Kurs:Riemannsche Flächen/3/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	10	5	3	2	4	5	4	3	3	6	4	5	4	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine holomorphe Abbildung ${}\varphi \colon Y\rightarrow X$ zwischen riemannschen Flächen.
2. Eine Überlagerung ${}p\colon Y\rightarrow X$ zwischen topologischen Räumen.
3. Eine Prägarbe ${}{\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$.
4. Eine meromorphe Funktion ${}f$ auf einer riemannschen Fläche ${}X$.
5. Ein Divisor auf einer riemannschen Fläche ${}X$.
6. Das Geschlecht einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche ${}X$.

Lösung Riemannsche Flächen/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Halme der Strukturgarbe auf einer riemannschen Fläche.
2. Der Satz über den Grad von Hauptdivisoren.
3. Die Serre-Dualität.

Lösung

1. Zu einem Punkt ${}P\in X$ auf einer riemannschen Fläche ${}X$ ist der Halm ${}{\mathcal {O}}_{X,P}$ der Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$ der holomorphen Funktionen isomorph zum Ring der konvergenten Potenzreihen in einer Variablen.
2. Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Dann ist der Grad eines Hauptdivisors gleich ${}0$.
3. Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$. Dann definiert die natürliche Abbildung

   $\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {L}},\Omega _{X}\right)}\times H^{1}(X,{\mathcal {L}})\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(\theta ,c)\longmapsto \operatorname {Res} _{}\left(H^{1}(\theta )(c)\right),$

   eine

   vollständige Dualität.

Aufgabe (10 Punkte)

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.

Lösung Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Beschreibe Aspekte der Analysis, die für die Theorie der riemannschen Flächen besonders relevant sind.

Lösung Riemannsche Flächen/Analysis/Aspekte/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die holomorphe Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(z,w)\longmapsto z^{3}+zw+w^{2}.$

Für welche Punkte ${}P\in {\mathbb {C} }^{2}$ ist die Tangentialabbildung

$T_{P}{\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow T_{\varphi (P)}{\mathbb {C} }$

surjektiv?

Lösung

In der gegebenen Situation wird die Tangentialabbildung einfach durch das total Differential beschrieben. Da die Tangentialabbildung eine lineare Abbildung von ${}{\mathbb {C} }^{2}$ nach ${}{\mathbb {C} }$ ist, ist surjektiv äquivalent zu ${}\neq 0$. Das totale Differential ist

$\left(3z^{2}+w,\,z+2w\right).$

Wir müssen bestimmen, wann beide Komponenten gleich ${}0$ sind. Wir lösen die Bedingung ${}3z^{2}+w=0$ nach ${}w$ auf und setzen dies in die zweite Gleichung ein und erhalten

${}0=z+2w=z-6z^{2}=z(1-6z)\,.$

Also ist ${}z=0$ oder ${}z={\frac {1}{6}}$. Daher ist die Tangentialabbildung genau in den beiden Punkten ${}\left(0,\,0\right)$ und ${}\left({\frac {1}{6}},\,-{\frac {1}{12}}\right)$ nicht surjektiv.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Fixpunkte der Abbildung

${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(s,t)\longmapsto (t,s).$

Lösung

Da die Koordinaten eines Punktes auf der projektiven Geraden bis auf Multiplikation mit einem Skalar ${}\lambda \neq 0$ eindeutig festgelegt sind, haben wir die Bedingung

${}(s,t)=\lambda (t,s)\,,$

also ${}s=\lambda t$ und ${}t=\lambda s$. Dies führt auf ${}t=\lambda ^{2}t$. Da nicht beide Koordinaten ${}0$ sein dürfen, darf hier überhaupt keine Koordinate gleich ${}0$ sein, und somit ist ${}\lambda =\pm 1$. Da wir ${}t$ zu ${}1$ normieren können, gibt es die beiden Fixpunkte

$(1,1)\,\,{\text{ und }}\,\,(1,-1).$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein Polynom vom Grad ${}\geq 2$ und sei

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$

die zugehörige Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ keine Überlagerung ist.

