Kurs:Riemannsche Flächen/3/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 10 5 3 2 4 5 4 3 3 6 4 5 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine holomorphe Abbildung zwischen riemannschen Flächen.
  2. Eine Überlagerung zwischen topologischen Räumen.
  3. Eine Prägarbe auf einem topologischen Raum .
  4. Eine meromorphe Funktion auf einer riemannschen Fläche .
  5. Ein Divisor auf einer riemannschen Fläche .
  6. Das Geschlecht einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche .


Lösung Riemannsche Flächen/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Halme der Strukturgarbe auf einer riemannschen Fläche.
  2. Der Satz über den Grad von Hauptdivisoren.
  3. Die Serre-Dualität.


Lösung

  1. Zu einem Punkt auf einer riemannschen Fläche ist der Halm der Strukturgarbe der holomorphen Funktionen isomorph zum Ring der konvergenten Potenzreihen in einer Variablen.
  2. Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Dann ist der Grad eines Hauptdivisors gleich .
  3. Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und eine invertierbare Garbe auf . Dann definiert die natürliche Abbildung

    eine

    vollständige Dualität.


Aufgabe (10 Punkte)

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.


Lösung Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Beschreibe Aspekte der Analysis, die für die Theorie der riemannschen Flächen besonders relevant sind.


Lösung Riemannsche Flächen/Analysis/Aspekte/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die holomorphe Abbildung

Für welche Punkte ist die Tangentialabbildung

surjektiv?


Lösung

In der gegebenen Situation wird die Tangentialabbildung einfach durch das total Differential beschrieben. Da die Tangentialabbildung eine lineare Abbildung von nach ist, ist surjektiv äquivalent zu . Das totale Differential ist

Wir müssen bestimmen, wann beide Komponenten gleich sind. Wir lösen die Bedingung nach auf und setzen dies in die zweite Gleichung ein und erhalten

Also ist oder . Daher ist die Tangentialabbildung genau in den beiden Punkten und nicht surjektiv.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Fixpunkte der Abbildung


Lösung

Da die Koordinaten eines Punktes auf der projektiven Geraden bis auf Multiplikation mit einem Skalar eindeutig festgelegt sind, haben wir die Bedingung

also und . Dies führt auf . Da nicht beide Koordinaten sein dürfen, darf hier überhaupt keine Koordinate gleich sein, und somit ist . Da wir zu normieren können, gibt es die beiden Fixpunkte


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Polynom vom Grad und sei

die zugehörige Abbildung. Zeige, dass keine Überlagerung ist.


Lösung

Die Ableitung besitzt den Grad und damit zumindest eine Nullstelle . Es sei . Das Polynom und seine Ableitung besitzen somit in eine Nullstelle, d.h. ist eine mehrfache Nullstelle von . D.h. mit und daher besitzt höchstens verschiedene Nullstellen, also besteht die Faser zu über aus höchstens Elementen. Die Fasern von sind aber außerhalb der Nullstellen der Ableitung -elementig. Bei einer Überlagerung über einer zusammenhängenden Menge ist aber die Faseranzahl konstant.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

eine kurze exakte Sequenz von kommutativen topologischen Gruppen (mit stetigen Gruppenhomomorphismen). Es trage die induzierte Topologie von und die Surjektion habe die Eigenschaft, dass es zu jedem Element eine offene Umgebung und einen stetigen Schnitt zu gibt. Zeige, dass dann für jeden topologischen Raum die zugehörige Sequenz der Garben der stetigen Abbildungen in diese Gruppen, also

ebenfalls exakt.


Lösung

Es ist klar, dass ein Komplex von Garben von kommutativen Gruppen auf vorliegt. Die Injektivität links ist ebenfalls klar. Zur Exaktheit in der Mitte: Wenn zu einer offenen Menge eine stetige Abbildung die Eigenschaft besitzt, dass die Nullabbildung ist, so liegt das Bild von in . Da die induzierte Topologie von trägt, ist auch die Abbildung stetig. Zur Garbensurjektivität rechts: Es sei ein Punkt und

eine auf einer offenen Umgebung von definierte stetige Abbildung nach . Es sei . Nach Voraussetzung gibt es eine offene Umgebung und einen Schnitt mit . Wir betrachten

Dann ist (eingeschränkt auf ) ein stetiger Schnitt von , der unter auf abgebildet wird.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine riemannsche Fläche und sei eine holomorphe Funktion auf . Zeige, dass der Funktionskeim zu einem Punkt nur zu einem Funktionskeim (in einem Punkt ) analytisch fortgesetzt werden kann.


Lösung

Es sei ein stetiger Weg mit und und sei ein Keim in , der durch analytische Fortsetzung längs aus entsteht. Dann gibt es eine Unterteilung , zusammenhängende offene Mengen mit und holomorphe Funktionen derart, dass , und und in einer offenen Umgebung von übereinstimmen. Wir zeigen durch Induktion nach , dass mit übereinstimmt. Aufgrund des Zusammenhangs und des Identitätssatzes genügt es, die Übereinstimmung im Halm eines Punktes nachzuweisen. Daher ergibt sich der Induktionsschritt direkt aus der Bedingung

der Induktionsanfang ist unmittelbar erfüllt.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Wegintegral zur holomorphen Differentialform auf bezüglich des Weges


Lösung

Die Differentialform ist exakt, eine Stammfunktion ist

Es ist

und

Daher ist nach Fakt *****


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für eine endliche holomorphe Abbildung

zwischen riemannschen Flächen und und einer holomorphen Differentialform auf mit dem zugehörigen Divisor der zurückgezogene Divisor im Allgemeinen nicht der Divisor zur zurückgezogenen Differentialform ist.


Lösung

Wir betrachten die endliche holomorphe Abbildung

Die holomorphe Differentialform besitzt den trivialen Divisor . Der zurückgezogene Divisor unter ist ebenfalls . Die zurückgezogene Differentialform ist

mit dem zugehörigen Divisor . Das sind verschiedene Divisoren.


Aufgabe (6 (1+4+1) Punkte)

Es sei ein Punkt der projektiven Geraden und .

  1. Zeige, dass die zugehörige invertierbare Garbe unabhängig vom Punkt ist. Wir bezeichnen sie mit .
  2. Bestimme eine Basis des Vektorraumes als Untervektorraum von
  3. Bestimme die Dimension von .


Lösung

  1. Nach Satz 19.18 (Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)) sind die Divisoren und auf der projektiven Geraden zueinander linear äquivalent und nach Satz 20.17 (Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)) sind dann die zugehörigen invertierbaren Garben isomorph.
  2. Nach Definition ist unter Verwendung von Satz 19.19 (Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022))

    Es geht also um die rationalen Funktionen in einer Variablen , die im unendlich fernen Punkt einen Nullstellenordnung von kleinstenfalls haben und ansonsten holomorph sind. Diese Bedingung bedeutet direkt, dass in keinen Pol besitzt und daher muss (in einer teilerfremden Darstellung) eine Einheit sein. Wir betrachten also nur noch Polynome . Die Polordnung von einem Polynom vom Grad im unendlich fernen Punkt ist (beispielsweise wegen Satz 19.17 (Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022))). Daher erlaubt die Bedingung genau diejenigen Polynome, deren Grad höchstens ist. Somit liegt für negativ der Nullraum vor und für ist eine Basis.

  3. Für negatives ist die Dimension und für ist die Dimension gleich .


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht . Es sei ein Divisor auf vom Grad und sei die zugehörige invertierbare Garbe auf .

  1. Zeige, dass die Dimension besitzt.
  2. Es sei eine Basis von . Zeige, dass es in eine nichttriviale Beziehung zwischen den Monomen in vom Grad geben muss.


Lösung

  1. Für jede invertierbare Garbe von positivem Grad auf einer riemannschen Fläche vom Geschlecht ist nach Aufgabe 30.8 (Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)) die erste Kohomologie gleich und nach Riemann-Roch ist daher

    Wenn speziell den Grad besitzt, so ist der Raum dreidimensional.

  2. Nach Teil (1) ist der Raum neundimensional. Die Basis von definiert mit Aufgabe 20.19 (Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)) Elemente in . Dies sind zehn Elemente in einem neundimensionalen Vektorraum, also müssen sie eine nichttriviale lineare Relation erfüllen.


Aufgabe (5 (3+1+1) Punkte)

Wir betrachten die meromorphe Differentialform auf der projektiven Geraden .

  1. Bestimme zu jedem Punkt den zugehörigen Hauptteil der Differentialform.
  2. Berechne in jedem Punkt das Residuum.
  3. Bestätige, dass das Gesamtresiduum gleich ist.


Lösung

  1. In den Punkten aus liegt eine holomorphe Differentialform vor. Mit einer Partialbruchzerlegung ist

    und somit

    Im unendliche fernen Punkt ist

    Wegen

    ist der Hauptteil im unendlich fernen Punkt gleich .

  2. Das Residuum in ist , das Residuum in ist und das Residuum in ist und in jedem anderen Punkt ist das Residuum gleich .
  3. Die Summe der Residuen ist .


Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

Es sei , , die durch die rationale Funktion gegebene holomorphe Abbildung von der projektiven Geraden in sich.

  1. Bestimme den Verzweigungsdivisor von .
  2. Beweise die Formel von Riemann-Hurwitz

    in diesem Fall direkt.


Lösung

  1. Die Ableitung von

    ist

    Somit liegt innerhalb von Verzweigung in den Punkten und vor, beide mit Verzweigungsindex , da er höher nicht sein kann. In der Variablen

    besitzt die Abbildung die entsprechende Beschreibung , daher liegt im unendlich fernen Punkt keine Verzweigung vor. Der Verzweigungsdivisor ist also .

  2. Der Grad der Abbildung ist das Maximum von Zähler- und Nennergrad, also gleich . Daher ist