Kurs:Funktionentheorie/3/Klausur mit Lösungen



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 7 3 3 4 3 2 0 0 6 9 3 0 5 3 3 0 57




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die holomorphe Ableitung einer reell differenzierbaren Funktion

    offen.

  2. Der Konvergenzradius einer komplexen Potenzreihe
  3. Eine exakte Differentialform.
  4. Eine meromorphe Funkton auf einer offenen Menge .
  5. Das Residuum zu einer holomorphen Funktion auf einer punktierten Kreisscheibe.
  6. Eine elliptische Funktion zu einem Gitter .


Lösung

  1. Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktion/Holomorphe Ableitung/Definition/Begriff/Inhalt
  2. Unter dem Konvergenzradius der Potenzreihe versteht man
  3. Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Exakt/Definition/Begriff/Inhalt
  4. Meromorphe Funktion/C/Definition/Begriff/Inhalt
  5. Residuum/Punktierte Kreisscheibe/Holomorph/Definition/Begriff/Inhalt
  6. Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktion/Definition/Begriff/Inhalt


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Matrizen und gebrochen-lineare Funktionen auf .
  2. Der Riemannsche Hebbarkeitssatz.
  3. Der Satz über den Körper der elliptischen Funktionen.


Lösung

  1. Die Abbildung

    die einer invertierbaren Matrix die zugehörige gebrochen-lineare Funktion zuordnet,

    ist ein Gruppenhomomorphismus, dessen Bild die Gruppe der gebrochen-linearen Abbildungen ist und dessen Kern aus den Streckungsmatrizen mit

    besteht.
  2. Es sei offen, ein Punkt und eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
    1. Es gibt eine stetige Fortsetzung

      von .

    2. Der Betrag von ist in einer offenen Umgebung von beschränkt.
    3. Es ist
    4. Es gibt eine holomorphe Fortsetzung

      von .

  3. Es sei ein Gitter. Dann wird der Körper der elliptischen Funktionen von und erzeugt, d.h. jede elliptische Funktion kann man als eine rationale Funktion in und schreiben.


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.


Lösung

Die Division mit Rest liefert eine eindeutige Darstellung

mit . Wir müssen daher die Aussage nur für Quotienten aus Polynomen zeigen, bei denen der Grad des Zählerpolynoms kleiner als der Grad des Nennerpolynoms ist. Wir führen Induktion über den Grad des Nennerpolynoms. Bei ist nichts zu zeigen, denn der Quotient steht bereits in der gewünschten Form. Es sei nun ein Nennerpolynom vom Grad und die Aussage sei für kleineren Grad bereits bewiesen. Es sei ein Linearfaktor von , sodass wir

schreiben können, wobei den Grad besitzt. Die Ordnung von in sei . Wir setzen

an. Dies führt auf

aus der wir und bestimmen wollen. Da die Gleichheit insbesondere für gelten soll, muss

sein, wobei diese Division erlaubt ist, da die als verschieden vorausgesetzt worden sind. Wir betrachten nun

mit dem soeben bestimmten Wert . Für diese Differenz ist dann nach Konstruktion eine Nullstelle, sodass man nach Lemma 19.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) durch teilen kann, also

erhält. Dadurch ist eindeutig festgelegt. Der Grad von ist kleiner als der Grad von und daher ist der Grad von auch kleiner als der Grad von . Daher können wir auf die Induktionsvoraussetzung anwenden.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei . Zeige, dass es eine gebrochen-lineare Funktion der Form mit

und mit gibt.


Lösung

Der Term besitzt eine positive reelle Quadratwurzel . Wir setzen und sei die gebrochen-lineare Abbildung der Form zu diesem und . Dabei gilt in der Tat

und es gilt


Aufgabe (3 Punkte)


Lösung

Nehmen wir an, es gebe eine Zerlegung in zwei nichtleere offene Teilmenge und . Sei und . Nach Voraussetzung gibt es eine stetige Abbildung

mit und . Dann ist

eine disjunkte Zerlegung eines Intervalls in zwei nichtleere offene Mengen im Widerspruch zu Satz 35.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, für welche komplexe Zahlen die Reihe

konvergiert.


Lösung

Es handelt sich um eine Potenzreihe mit den Koeffizienten . Sie konvergiert für , da dann nur ein Glied von null verschieden ist. Wir behaupten, dass die Reihe für keine weitere komplexe Zahl konvergiert. Da es sich um eine Potenzreihe handelt, genügt es, für jede reelle positive Zahl nachzuweisen, dass die Reihe divergiert. Zu gibt es ein mit . Es gilt dann auch für alle . Wegen

erfüllt die Reihe nicht das Cauchy-Kriterium und kann daher nicht konvergieren.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Exponentialfunktion

differenzierbar mit

ist.


