Kurs:Riemannsche Flächen/1/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |
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Punkte | 3 | 3 | 10 | 4 | 2 | 6 | 4 | 5 | 4 | 5 | 4 | 2 | 4 | 4 | 4 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine Decktransformation zu einer Überlagerung .
- Ein Gitter in den komplexen Zahlen .
- Eine Garbe auf einem topologischen Raum .
- Eine holomorphe Differentialform auf einer riemannschen Fläche .
- Der Hauptdivisor zu einer meromorphen Funktion auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche .
- Die Jacobische Varietät zu einer zusammenhängenden kompakten riemannschen Fläche .
Lösung Riemannsche Flächen/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über das Verzweigungsverhalten bei endlichen holomorphen Abbildungen zwischen riemannschen Flächen.
- Der Residuensatz.
- Der Satz von Abel-Jacobi.
- Es sei eine endliche holomorphe Abbildung zwischen den riemannschen Flächen und mit zusammenhängend. Dann ist die Summe konstant, also unabhängig von .
- Es sei eine
kompakte
riemannsche Fläche,
es sei
eine endliche Teilmenge in und eine holomorphe Differentialform auf .
Dann ist
- Es sei eine
kompakte
zusammenhängende
riemannsche Fläche.
Dann ist die
Abel-Jacobi-Abbildung
von der Divisorenklassengruppe auf vom Grad in die Jacobische Varietät ein
Gruppenisomorphismus.
Aufgabe (10 Punkte)
Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.
Lösung Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (4 Punkte)
Inwiefern ist eine riemannsche Fläche ein eindimensionales, inwiefern ein zweidimensionales Objekt?
Lösung Riemannsche Fläche/Dimensionsfrage/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (2 Punkte)
In der gegebenen Situation wird die Tangentialabbildung einfach durch das total Differential, also durch die Ableitung beschrieben. Da die Tangentialabbildung eine lineare Abbildung von nach ist, ist bijektiv äquivalent zu . Es ist
die Nullstellen der Ableitung sind
in diesen beiden Punkten ist also die Tangentialabbildung nicht bijektiv.
Aufgabe (6 Punkte)
Wir verwenden Fakt *****, es ist also zu zeigen, dass die partiellen Ableitungen von
Es sei ein Punkt, in dem alle partiellen Ableitungen sind. Dann ist nach der letzten Ableitung
Bei folgt aus der ersten Bedingung und daraus aus der zweiten Bedingung auch , was kein projektiver Punkt ist. Bei folgt aus der zweiten Bedingung , woraus aus der ersten Bedingung folgt, was schon ausgeschlossen ist. Also verbleibt noch die Möglichkeit
Wegen der Homogenität müssen wir nur noch Punkte der Form betrachten. Die erste Ableitung führt auf
und die zweite auf
Diese letzte Bedingung nach aufgelöst und in die erste eingesetzt führt auf
also
bzw.
Die dritte Potenz davon ist aber sicher nicht gleich . Es gibt also keinen Punkt , wo alle Ableitungen verschwinden.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei und sei
die zugehörige Abbildung. Bestimme den maximalen Ort derart, dass eine Überlagerung ist.
Es ist , d.h. die einzige Nullstelle der Ableitung ist bei . Es ist
Wir setzen und behaupten, dass
eine Überlagerung ist. Für jeden Punkt gibt es eine Faktorzerlegung
Wegen und da die Ableitung nicht ist folgt . Jeder Punkt aus besitzt also zwei Urbildpunkte. Da in jedem Punkt ein lokaler Homöomorphismus vorliegt, liegt eine endliche Überlagerung mit Blätterzahl vor.
Aufgabe (5 Punkte)
Zeige, dass der Ausbreitungsraum zur Garbe der stetigen reellwertigen Funktionen auf kein Hausdorffraum ist.
Wir betrachten in einerseits den Keim der Nullfunktion und andererseits den Keim der Funktion , die im Negativen die Nullfunktion und im Positiven die Identität ist. Diese Funktion ist stetig, da sie ja im Nullpunkt den Wert besitzt. Wir behaupten, dass man die beiden Keime und im Ausbreitungsraum nicht durch offene Mengen trennen kann. Jede offene Umgebung von im Ausbreitungsraum ist von der Form mit einer offenen Umgebung des Nullpunktes und einer darauf definierten stetigen Funktion , die im Halm zur Nullfunktion wird. Daher ist eingeschränkt auf einer eventuell kleineren offenen Umgebung die Nullfunktion. Jede offene Umgebung von im Ausbreitungsraum ist von der Form mit einer offenen Umgebung des Nullpunktes und einer darauf definierten stetigen Funktion , die im Halm mit übereinstimmt und daher auf der negativen Seite eines offenen Intervalls des Nullpunkes die Nullfunktion wird. Für die Punkte aus gilt daher und es gibt keine disjunkten Umgebungen.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine exakte Differentialform auf mit Werten in . Es sei ein stetig differenzierbarer Weg in . Zeige, dass für das Wegintegral die Beziehung
gilt.