Lösung

Die Ableitung ${}P'$ besitzt den Grad ${}d-1\geq 1$ und damit zumindest eine Nullstelle ${}a\in {\mathbb {C} }$. Es sei ${}b=P(a)$. Das Polynom ${}P-b$ und seine Ableitung ${}(P-b)'=P'$ besitzen somit in ${}a$ eine Nullstelle, d.h. ${}a$ ist eine mehrfache Nullstelle von ${}P-b$. D.h. ${}P-b=(X-a)^{r}Q$ mit ${}r\geq 2$ und daher besitzt ${}P-b$ höchstens ${}d-1$ verschiedene Nullstellen, also besteht die Faser zu ${}\varphi$ über ${}b$ aus höchstens ${}d-1$ Elementen. Die Fasern von ${}\varphi$ sind aber außerhalb der Nullstellen der Ableitung ${}d$-elementig. Bei einer Überlagerung über einer zusammenhängenden Menge ist aber die Faseranzahl konstant.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,F\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,G\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,H\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von kommutativen topologischen Gruppen (mit stetigen Gruppenhomomorphismen). Es trage ${}F$ die induzierte Topologie von ${}G$ und die Surjektion ${}p\colon G\rightarrow H$ habe die Eigenschaft, dass es zu jedem Element ${}h\in H$ eine offene Umgebung ${}h\in W\subseteq H$ und einen stetigen Schnitt zu ${}p$ gibt. Zeige, dass dann für jeden topologischen Raum ${}X$ die zugehörige Sequenz der Garben der stetigen Abbildungen in diese Gruppen, also

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,F)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,G)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,H)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,$

ebenfalls exakt.

Lösung

Es ist klar, dass ein Komplex von Garben von kommutativen Gruppen auf ${}X$ vorliegt. Die Injektivität links ist ebenfalls klar. Zur Exaktheit in der Mitte: Wenn zu einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ eine stetige Abbildung ${}\varphi \colon U\rightarrow G$ die Eigenschaft besitzt, dass ${}p\circ \varphi$ die Nullabbildung ist, so liegt das Bild von ${}\varphi$ in ${}F$. Da ${}F$ die induzierte Topologie von ${}G$ trägt, ist auch die Abbildung ${}\varphi \colon U\rightarrow F$ stetig. Zur Garbensurjektivität rechts: Es sei ${}P\in X$ ein Punkt und

$\psi \colon V\longrightarrow H$

eine auf einer offenen Umgebung von ${}P$ definierte stetige Abbildung nach ${}H$. Es sei ${}\psi (P)=h$. Nach Voraussetzung gibt es eine offene Umgebung ${}h\in W\subseteq H$ und einen Schnitt ${}s\colon W\rightarrow G$ mit ${}p\circ s=\operatorname {Id} _{W}$. Wir betrachten

${}U:=V\cap \psi ^{-1}(W)\,.$

Dann ist ${}s\circ \psi$ (eingeschränkt auf ${}U$) ein stetiger Schnitt von ${}G$, der unter ${}p$ auf ${}\psi$ abgebildet wird.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche und sei ${}f$ eine holomorphe Funktion auf ${}X$. Zeige, dass der Funktionskeim ${}f_{Q}$ zu einem Punkt ${}Q\in X$ nur zu einem Funktionskeim ${}f_{P}$ (in einem Punkt ${}P\in X$) analytisch fortgesetzt werden kann.

Lösung

Es sei ${}\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ ein stetiger Weg mit ${}\gamma (0)=Q$ und ${}\gamma (1)=P$ und sei ${}g$ ein Keim in ${}P$, der durch analytische Fortsetzung längs ${}\gamma$ aus ${}f_{Q}$ entsteht. Dann gibt es eine Unterteilung ${}0=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=1$, zusammenhängende offene Mengen ${}U_{i}\subseteq X$ mit ${}\gamma ([t_{i-1},t_{i}]\subseteq U_{i}$ und holomorphe Funktionen ${}f_{i}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$ derart, dass ${}f_{1}=f_{Q}$, ${}f_{n}=g$ und ${}f_{i}$ und ${}f_{i+1}$ in einer offenen Umgebung von ${}\gamma (t_{i})$ übereinstimmen. Wir zeigen durch Induktion nach ${}i$, dass ${}f_{i}$ mit ${}f{|}_{U_{i}}$ übereinstimmt. Aufgrund des Zusammenhangs und des Identitätssatzes genügt es, die Übereinstimmung im Halm eines Punktes nachzuweisen. Daher ergibt sich der Induktionsschritt direkt aus der Bedingung

${}f_{i+1,\gamma (t_{i})}=f_{i,\gamma (t_{i})}=f_{\gamma (t_{i})}\,,$

der Induktionsanfang ist unmittelbar erfüllt.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Wegintegral zur holomorphen Differentialform ${}z^{2}dz$ auf ${}{\mathbb {C} }$ bezüglich des Weges

$\gamma \colon [-1,0]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto 2t^{2}-{\mathrm {i} }t.$

