Lösung
- Es sei ein
Körper und es sei eine
-
Matrix
und eine -Matrix über . Dann ist das Matrixprodukt
-
diejenige -Matrix, deren Einträge durch
-
gegeben sind.
- Man nennt
-
den von der Familie aufgespannten Untervektorraum.
- Mit bezeichnen wir diejenige
-
Matrix,
die an der Stelle den Wert und sonst überall den Wert null hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.
- .
- .
- .
- Die Abbildung
-
heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen
und .
- Eine
Abbildung
-
heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit
-
für alle gilt.
- Ein
affiner Raum
über einem
-
Vektorraum
ist
(die leere Menge oder)
eine nichtleere Menge zusammen mit einer Abbildung
-
die den drei Bedingungen
- für alle ,
- für alle und ,
- Zu je zwei Punkten gibt es genau einen Vektor mit ,
genügt.
Lösung
- Bei der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen
entsprechen sich die Hintereinanderschaltung
von linearen Abbildungen und die Matrizenmultiplikation.
Damit ist folgendes gemeint: es seien
Vektorräume über einem Körper mit Basen
-
Es seien
-
lineare Abbildungen. Dann gilt für die beschreibenden Matrizen von und der Hintereinanderschaltung die Beziehung
-
- Es sei ein
Körper,
und seien
-
Vektorräume
und sei . Es sei
-
eine
alternierende Abbildung.
Dann gilt
-
- Es sei ein
endlichdimensionaler
Vektorraum
über einem
Körper
und es sei
-
eine
lineare Abbildung.
Dann besitzt das
charakteristische Polynom
und das
Minimalpolynom
die gleichen Nullstellen.
Lösung
Wir setzen die dritte Gleichung in die beiden ersten Gleichungen ein und erhalten
-
und
-
Wir addieren das Vierfache der ersten mit dem Fünffachen der zweiten Gleichung und erhalten
-
Somit ist
-
und
-
Die einzige Lösung des Gleichungssystems ist somit
-
Lösung
Man gebe ein Beispiel für einen
Körper
, eine
kommutative Gruppe
und eine Abbildung
-
derart, dass diese Struktur alle
Vektorraumaxiome
außer
-
erfüllt.
Lösung
Wir betrachten den Körper und die additive Gruppe . Als „Skalarmultiplikation“
-
betrachten wir die durch
-
gegebene Abbildung, wobei die
komplexe Konjugation
von bezeichnet
(wir schreiben um zu betonen, dass es sich um eine untypische Operation handelt).
Zum Nachweis der Assoziativität der Multiplikation sei
und . Bei
-
ist
wobei die mittlere Gleichung sowohl bei
als auch bei
gilt. Bei
-
ist
Zum Nachweis der Distributivität in den Skalaren ist bei
-
und bei
-
ist
Es sei nun
-
und
-
Dann ist
-
und somit ist einerseits
und andererseits
Somit ist diese Multiplikation nicht distributiv in den Vektoren.
Ferner ist wegen
-
stets
-
Beweise den Basisaustauschsatz.
Lösung
Wir führen Induktion über , also über die Anzahl der Vektoren in der Familie. Bei
ist nichts zu zeigen. Es sei die Aussage für schon bewiesen und seien linear unabhängige Vektoren
-
gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung, angewandt auf die
(ebenfalls linear unabhängigen) Vektoren
-
gibt es eine Teilmenge
derart, dass die Familie
-
eine Basis von ist. Wir wollen auf diese Basis
das Austauschlemma
anwenden. Da eine Basis vorliegt, kann man
-
schreiben.
Wären hierbei alle Koeffizienten
, so ergäbe sich sofort ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der
, .
Es gibt also ein
mit
.
Wir setzen
.
Damit ist
eine -elementige Teilmenge von . Nach dem Austauschlemma kann man den Basisvektor
durch
ersetzen und erhält die neue Basis
-
Der Zusatz folgt sofort, da eine
-elementige Teilmenge einer
-elementigen Menge vorliegt.
