Kurs:Lineare Algebra/Teil I/31/Klausur mit Lösungen



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 4 2 4 1 3 2 3 3 5 4 4 3 3 3 3 8 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

    und

  2. Ein Isomorphismus zwischen - Vektorräumen und .
  3. Der Spaltenrang einer - Matrix über einem Körper .
  4. Der Dualraum zu einem - Vektorraum .
  5. Die adjungierte Matrix zu einer quadratischen Matrix .
  6. Eine Fahne in einem - dimensionalen - Vektorraum .


Lösung

  1. Die Abbildung

    heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und .

  2. Ein Isomorphismus zwischen und ist eine bijektive lineare Abbildung
  3. Man nennt die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von den (Spalten-)Rang der Matrix .
  4. Unter dem Dualraum zu versteht man den Homomorphismenraum
  5. Die Matrix

    wobei die Restmatrix zur -ten Zeile und zur -ten Spalte ist, heißt die adjungierte Matrix von .

  6. Eine Kette von Untervektorräumen

    heißt eine Fahne in .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.
  2. Der Satz über die Beschreibung des Signums mit Fehlständen.
  3. Der Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.


Lösung

  1. Es sei ein Körper und ein -Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann besitzen je zwei Basen von die gleiche Anzahl von Basisvektoren.
  2. Sei und sei eine Permutation auf . Es sei die Anzahl der Fehlstände von . Dann ist das Signum von gleich
  3. Sei

    ein trigonalisierbarer -Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen -Vektorraum . Dann gibt es eine Zerlegung

    wobei diagonalisierbar, nilpotent und zusätzlich

    gilt.


Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)

Folgende Aussagen seien bekannt.

  1. Der frühe Vogel fängt den Wurm.
  2. Doro wird nicht von Lilly gefangen.
  3. Lilly ist ein Vogel oder ein Igel.
  4. Für Igel ist 5 Uhr am Morgen spät.
  5. Doro ist ein Wurm.
  6. Für Vögel ist 5 Uhr am Morgen früh.
  7. Lilly schläft bis 5 Uhr am Morgen und ist ab 5 Uhr unterwegs.

Beantworte folgende Fragen.

  1. Ist Lilly ein Vogel oder ein Igel?
  2. Ist sie ein frühes oder ein spätes Tier?
  3. Fängt der späte Igel den Wurm?


Lösung

  1. Lilly ist ein Igel. Beweis durch Widerspruch. Nehmen wir an, dass Lilly kein Igel ist. Dann ist sie nach (3) ein Vogel. Da Lilly nach (7) um Uhr schon unterwegs ist, ist nach (6) Lilly ein früher Vogel. Nach (1) fängt Lilly also den Wurm. Da nach (5) Doro ein Wurm ist, wird er von Lilly gefangen im Widerspruch zu (2).
  2. Nach dem ersten Teil ist Lilly ein Igel, und nach (7) steht sie um 5 Uhr auf. Dies ist nach (4) für Igel spät, Lilly ist also ein später Igel und somit ein spätes Tier.
  3. Da nach dem zweiten Teil Lilly ein später Igel ist und sie nach (2) Doro, die nach (5) ein Wurm ist, nicht fängt, fängt der späte Igel im Allgemeinen nicht den Wurm.


Aufgabe (2 Punkte)

wurde ermordet. Es gelten folgende Sachverhalte.

  1. Der Mörder ist oder oder oder .
  2. Wenn der Mörder ist, dann ist nicht der Mörder oder ist der Mörder.
  3. sind alle verschieden.
  4. Es gibt genau einen Mörder.
  5. Wenn nicht der Mörder ist, dann ist nicht der Mörder.
  6. ist genau dann der Mörder, wenn der Mörder ist.

Wer ist der Mörder?


Lösung

Aus (6), (3) und (4) folgt, dass und beide nicht der Mörder sind, denn sonst wären beide der Mörder. Nach (5) ist somit auch nicht der Mörder. Wegen (1) muss also der Mörder sein. ((2) wird nicht verwendet.)


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und Mengen und seien und Teilmengen. Zeige die Gleichheit


Lösung

Wir zeigen die beiden Inklusionen. Es sei zunächst

Dies bedeutet

und

Dies bedeutet einerseits und andererseits . Also ist .

Wenn umgekehrt gilt, so ist und . Wegen der Teilmengenbeziehungen und ist

und

und damit auch


Aufgabe (1 Punkt)

In der Klasse ist es sehr laut. Frau Maier-Sengupta sagt „Bitte nicht gleichzeitig sprechen“. Bringe diese Aussage mit dem Konzept von disjunkten Mengen in Verbindung.


Lösung

Die Forderung von Frau Maier-Sengupta bedeutet, das die Sprechzeiten der Kinder paarweise disjunkt sein sollen.


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

gegebene Abbildung

a) Bestimme das Bild von unter .

b) Bestimme das Urbild von unter .

c) Erstelle eine Wertetabelle für


Lösung

a) Das Bild von ist .

b) Das Urbild von ist .

c)


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine - Matrix. Zeige


Lösung

Es sei

Dann ist


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Wir betrachten die lineare Gleichung

es sei die Lösungsmenge.

