Kurs:Differentialgeometrie/5/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 3 3 5 2 4 8 4 5 3 2 6 7 4 8 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die zweite tangentiale Ableitung (oder die tangentiale Beschleunigung) einer (als Abbildung nach ) zweimal stetig differenzierbaren Kurve

    in eine differenzierbare Hyperfläche .

  2. Ein zusammenhängender topologischer Raum .
  3. Die Tangentialabbildung in einem Punkt zu einer differenzierbaren Abbildung

    wobei und differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind.

  4. Das Produkt von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und .
  5. Das Volumenmaß zu einer positiven Volumenform auf einer -dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit.
  6. Eine geodätische Kurve auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit .


Lösung

  1. Man nennt die Abbildung

    wobei die orthogonale Projektion

    bezeichnet, die zweite tangentiale Ableitung (oder die tangentiale Beschleunigung) von .

  2. Ein topologischer Raum heißt zusammenhängend, wenn es in genau zwei Teilmengen gibt (nämlich und der Gesamtraum ), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.
  3. Unter der Tangentialabbildung im Punkt versteht man die Abbildung
  4. Es seien und die Atlanten von und . Dann nennt man den Produktraum versehen mit den Karten

    (mit und ) das Produkt der Mannigfaltigkeiten und .

  5. Für eine Borelmenge wird das Maß von zu über eine abzählbare Zerlegung (wobei ein offenes Kartengebiet und ist)

    definiert.

  6. Man nennt eine differenzierbare Kurve

    eine geodätische Kurve, wenn

    auf ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Krümmung auf einen implizit gegebenen ebenen Kurve .
  2. Die Transformationsformel für positive Volumenformen auf Mannigfaltigkeiten.
  3. Der Satz über die Gaußkrümmung und die Schnittkrümmung auf einer differenzierbaren Fläche


Lösung

  1. Es sei offen, eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei

    ein auf einer offenen Umgebung definiertes Einheitsnormalenfeld zu und sei .

    Dann ist für jeden tangentialen Vektor

    wobei die Krümmung

    einer Bogenparametrisierung von ist, die mit der durch gegebenen Orientierung übereinstimmt.
  2. Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie und sei eine positive Volumenform auf . Es sei

    ein Diffeomorphismus mit der Mannigfaltigkeit und eine messbare Teilmenge.

    Dann ist

  3. Es sei offen und sei eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Dann ist die Gaußkrümmung von gleich der Schnittkrümmung von .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei offen und

eine stetig differenzierbare Abbildung, die im Punkt ein surjektives totales Differential besitze. Es sei ein Vektor des Tangentialraumes an die Faser zu durch . Zeige, dass es eine stetig differenzierbare Kurve

(für ein geeignetes ) mit und mit

gibt.


Lösung

Es ist . Nach dem Satz über implizite Abbildungen gibt es eine offene Menge , , eine offene Menge und eine stetig differenzierbare Abbildung

derart, dass ist und eine Bijektion

induziert. Es sei der Punkt mit . Die Abbildung ist in jedem Punkt regulär und für das totale Differential von gilt

also

Wegen der Regularität von in ist

injektiv und

bijektiv. Es sei das Urbild von und sei

wobei hinreichend klein gewählt sei, dass das Bild ganz in liegt. Dann besitzt

die Eigenschaft

und


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien und positive reelle Zahlen mit . Bestimme ein Einheitsnormalenfeld für den (eingebetteten) Torus


Lösung

Es ist

und . Der Gradient von ist

Das Einheitsnormalenfeld ist daher


Aufgabe (4 Punkte)

Man erläutere die Relevanz des Satzes über implizite Abbildungen für den Aufbau der Theorie der Mannigfaltigkeiten.


Lösung Satz über implizite Abbildung/Mannigfaltigkeit/Relevanz/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Satz über die Selbstadjungiertheit der Weingartenabbildung.


Lösung

Für Vektoren ist

zu zeigen. Mit ist gemäß Lemma 45.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))

da der erste Summand senkrecht auf dem Tangentialvektor steht. Mit Koordinatenfunktionen ist

Der obige Ausdruck ist somit gleich

Nach Satz 44.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) kann man die Reihenfolge der partiellen Ableitungen vertauschen, sodass man auch die Rollen von und vertauschen kann.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein kompakter Raum und es sei eine abgeschlossene Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Zeige, dass ebenfalls kompakt ist.


