachten nun zu die entsprechende Funktion, deren Definitonsbereich um verschoben wird (also mit dem Definitionsbereich ). Es sei der zugehörige Graph und der zugehörige offene (!) Epigraph. Wir setzen
Diese ist eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit mit Rand und der Rand ist die disjunkte Vereinigung der .
Aufgabe (10 Punkte)
Beweise den Satz über die Partition der Eins.
Nach Lemma 22.9 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) können wir davon ausgehen, dass eine offene Überdeckung aus Kartengebieten , , ( abzählbar) mit
und mit Ballumgebungen
(mit ) vorliegt derart, dass auch die eine Überdeckung von bilden und dass jeder Punkt nur in endlich vielen der und insbesondere nur in endlich vielen dieser enthalten ist. Auf betrachten wir die Funktion , die durch
definiert ist. Diese Funktion hat genau auf einen positiven Wert und ihr Träger ist . Eine Betrachtung auf den beiden offenen Teilmengen (die überdecken) und zeigt, dass unendlich oft differenzierbar ist. Wir definieren eine Funktion
durch
Diese Funktion ist stetig differenzierbar auf , da der „Streifen“ einen glatten Übergang erlaubt. Wir setzen
wobei dies für jeden Punkt eine endliche Summe ist, da der Träger von in
liegt. Diese Funktion ist stetig differenzierbar auf und überall positiv, da die auf den überdeckenden Mengen positiv sind. Dann bilden die
die gesuchte Partition der Eins.
Aufgabe (10 (2+6+2) Punkte)
Wir betrachten die - Differentialform
auf der Einheitskugel .
a) Zeige, dass das Dreifache der Standardvolumenform auf der Kugel ist.
b) Zeige, dass die Standardflächenform auf der Einheitssphäre ist.
c) Berechne die Kugeloberfläche aus dem Kugelvolumen mit dem Satz von Stokes.
a) Es ist
wobei wir verwendet haben, dass sich das Vorzeichen bei der Vertauschung von Faktoren im Dachprodukt ändert.
b) Für einen Punkt und zwei orthonormale, (zusammen mit ) die Orientierung repräsentierende Tangentialvektoren und ist nach [[Dachprodukt/Natürliche Dualität/Endlichdimensional/Fakt|Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Dachprodukt/Natürliche Dualität/Endlichdimensional/Fakt/Faktreferenznummer (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))]]
Die Determinante eines die Orientierung repräsentierenden Orthonormalsystems ist aber . Also erfüllt die eingeschränkte Differentialform die Eigenschaft, die die Standardvolumenform charakterisiert.
c) Die Oberfläche der Kugel ist unter Verwendung von a), b), des Satzes von Stokes und des Kugelvolumens gleich
Aufgabe (0 Punkte)