  1. Zeige, dass und affin-unabhängige Punkte von sind.
  2. Bestimme die baryzentrischen Koordinaten von

    bezüglich und .


Lösung

  1. Es sind offenbar Punkte von , und da sie verschieden sind, sind sie affin-unabhängig.
  2. Es ist

    und

    Somit ist

    Also sind die baryzentrischen Koordinaten von nach Fakt ***** gleich


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei

  1. Bestimme das charakteristische Polynom von .
  2. Bestimme eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von und klammere den entsprechenden Linearfaktor aus.
  3. Begründe, dass das charakteristische Polynom von zumindest zwei reelle Nullstellen hat.


Lösung

  1. Es ist
  2. Es ist eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms und es ist
  3. Die Nullstelle haben wir bereits gefunden. Wir betrachten den zweiten Faktor . Da es sich um ein Polynom ungeraden Grades handelt, muss es eine reelle Nullstelle besitzen. Da keine Nullstelle davon ist, gibt es also eine weitere reelle Nullstelle.


Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

  1. Es sei ein Polynom über einem Körper der Form

    mit und . Zeige, dass die als einzige Nullstelle besitzt.

  2. Es sei ein Polynom mit der Eigenschaft, dass die einzige komplexe Nullstelle von ist. Zeige, dass die Form

    mit und hat.

  3. Man gebe ein Beispiel für ein reelles Polynom mit der Eigenschaft, dass die einzige reelle Nullstelle von ist, dass aber nicht die Gestalt aus Teil (1) besitzt.


Lösung

  1. Die angegebenen Polynome haben die gewünschte Eigenschaft über jedem Körper nach Fakt *****. Aus folgt zunächst und daraus .
  2. Es sei ein Polynom mit der angegebenen Nullstelleneigenschaft. Wenn konstant ist, so besitzt bei jedes Element als Nullstelle und bei überhaupt keine Nullstelle. Der Grad von muss also zumindest sein. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt eine Faktorzerlegung

    mit . Die sind die Nullstellen von . Da diese alle sein sollen, ist

  3. Wir betrachten

    das nicht die Form aus Teil (1) besitzt. Eine Nullstelle dieses Polynoms ist die Nullstelle eines Faktors. Das Polynom ist reell immer positiv und somit nullstellenfrei, also ist die einzige Nullstelle von .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass

eine Nullstelle des Polynoms

ist.


Lösung

Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Nullstelle des Polynoms

Zeige, dass

ein Eigenvektor der Matrix

zum Eigenwert ist.


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei ein Punkt in einem affinen Raum über . Zeige, dass die folgenden Ausdrücke baryzentrische Kombinationen für sind (es sei und ).

  1. .
  2. .
  3. .


Lösung

  1. Es ist
  2. Es ist
  3. Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein affiner Raum über dem - Vektorraum . Es seien , , und Punkte in und eine baryzentrische Kombination. Zeige, dass

wobei der linke Ausdruck als baryzentrische Kombination zu lesen ist.


Lösung

Es sei ein Punkt, von dem aus wir die baryzentrischen Kombinationen interpretieren. Dann ist


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und seien und affine Räume über den Vektorräumen bzw. . Es sei eine Abbildung

eine lineare Abbildung

und ein Punkt derart gegeben, dass

für alle gilt. Zeige, dass affin-linear ist.


Lösung

Es seien und beliebig. Es ist

mit . Damit ist


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine Abbildung mit

für gewisse . Zeige direkt, dass mit baryzentrischen Kombinationen verträglich ist.


Lösung

Es sei eine baryzentrische Kombination der Punkte , also mit

Der dadurch gegebene Punkt ist einfach durch die reelle Addition gegeben. Es ist daher

was die Verträglichkeit mit den baryzentrischen Kombinationen bedeutet.


Aufgabe (8 Punkte)

Formuliere und beweise einen Festlegungssatz für affin-lineare Abbildungen.


Lösung

Es seien und affine Räume, es sei eine affine Basis von und seien Punkte.

Dann gibt es genau eine affin-lineare Abbildung

mit für .

Es seien bzw. die den affinen Räumen zugrunde liegenden Vektorräume. Nach Voraussetzung ist eine Basis von . Es gibt somit nach dem Festlegungssatz für lineare Abbildungen eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

mit

für alle . Jeder Punkt besitzt eine eindeutige Darstellung

Somit ist

eine wohldefinierte Abbildung von nach gegeben. Wegen

ist

(auch für ). Wegen

liegt in der Tat eine affine Abbildung vor. Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass aus

für den linearen Anteil

gelten muss und eine affine Abbildung durch den linearen Anteil und den Bildpunkt eines Punktes eindeutig festgelegt ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe typische Problemstellungen, die unter den Begriff Dreisatz fallen, durch geeignete Beispiele.


Lösung Dreisatz/Problemstellung/Aufgabe/Lösung