Lösung

Es sei

eine Überdeckung mit offenen Teilmenge . Dies bedeutet, dass es offene Mengen gibt mit . Daher ist

Wegen der Abgeschlossenheit von in ist offen und daher ist

eine offene Überdeckung von . Wegen der Kompaktheit von gibt es eine endliche Teilüberdeckung

Dies bedeutet wiederum


Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer zweidimensionalen zusammenhängenden differenzierbaren Mannigfaltigkeit und einem Punkt derart, dass und zueinander diffeomorph sind.


Lösung

Es sei

es werden also aus dem die auf der -Achse platzierten positiven natürlichen Zahlen herausgenommen. Dies ist eine offene Teilmenge im und damit eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Diese ist wegzusammenhängend, da man beispielsweise jeden Punkt aus mit durch einen geraden Weg mit und jeden Punkt aus mit durch einen geraden Weg mit verbinden kann und diese beiden Punkte ebenfalls gerade verbindbar sind. Es sei nun

und

Die Abbildung

ist (als Verschiebung) ein Diffeomorphismus und das Bild von ist genau . Daher sind und zueinander diffeomorph.


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe für jeden Tangentialvektor mit in einem Punkt auf der Einheitssphäre einen differenzierbaren Repräsentanten

mit an.


Lösung

Es sei und . Beide Vektoren sind normiert und stehen senkrecht aufeinander, da die Tangentialebene an die Sphäre senkrecht auf dem Ortsvektor steht. Wir betrachten den Weg

mit

Es ist

der Weg verläuft also ganz auf der Sphäre. Ferner ist

und


Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten die Standardparabel mit der induzierten riemannschen Struktur und mit der Parametrisierung

die wir als eine (inverse) Karte betrachten. Bestimme die riemannsche Fundamentalfunktion .


Lösung

Es ist


Aufgabe (6 Punkte)

Berechne die zurückgezogene Differentialform zu

unter der Abbildung


Lösung

Es ist

und

Damit ist


Aufgabe (7 (2+3+2) Punkte)

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

und

und die Differentialform

auf dem .

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform auf dem .

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform zum Weg .

c) Berechne (ohne Bezug auf b)) das Wegintegral zur Differentialform zum Weg .


Lösung

a) Die zurückgezogene Differentialform ist

b) Das Wegintegral ist

c) Der verknüpfte Weg ist

Somit ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Mannigfaltigkeit mit Rand. Zeige, dass jede offene Teilmenge ebenfalls eine Mannigfaltigkeit mit (eventuell leerem) Rand ist, und dass

gilt.


Lösung

Es sei und ein Kartengebiet von . Es sei

eine Karte mit einer offenen Menge , . Diese Karte induziert einen Homöomorphismus

Diese Karten nehmen wir für . Die Diffeomorphieeigenschaft der Kartenwechsel zu überträgt sich direkt auf die Karten zu . Es sei . Dann wird unter einer Karte auf einen Randpunkt von abgebildet, und da die Karten für Einschränkungen von solchen Karten sind, bleibt diese Eigenschaft erhalten. Wenn umgekehrt ist, so ist natürlich einerseits . Andererseits gibt es zu eine Karte zu , die durch Einschränkung von einer Karte zu herrührt, in der auf einen Randpunkt von abgebildet wird.


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von geodätischen Kurven bezüglich des Levi-Civita-Zusammenhangs.


Lösung

Es sei die Dimension von . Wir betrachten die Situation direkt auf einem offenen Kartenbild . Die vertikale Ableitung ist gemäß Bemerkung ***** durch

gegeben, wobei man die Abbildung nach erhält, wenn man die mittlere Komponente weglässt. Die zweite Ableitung der Kurve ist zunächst die zweite Tangentialabbildung, es ist (wobei wir die Multiplikation mit der eindimensionalen Richtung des Tangentialraumes der Kurve ignorieren)

und entsprechend

(es werden beide Komponenten der Tangentialabbildung abgeleitet). Mit wird dies unter der vertikalen Projektion auf

abgebildet. Die Bedingung an eine Geodätische, dass die zweite Ableitung (in ) stets horizontal ist, ist äquivalent dazu, dass die berechnete vertikale Projektion gleich ist. Dies bedeutet, dass die einzelnen Komponenten gleich sind und dies bedeutet

für .