Lösung

Die Differentialform ist exakt, eine Stammfunktion ist

${}f(z)={\frac {1}{3}}z^{3}\,.$

Es ist

${}\gamma (-1)=2+{\mathrm {i} }\,$

und

${}\gamma (0)=0\,.$

Daher ist nach Fakt *****

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }z^{2}dz&=f(\gamma (0))-f(\gamma (-1))\\&=f(0)-f(2+{\mathrm {i} })\\&=-{\frac {1}{3}}{\left(2+{\mathrm {i} }\right)}^{3}\\&=-{\frac {1}{3}}{\left(8+12{\mathrm {i} }-6-{\mathrm {i} }\right)}\\&={\frac {-2-11{\mathrm {i} }}{3}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für eine endliche holomorphe Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

zwischen riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ und einer holomorphen Differentialform ${}\omega$ auf ${}Y$ mit dem zugehörigen Divisor ${}D=\operatorname {div} {\left(\omega \right)}$ der zurückgezogene Divisor ${}\varphi ^{*}D$ im Allgemeinen nicht der Divisor zur zurückgezogenen Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ ist.

Lösung

Wir betrachten die endliche holomorphe Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2}.$

Die holomorphe Differentialform ${}dz$ besitzt den trivialen Divisor ${}0$. Der zurückgezogene Divisor unter ${}\varphi$ ist ebenfalls ${}0$. Die zurückgezogene Differentialform ist

${}\varphi ^{*}dz=dw^{2}=2wdw\,$

mit dem zugehörigen Divisor ${}1\{0\}$. Das sind verschiedene Divisoren.

Aufgabe (6 (1+4+1) Punkte)

Es sei ${}P\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ ein Punkt der projektiven Geraden und ${}n\in \mathbb {Z}$.

1. Zeige, dass die zugehörige invertierbare Garbe ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(nP)$ unabhängig vom Punkt ${}P$ ist. Wir bezeichnen sie mit ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(n)$.
2. Bestimme eine Basis des Vektorraumes ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(n\{\infty \})\right)}$ als Untervektorraum von

   ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {M}}\right)}={\mathbb {C} }(z)\,.$

3. Bestimme die Dimension von ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(n)\right)}$.

Lösung

1. Nach Satz 19.18 (Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)) sind die Divisoren ${}P$ und ${}P'$ auf der projektiven Geraden zueinander linear äquivalent und nach Satz 20.17 (Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)) sind dann die zugehörigen invertierbaren Garben isomorph.
2. Nach Definition ist unter Verwendung von Satz 19.19 (Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022))

   ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(n\{\infty \})\right)}={\left\{f\mid f\in {\mathbb {C} }(z){\text{ und }}\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq -n\{\infty \}\right\}}\,.$

   Es geht also um die rationalen Funktionen ${}{\frac {P}{Q}}$ in einer Variablen ${}z$, die im unendlich fernen Punkt einen Nullstellenordnung von kleinstenfalls ${}-n$ haben und ansonsten holomorph sind. Diese Bedingung bedeutet direkt, dass ${}P/Q$ in ${}{\mathbb {C} }$ keinen Pol besitzt und daher muss ${}Q$ (in einer teilerfremden Darstellung) eine Einheit sein. Wir betrachten also nur noch Polynome ${}P\in {\mathbb {C} }[z]$. Die Polordnung von einem Polynom vom Grad ${}d$ im unendlich fernen Punkt ist ${}d$ (beispielsweise wegen Satz 19.17 (Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022))). Daher erlaubt die Bedingung genau diejenigen Polynome, deren Grad höchstens ${}n$ ist. Somit liegt für ${}n$ negativ der Nullraum vor und für ${}n\geq 0$ ist ${}1,z,z^{2},\ldots ,z^{n}$ eine Basis.

3. Für negatives ${}n$ ist die Dimension ${}0$ und für ${}n\geq 0$ ist die Dimension gleich ${}n+1$.

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht ${}1$. Es sei ${}D$ ein Divisor auf ${}X$ vom Grad ${}3$ und sei ${}{\mathcal {O}}_{X}(D)$ die zugehörige invertierbare Garbe auf ${}X$.

1. Zeige, dass ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}$ die Dimension ${}3$ besitzt.
2. Es sei ${}x,y,z$ eine Basis von ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}$. Zeige, dass es in ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(3D)\right)}$ eine nichttriviale Beziehung zwischen den Monomen in ${}x,y,z$ vom Grad ${}3$ geben muss.

