Kurs:Riemannsche Flächen/1/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 10 4 2 6 4 5 4 5 4 2 4 4 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Decktransformation zu einer Überlagerung .
  2. Ein Gitter in den komplexen Zahlen .
  3. Eine Garbe auf einem topologischen Raum .
  4. Eine holomorphe Differentialform auf einer riemannschen Fläche .
  5. Der Hauptdivisor zu einer meromorphen Funktion auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche .
  6. Die Jacobische Varietät zu einer zusammenhängenden kompakten riemannschen Fläche .


Lösung Riemannsche Flächen/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über das Verzweigungsverhalten bei endlichen holomorphen Abbildungen zwischen riemannschen Flächen.
  2. Der Residuensatz.
  3. Der Satz von Abel-Jacobi.


Lösung

  1. Es sei eine endliche holomorphe Abbildung zwischen den riemannschen Flächen und mit zusammenhängend. Dann ist die Summe konstant, also unabhängig von .
  2. Es sei eine kompakte riemannsche Fläche, es sei

    eine endliche Teilmenge in und eine holomorphe Differentialform auf .

    Dann ist

  3. Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Dann ist die Abel-Jacobi-Abbildung

    von der Divisorenklassengruppe auf vom Grad in die Jacobische Varietät ein

    Gruppenisomorphismus.


Aufgabe (10 Punkte)

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.


Lösung Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Inwiefern ist eine riemannsche Fläche ein eindimensionales, inwiefern ein zweidimensionales Objekt?


Lösung Riemannsche Fläche/Dimensionsfrage/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten die holomorphe Abbildung

Für welche Punkte ist die Tangentialabbildung

bijektiv?


Lösung

In der gegebenen Situation wird die Tangentialabbildung einfach durch das total Differential, also durch die Ableitung beschrieben. Da die Tangentialabbildung eine lineare Abbildung von nach ist, ist bijektiv äquivalent zu . Es ist

die Nullstellen der Ableitung sind

in diesen beiden Punkten ist also die Tangentialabbildung nicht bijektiv.


Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass

eine kompakte riemannsche Fläche definiert.


Lösung

Wir verwenden Fakt *****, es ist also zu zeigen, dass die partiellen Ableitungen von

auf keinem Punkt von simultan verschwinden. Die partiellen Ableitungen sind

Es sei ein Punkt, in dem alle partiellen Ableitungen sind. Dann ist nach der letzten Ableitung

Bei folgt aus der ersten Bedingung und daraus aus der zweiten Bedingung auch , was kein projektiver Punkt ist. Bei folgt aus der zweiten Bedingung , woraus aus der ersten Bedingung folgt, was schon ausgeschlossen ist. Also verbleibt noch die Möglichkeit

Wegen der Homogenität müssen wir nur noch Punkte der Form betrachten. Die erste Ableitung führt auf

und die zweite auf

Diese letzte Bedingung nach aufgelöst und in die erste eingesetzt führt auf

also

bzw.

Die dritte Potenz davon ist aber sicher nicht gleich . Es gibt also keinen Punkt , wo alle Ableitungen verschwinden.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei und sei

die zugehörige Abbildung. Bestimme den maximalen Ort derart, dass eine Überlagerung ist.


Lösung

Es ist , d.h. die einzige Nullstelle der Ableitung ist bei . Es ist

Wir setzen und behaupten, dass

eine Überlagerung ist. Für jeden Punkt gibt es eine Faktorzerlegung

Wegen und da die Ableitung nicht ist folgt . Jeder Punkt aus besitzt also zwei Urbildpunkte. Da in jedem Punkt ein lokaler Homöomorphismus vorliegt, liegt eine endliche Überlagerung mit Blätterzahl vor.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass der Ausbreitungsraum zur Garbe der stetigen reellwertigen Funktionen auf kein Hausdorffraum ist.


Lösung

Wir betrachten in einerseits den Keim der Nullfunktion und andererseits den Keim der Funktion , die im Negativen die Nullfunktion und im Positiven die Identität ist. Diese Funktion ist stetig, da sie ja im Nullpunkt den Wert besitzt. Wir behaupten, dass man die beiden Keime und im Ausbreitungsraum nicht durch offene Mengen trennen kann. Jede offene Umgebung von im Ausbreitungsraum ist von der Form mit einer offenen Umgebung des Nullpunktes und einer darauf definierten stetigen Funktion , die im Halm zur Nullfunktion wird. Daher ist eingeschränkt auf einer eventuell kleineren offenen Umgebung die Nullfunktion. Jede offene Umgebung von im Ausbreitungsraum ist von der Form mit einer offenen Umgebung des Nullpunktes und einer darauf definierten stetigen Funktion , die im Halm mit übereinstimmt und daher auf der negativen Seite eines offenen Intervalls des Nullpunkes die Nullfunktion wird. Für die Punkte aus gilt daher und es gibt keine disjunkten Umgebungen.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine exakte Differentialform auf mit Werten in . Es sei ein stetig differenzierbarer Weg in . Zeige, dass für das Wegintegral die Beziehung

gilt.