Nach Voraussetzung ist
mit einer differenzierbaren Funktion
Wir wenden die Kettenregel auf
an und erhalten damit und mit dem Hauptsatz der Infinitesimalrechnung
Aufgabe (5 Punkte)
Bestimme für die projektive Gerade eine meromorphe Funktion, die die Hauptteilverteilung realisiert, die in den Hauptteil und in den Hauptteil besitzt.
Wir bringen die Hauptteile mit Hilfe der Partialbruchzerlegung auf eine Form, woraus die Realisierung als rationale Funktion ablesbar ist. Für den Punkt machen wir den Ansatz
bzw.
Mit ergibt sich und mit ergibt sich . Betrachten von ergibt . Da der erste Summand in holomorph ist, kann man den vorgegebenen Hauptteil als
schreiben. Diese rationale Funktion realisiert den ersten Hauptteil.
Für den Punkt machen wir den Ansatz
bzw.
Es folgt und . Also ist ebenfalls ein repräsentierender Hauptteil. Die Summe dieser rationalen Funktionen realisiert insgesamt die Hauptteilverteilung.
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass für eine endliche holomorphe Abbildung
zwischen kompakten riemannschen Flächen und und einer meromorphen Differentialform auf mit dem zugehörigen Divisor der zurückgezogene Divisor im Allgemeinen nicht der Divisor (und auch nicht die Divisorklasse) zur zurückgezogenen Differentialform ist.
Wir betrachten die endliche holomorphe Abbildung
Die meromorphe Differentialform besitzt auf der projektiven Geraden den Divisor . Der zurückgezogene Divisor unter dazu ist . Die zurückgezogene Differentialform ist
mit dem zugehörigen Divisor . Das sind verschiedene Divisoren und verschiedene Divisorenklassen, da ihr Grad verschieden ist.
Aufgabe (2 Punkte)
Formuliere den Satz von Riemann-Roch ohne erste Kohomologie.
Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht und sei ein Divisor auf mit der zugehörigen invertierbaren Garbe . Es sei ein kanonischer Divisor von . Dann ist
Dies beruht darauf, dass aufgrund der Serre-Dualität die Vektorräume und dual zueinander sind und deshalb die gleiche Dimension besitzen. Ferner ist
Aufgabe (4 (2+2) Punkte)
Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Es sei ein Divisor auf vom Grad und sei die zugehörige invertierbare Garbe auf .
- Für jede invertierbare Garbe von positivem Grad auf einer riemannschen Fläche vom Geschlecht ist nach
Aufgabe 30.8 (Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022))
die erste Kohomologie gleich und nach
Riemann-Roch
ist daher
Wenn speziell den Grad besitzt, so ist der Raum vierdimensional.
- Nach Teil (1) ist der Raum achtdimensional. Die Basis von definiert mit Aufgabe 20.19 (Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)) Elemente in . Dies sind zehn Elemente in einem achtdimensionalen Vektorraum, also müssen sie zumindest zwei linear unabhängige lineare Relationen erfüllen.
Aufgabe (4 (3+1) Punkte)
Es sei eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen und .
- Zeige, dass der Rückzug von holomorphen Differentialformen injektiv ist.
- Man folgere aus (1), dass für die
Geschlechter
die Abschätzung
gilt.
- Der Rückzug von Differentialformen ist eine lineare Abbildung
es genügt also zu zeigen, dass der Kern trivial ist. Wegen der Voraussetzungen ist die Abbildung endlich und besitzt lokal in jedem Punkt die Gestalt mit einem lokalen Parameter im Bildpunkt . Eine Differentialform besitzt lokal in die Gestalt mit einer holomorphen Funktion . Bei ist . Die Form wird auf
zurückgezogen und dies ist nicht die Nullform.
- Nach Teil (1) ist das Bild von unter dem Rückzug ein Untervektorraum von und besitzt daher höchstens dessen Dimension. Die Aussage folgt somit mit Fakt *****.
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass eine holomorphe Abbildung zwischen kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen und in natürlicher Weise einen Homomorphismus
zwischen den zugehörigen jacobischen Varietäten induziert.
Über den Rückzug erhält man eine lineare Abbildung
und dazu die duale Abbildung
Unter dieser Abbildung wird die Auswertung zu einem stetigen Weg auf die Abbildung abgebildet. Dies stimmt nach Fakt ***** mit der Abbildung überein. Dies bedeutet insgesamt, dass unter der dualen Abbildung das Periodengitter von auf das Periodengitter von abgebildet wird. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus
Da er von einer linearen Abbildung herrührt, ist er holomorph.