Lösung

1. Für jede invertierbare Garbe ${}{\mathcal {L}}$ von positivem Grad auf einer riemannschen Fläche vom Geschlecht ${}1$ ist nach Aufgabe 30.8 (Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)) die erste Kohomologie gleich ${}0$ und nach Riemann-Roch ist daher

   ${}h^{0}(X,{\mathcal {L}})=\operatorname {Grad} \,({\mathcal {L}})\,.$

   Wenn speziell ${}D$ den Grad ${}3$ besitzt, so ist der Raum ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}$ dreidimensional.

2. Nach Teil (1) ist der Raum ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(3D)\right)}$ neundimensional. Die Basis ${}x,y,z$ von ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}$ definiert mit Aufgabe 20.19 (Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)) Elemente ${}x^{3},y^{3},z^{3},xyz,xy^{2},xz^{2},yx^{2},yz^{2},zx^{2},zy^{2}$ in ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(3D)\right)}$. Dies sind zehn Elemente in einem neundimensionalen Vektorraum, also müssen sie eine nichttriviale lineare Relation erfüllen.

Aufgabe (5 (3+1+1) Punkte)

Wir betrachten die meromorphe Differentialform ${}\omega ={\frac {z+1}{z(z-1)}}dz$ auf der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$.

1. Bestimme zu jedem Punkt den zugehörigen Hauptteil der Differentialform.
2. Berechne in jedem Punkt das Residuum.
3. Bestätige, dass das Gesamtresiduum gleich ${}0$ ist.

Lösung

1. In den Punkten aus ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0,1\}$ liegt eine holomorphe Differentialform vor. Mit einer Partialbruchzerlegung ist

   ${}{\frac {z+1}{z(z-1)}}={\frac {-1}{z}}+{\frac {2}{z-1}}\,$

   und somit

   ${}{\frac {z+1}{z(z-1)}}dz={\frac {-1}{z}}dz+{\frac {2}{z-1}}dz\,.$

   Im unendliche fernen Punkt ${}\infty$ ist

   ${}{\begin{aligned}{\frac {z+1}{z(z-1)}}dz&={\frac {w^{-1}+1}{w^{-1}(w^{-1}-1)}}dw^{-1}\\&=-{\frac {w^{-1}+1}{w^{-1}(w^{-1}-1)}}\cdot {\frac {1}{w^{2}}}dw\\&={\frac {1+w}{w(w-1)}}dw.\end{aligned}}$

   Wegen

   ${}{\frac {1+w}{w(w-1)}}={\frac {-1}{w}}+{\frac {2}{w-1}}\,$

   ist der Hauptteil im unendlich fernen Punkt gleich ${}{\frac {-1}{w}}dw$.

2. Das Residuum in ${}0$ ist ${}-1$, das Residuum in ${}1$ ist ${}2$ und das Residuum in ${}\infty$ ist ${}-1$ und in jedem anderen Punkt ist das Residuum gleich ${}0$.
3. Die Summe der Residuen ist ${}-1+2-1=0$.

Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

Es sei ${}\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, ${}z\longmapsto {\frac {(z-1)(z+1)}{z}}$, die durch die rationale Funktion ${}{\frac {(z-1)(z+1)}{z}}$ gegebene holomorphe Abbildung von der projektiven Geraden in sich.

1. Bestimme den Verzweigungsdivisor ${}R$ von ${}\varphi$.
2. Beweise die Formel von Riemann-Hurwitz

   ${}\operatorname {Grad} \,(R)=2{\left(\operatorname {Grad} \,(\varphi )-1\right)}\,$

   in diesem Fall direkt.

Lösung

1. Die Ableitung von

   ${}f(z)={\frac {(z-1)(z+1)}{z}}={\frac {z^{2}-1}{z}}=z-{\frac {1}{z}}\,$

   ist

   ${}f'(z)=1+z^{-2}\,.$

   Somit liegt innerhalb von ${}{\mathbb {C} }$ Verzweigung in den Punkten ${}{\mathrm {i} }$ und ${}-{\mathrm {i} }$ vor, beide mit Verzweigungsindex ${}2$, da er höher nicht sein kann. In der Variablen

   ${}w=z^{-1}\,$

   besitzt die Abbildung die entsprechende Beschreibung ${}w^{-1}+w$, daher liegt im unendlich fernen Punkt keine Verzweigung vor. Der Verzweigungsdivisor ist also ${}1\cdot \{{\mathrm {i} }\}-1\cdot \{{\mathrm {i} }\}$.

2. Der Grad der Abbildung ist das Maximum von Zähler- und Nennergrad, also gleich ${}2$. Daher ist

   ${}\operatorname {Grad} \,(R)=2=2(2-1)\,.$