Lösung
- Da die Gerade durch den Nullpunkt geht, ist diese Achsenspiegelung linear. Die Achse ist der Eigenraum zum Eigenwert , die dazu senkrechte Gerade durch den Nullpunkt ist der Eigenraum zum Eigenwert , mit zwei Eigenwerten ist die Abbildung diagonalisierbar und insbesondere trigonalisierbar.
- Bei dieser Verschiebung wird der Nullpunkt bewegt, somit ist die Abbildung nicht linear.
- Eine Drehung um den Ursprung ist stets linear. Da um Grad gedreht wird, wird keine Gerade auf sich selbst abgebildet. Somit gibt es keine Eigenwerte und die Abbildung ist nicht trigonalisierbar und schon gar nicht diagonalisierbar.
- Da der Nullpunkt bewegt wird, ist die Abbildung nicht linear.
Bestimme den Rang der Matrix
-
Lösung
Lösung
Es sei
.
Zeige, dass es gleich viele gerade und ungerade Permutationen auf gibt.
Lösung
Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung
-
mit
, .
Lösung
Es ist
-
vorausgesetzt, der Wurzelausdruck ist nichtnegativ. Dies sieht man so: Die Bedingung
-
ist äquivalent zu
-
was mittels quadratischem Ergänzen äquivalent zu
-
ist. Umstellen und Erweitern liefert
-
Dies ist äquivalent zu
-
und somit zu
-
Lösung
- Der einzige normierte Teiler von von positivem Grad ist selbst. Da keine Nullstelle von ist, folgt
nach Lemma 19.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)),
dass kein Teiler von ist. Die einzigen gemeinsamen Teiler sind somt die konstanten Polynome , was die Teilerfremdheit bedeutet.
- Die einzigen normierten Teiler von sind mit . Deshalb folgt die Teilerfremdheit aus Teil (1).
Wir betrachten die lineare Abbildung
-
die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
-
beschrieben wird.
a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von .
b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.
c) Stelle die Matrix für bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.
Lösung
a) Das charakteristische Polynom ist
und die Eigenwerte von sind .
b) Wir bestimmen für jeden Eigenwert einen Eigenvektor.
:
Wir müssen ein nichttriviales Element im Kern von
-
bestimmen. Da gehört dazu.
:
Dies führt auf
-
Wir wählen und und erhalten , also ist
-
ein Eigenvektor zum Eigenwert .
:
Dies führt auf
-
Mit und ist die mittlere Zeile erfüllt. Die erste Zeile wird dann zu
-
und daher ist
-
Somit ist
-
ein Eigenvektor zum Eigenwert
.
c) Bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren besitzt die beschreibende Matrix die Gestalt
-
Lösung Nilpotente Abbildung/Kern eindimensional/Surjektivität/Aufgabe/Lösung
Wie viele
jordansche Normalformen
(bis auf
Ähnlichkeit)
zu -Matrizen gibt es, bei denen in der Diagonalen der konstante Wert steht?
Lösung
Die jordanschen Normalformen von der gesuchten Form haben jedenfalls die Gestalt
-
wobei an den Freistellen eine oder eine stehen kann. Wir behaupten, dass die Matrizen
-
eine vollständige Liste der nichtähnlichen Matrizen in jordanscher Normalform sind. Die beiden Matrizen
-
sind zur zweiten Matrix der Liste ähnlich, da sie ebenso aus zwei Einerblöcken und einem Zweierblock bestehen. Die Matrix
-
ist zur dritten Matrix ähnlich, da sie ebenfalls aus einem Dreierblock und einem Einerblock besteht. Die fünf angegebenen Matrizen sind paarweise zueinander unähnlich, da die Anzahl der Jordanblöcke und ihre Größe eine Invariante der Abbildung ist.
Beweise den Festlegungssatz für affine Abbildungen.
Lösung
Es sei
.
Es gibt nach
Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
eine eindeutig bestimmte
lineare Abbildung
-
mit
-
für alle
.
Dann ist
-
eine affin-lineare Abbildung mit der gewünschten Eigenschaft. Umgekehrt ist eine solche affine Abbildung durch den linearen Anteil und durch den Wert an einem einzigen Punkt eindeutig festgelegt, sodass
-
sein muss.