Lösung

Nach Voraussetzung ist

mit einer differenzierbaren Funktion

Wir wenden die Kettenregel auf

an und erhalten damit und mit dem Hauptsatz der Infinitesimalrechnung


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme für die projektive Gerade eine meromorphe Funktion, die die Hauptteilverteilung realisiert, die in den Hauptteil und in den Hauptteil besitzt.


Lösung

Wir bringen die Hauptteile mit Hilfe der Partialbruchzerlegung auf eine Form, woraus die Realisierung als rationale Funktion ablesbar ist. Für den Punkt machen wir den Ansatz

bzw.

Mit ergibt sich und mit ergibt sich . Betrachten von ergibt . Da der erste Summand in holomorph ist, kann man den vorgegebenen Hauptteil als

schreiben. Diese rationale Funktion realisiert den ersten Hauptteil.

Für den Punkt machen wir den Ansatz

bzw.

Es folgt und . Also ist ebenfalls ein repräsentierender Hauptteil. Die Summe dieser rationalen Funktionen realisiert insgesamt die Hauptteilverteilung.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für eine endliche holomorphe Abbildung

zwischen kompakten riemannschen Flächen und und einer meromorphen Differentialform auf mit dem zugehörigen Divisor der zurückgezogene Divisor im Allgemeinen nicht der Divisor (und auch nicht die Divisorklasse) zur zurückgezogenen Differentialform ist.


Lösung

Wir betrachten die endliche holomorphe Abbildung

Die meromorphe Differentialform besitzt auf der projektiven Geraden den Divisor . Der zurückgezogene Divisor unter dazu ist . Die zurückgezogene Differentialform ist

mit dem zugehörigen Divisor . Das sind verschiedene Divisoren und verschiedene Divisorenklassen, da ihr Grad verschieden ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Formuliere den Satz von Riemann-Roch ohne erste Kohomologie.


Lösung

Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht und sei ein Divisor auf mit der zugehörigen invertierbaren Garbe . Es sei ein kanonischer Divisor von . Dann ist

Dies beruht darauf, dass aufgrund der Serre-Dualität die Vektorräume und dual zueinander sind und deshalb die gleiche Dimension besitzen. Ferner ist


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Es sei ein Divisor auf vom Grad und sei die zugehörige invertierbare Garbe auf .

  1. Zeige, dass die Dimension besitzt.
  2. Es sei eine Basis von . Zeige, dass es in zumindest zwei linear unabhängige Beziehungen zwischen den Monomen in vom Grad geben muss.


Lösung

  1. Für jede invertierbare Garbe von positivem Grad auf einer riemannschen Fläche vom Geschlecht ist nach Aufgabe 30.8 (Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)) die erste Kohomologie gleich und nach Riemann-Roch ist daher

    Wenn speziell den Grad besitzt, so ist der Raum vierdimensional.

  2. Nach Teil (1) ist der Raum achtdimensional. Die Basis von definiert mit Aufgabe 20.19 (Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)) Elemente in . Dies sind zehn Elemente in einem achtdimensionalen Vektorraum, also müssen sie zumindest zwei linear unabhängige lineare Relationen erfüllen.


Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

Es sei eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen und .

  1. Zeige, dass der Rückzug von holomorphen Differentialformen injektiv ist.
  2. Man folgere aus (1), dass für die Geschlechter die Abschätzung

    gilt.


Lösung

  1. Der Rückzug von Differentialformen ist eine lineare Abbildung

    es genügt also zu zeigen, dass der Kern trivial ist. Wegen der Voraussetzungen ist die Abbildung endlich und besitzt lokal in jedem Punkt die Gestalt mit einem lokalen Parameter im Bildpunkt . Eine Differentialform besitzt lokal in die Gestalt mit einer holomorphen Funktion . Bei ist . Die Form wird auf

    zurückgezogen und dies ist nicht die Nullform.

  2. Nach Teil (1) ist das Bild von unter dem Rückzug ein Untervektorraum von und besitzt daher höchstens dessen Dimension. Die Aussage folgt somit mit Fakt *****.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass eine holomorphe Abbildung zwischen kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen und in natürlicher Weise einen Homomorphismus

zwischen den zugehörigen jacobischen Varietäten induziert.


Lösung

Über den Rückzug erhält man eine lineare Abbildung

und dazu die duale Abbildung

Unter dieser Abbildung wird die Auswertung zu einem stetigen Weg auf die Abbildung abgebildet. Dies stimmt nach Fakt ***** mit der Abbildung überein. Dies bedeutet insgesamt, dass unter der dualen Abbildung das Periodengitter von auf das Periodengitter von abgebildet wird. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus

Da er von einer linearen Abbildung herrührt, ist er holomorph.