Lösung

Aufgrund von Satz 8.12 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) ist


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Körper und sei eine formale Potenzreihe mit und , die wir als schreiben. Es sei die Potenzreihe mit und . Zeige .


Lösung

Wir ersetzen in die Variable durch und erhalten

und durch eine Umstellung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise das Maximumsprinzip für holomorphe Funktionen.


Lösung

Wir zeigen, dass in einer offenen Kreisscheibenumgebung von konstant ist und daher wegen Korollar 14.8 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) überhaupt konstant ist. Es sei

Mit Lemma 14.9 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) ist dann

daher muss hier sogar überall Gleichheit gelten. Dies bedeutet insbesondere

wobei der Integrand wegen der Maximumsbedingung nichtnegativ ist. Dann ist aber nach Aufgabe 23.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) der Integrand bereits konstant gleich . Dies gilt auch für jeden Radius , und daher ist überhaupt in einer offenen Umgebung von . Aus Korollar 3.8 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) ergibt sich, dass selbst in der Umgebung konstant ist.


Aufgabe (9 (5+4) Punkte)

Es seien zwei komplexe (bzw. reelle) Polynome und

die zugehörige Abbildung. Die Determinante der Jacobi-Matrix zu sei in jedem Punkt von verschieden.

  1. Zeige, dass bei die Determinante konstant ist.
  2. Zeige durch ein Beispiel, dass bei die Determinante nicht konstant sein muss.


Lösung

  1. Die partiellen Ableitungen zu sind auch Polynome und daher ist die Determinante der Jacobi-Matrix ebenfalls ein Polynom in zwei Variablen. Wir schreiben dieses Polynom als

    wobei die Polynome in sind und . Es sei nicht konstant. Dann ist entweder (i) oder (ii) und ist ein nichtkonstantes Polynom in . Im ersten Fall gibt es einen Wert derart, dass ist. Dann ist ein nichtkonstantes Polynom in . In beiden Fällen gibt es also eine Einsetzung, die zu einem nichtkonstanten Polynom in einer Variablen führt. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gibt es dann ein mit im Widerspruch zur Voraussetzung.

  2. Wir betrachten die reellen Polynome

    Die Jacobi-Matrix davon ist

    mit der Determinante

    Dies ist stets und insbesondere nirgendwo gleich . Die Determinante ist aber nicht konstant.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Laurent-Reihen für die maximal möglichen Kreisringe mit Mittelpunkt für die rationale Funktion .


Lösung

Die Funktion ist auf holomorph und wird dort durch die geometrische Reihe beschrieben.

Die Funktion ist ferner auf holomorph, dort gibt es also auch eine Laurent-Reihe. Diese kann man über

gewinnen.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien offen und eine holomorphe Funktion derart, dass zu allen Punkten die Faser aus Punkten besteht. Ferner sei ein lokaler Homöomorphismus. Zeige, dass eine Überlagerung ist.


Lösung

Es sei mit den Urbildpunkten . Wegen der lokalen Homöomorphie gibt es zu jedem Punkt eine offene Umgebung , die homöomorph auf abbildet. Wir können davon ausgehen, dass die paarweise disjunkt sind. Es sei

Dies ist eine offene Umgebung von , und

sind offene Umgebungen von , die homöomorph auf abbilden. Wir behaupten, dass die disjunkte Vereinigung der ist und damit eine Überlagerung vorliegt. Wäre dies nämlich nicht der Fall, so würde es einen Punkt geben, der nicht zur Vereinigung gehört. Doch dann besitzt neben den Urbildpunkten in noch einen weiteren Urbildpunkt im Widerspruch zur Voraussetzung über die Konstanz der Fasern.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei und sei die Standardumrundung von . Zeige, dass für jeden Punkt die Windungszahl gleich

ist.


Lösung

Es sei eine Standardumrundung von innerhalb von . Nach Korollar 13.5 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)), angewendet auf , ist

Somit ist


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine offene beschränkte einfach zusammenhängende Teilmenge derart, dass der Abschluss nicht homöomorph zur abgeschlossenen Kreisscheibe ist.


Lösung


Wir betrachten den Kreisring und die offene Menge

aus dem Kreisring wird also ein „einseitig durchtrennendes Intervall“ herausgenommen. ist einfach zusammenhängend, beschränkt, der Abschluss ist aber der abgeschlossene Kreisring, der nicht einfach zusammenhängend ist. Insbesondere ist der Abschluss nicht homöomorph zur abgeschlossenen Kreisscheibe, da diese einfach zusammenhängend ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung