Kurs:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Zerlegung von Moduln über Hauptidealbereichen/Textabschnitt/kontrolle

Torsionsfreie Moduln

Lemma Lemma 4.1 ändern

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, in dem jedes Ideal von höchstens ${}r$ Elementen erzeugt werden kann. Es sei außerdem ${}M$ ein ${}R$- Modul mit ${}n$ Erzeugern.

Dann besitzt jeder Untermodul ${}U\subseteq M$ ein Erzeugendensystem aus höchstens ${}n\cdot r$ Elementen.

Beweis

Wir führen Induktion über ${}n$. Der Induktionsanfang ${}(n=0)$ ist klar, denn der Nullmodul, der von ${}0$ Elementen erzeugt wird, hat nur sich selbst als Untermodul.

Es sei der Sachverhalt also für Moduln, die von weniger als ${}n$ Elementen erzeugt werden, bewiesen. Es sei ${}U\subseteq M$ ein Untermodul eines Moduls ${}M$ mit ${}n$ Erzeugern ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$.

Wir betrachten ${}M/Rx_{1}$. Es sei ${}p$ die zugehörige kanonische Projektion. Diese hat die Eigenschaft ${}\operatorname {kern} p=Rx_{1}$. Der Restklassenmodul ${}M/Rx_{1}$ wird von ${}[x_{2}],\ldots ,[x_{n}]$ erzeugt. Nach Induktionsvoraussetzung hat daher ${}p(U)$ ein Erzeugendensystem mit ${}(n-1)\cdot r$ Erzeugern:

$[y_{j}],1\leq j\leq (n-1)\cdot r,$

wobei die ${}y_{j}$ aus ${}U$ gewählt seien.

${}(\operatorname {kern} p)\cap U\subseteq Rx_{1}$ ist ein Untermodul von ${}Rx_{1}\cong R/\operatorname {Ann} _{R}(x_{1})$ und damit gemäß Lemma 2.2 isomorph zu einem Ideal von ${}R/\operatorname {Ann} _{R}(x_{1})$. Ein Ideal von ${}R/\operatorname {Ann} _{R}(x_{1})$ ist bezüglich der kanonischen Projektion das Bild eines Ideals in ${}R$ und für alle Ideale in ${}R$ gibt es nach Voraussetzung ein Erzeugendensystem aus ${}r$ Elementen. Deshalb kann der Untermodul ${}(\operatorname {kern} p)\cap U$ von ${}r$ Elementen

$z_{1}=c_{1}x_{1},\ldots ,z_{r}=c_{r}x_{1}$

erzeugt werden, wobei die ${}c_{i}$ aus dem Ideal stammen.

Wir behaupten, dass ${}U$ von den ${}z_{i}$, ${}1\leq i\leq r$, und den ${}y_{j}$, ${}1\leq j\leq (n-1)r$, zusammen erzeugt wird. Es sei dazu ${}u\in U$. Dann ist ${}p(u)=\sum _{j=1}^{(n-1)r}a_{j}p(y_{j})$ und somit ist

$u-\sum _{j=1}^{(n-1)r}a_{j}y_{j}\in (\operatorname {kern} p)\cap U.$

Also ist

$u-\sum _{j=1}^{(n-1)r}a_{j}y_{j}=\sum _{i=1}^{r}b_{i}z_{i}$

und ${}u$ lässt sich als Linearkombination der angegebenen ${}nr$ Elemente schreiben.

$\Box$

Lemma Lemma 4.2 ändern

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}M$ ein ${}R$- Modul mit ${}n$ Erzeugern.

Dann besitzt jeder Untermodul ${}U\subseteq M$ ein Erzeugendensystem aus höchstens ${}n$ Elementen.

Beweis

Dies folgt direkt aus Lemma 4.1.

$\Box$

Satz Satz 4.3 ändern

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}M$ ein endlicher torsionsfreier Modul.

Dann ist ${}M$ frei.

Beweis

Wir führen Induktion über die Anzahl ${}n$ der Erzeugenden der endlichen, torsionsfreien Moduln. Für ${}n=0$ gibt es nur den Nullmodul, der trivialerweise frei ist.

Es sei daher jeder endliche, torsionsfreie Modul mit weniger als n Erzeugern frei. Es sei ${}M=Ax_{1}+\ldots +Ax_{n}$ torsionsfrei.

Sind die Erzeuger ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ linear unabhängig, so handelt es sich um eine Basis und wir sind fertig.

Sind die Erzeuger nicht linear unabhängig, so gibt es eine nichttriviale Relation ${}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=0$, wobei o.B.d.A. ${}a_{1}\neq 0$ ist. Es sei ${}m\in M$ ein beliebiges Element mit einer Darstellung ${}m=b_{1}x_{1}+\cdots +b_{n}x_{n}$. Dann gilt

${}{\begin{aligned}a_{1}m&=b_{1}a_{1}x_{1}+\cdots +b_{n}a_{1}x_{n}\\&=-b_{1}(a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n})+b_{2}a_{1}x_{2}+\cdots +b_{n}a_{1}x_{n}\\&=(b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2})x_{2}+\cdots +(b_{n}a_{1}-b_{1}a_{n})x_{n}\end{aligned}}$

${}a_{1}M$ liegt daher im von ${}x_{2},\ldots ,x_{n}$ erzeugten Untermodul ${}M'=Rx_{2}+\ldots +Rx_{n}$. Weil ${}M$ torsionsfrei ist, ist ${}a_{1}M$ isomorph zu ${}M$ und hat als Untermodul von ${}M'$ nach Lemma 4.2 ein Erzeugendensystem aus ${}n-1$ Erzeugern. Daher ist ${}a_{1}M$ nach Induktionsvoraussetzung frei.

$\Box$

Torsionsmoduln

Definition Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}M$ ein Modul.

Es sei nun ${}p$ ein Primelement in ${}R$. Der Untermodul ${}M(p)$ aller von einer Potenz von ${}p$ annullierten Elemente von ${}M$ heißt die Primärkomponente von ${}M$.

Es ist also

$M(p):=\bigcup _{\nu \in \mathbb {N} }M^{\nu }(p):=\bigcup _{\nu \in \mathbb {N} }\left\{x\in M:p^{\nu }x=0\right\}.$

${}M^{1}(p)$ wird Sockel von ${}M$ genannt.

Bei ${}M=M(p)$ für ein Primelement ${}p$ heißt ${}M$ ein Primärmodul.

Zur Motivation zwei einfache Beispiele.

Beispiel Referenznummer erstellen

Jede abelsche Gruppe ${}G$ ist nach Beispiel 1.7 auf natürliche Weise ein ${}\mathbb {Z}$-Modul. Ein Element ${}g\in G$ gehört genau dann zur Primärkomponente ${}G(p)$, wenn ${}\operatorname {ord} \,(g)=p^{\nu }$ für ein ${}\nu \in \mathbb {N}$ ist.

Beispiel Beispiel 4.6 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}\varphi \in \operatorname {End} _{K}V$ ein Endomorphismus in ${}V$. Dann trägt ${}V$ eine Modulstruktur über dem Polynomring ${}K[X]$, die vermittelt wird durch die Skalarmultiplikation

$K[X]\times V\longrightarrow V,\,P\times v\longmapsto P(\varphi )(v).$

Die linearen Polynome ${}X-a$ für ${}a\in K$ sind Primpolynome, also Primelemente in ${}K[X]$ .

Der ${}(X-a)$- Sockel

$V^{1}(X-a)=\left\{x\in V:(\varphi -a\cdot \operatorname {Id} )(x)=\varphi (x)-ax=0\right\}$

ist gerade der

Eigenraum zum Wert ${}a$.

Die Verallgemeinerung ${}V(X-a)$ heißt der zugehörige Hauptraum (dies ist also der Raum, in dem ${}\varphi (x)-ax$ nilpotent ist).

Dieser Sachverhalt soll im folgenden motivierendes Beispiel dafür bilden die Zerlegung von Torsionsmoduln genauer zu betrachten.

Dass ein nicht torsionsfreier Modul frei ist, können wir nicht erwarten, da jedes Torsionselement schon für sich genommen linear abhängig ist und damit ist erst recht ein Erzeugendensystem des ganzen Moduls linear abhängig. Wir können einen Torsionsmodul über einem Hauptidealbereich aber als direkte Summe seiner Primärkomponenten darstellen, wie folgender Satz zeigt.

Satz Satz 4.7 ändern

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}M$ ein ${}R$- Torsionsmodul. Enthalte außerdem die Teilmenge ${}P\subseteq R$ zu jeder Äquivalenzklasse assoziierter Primelemente je einen Repräsentanten.

Dann lässt sich ${}M$ darstellen als direkte Summe seiner Primärkomponenten:

$M=\bigoplus _{p\in P}M(p).$

Ebenso lässt sich auch der Torsionsuntermodul ${}\operatorname {t} M'$ eines beliebigen ${}R$- Moduls ${}M'$ als direkte Summe der Primärkomponenten von ${}M'$ darstellen.

Beweis

Wir wollen die Zerlegung für endliche Untermoduln von ${}M$ zeigen. Wenn jeder endliche Untermodul eine direkte Summenzerlegung aus Primärkomponenten besitzt, dann gilt das auch für ${}M$, weil jedes Element von ${}M$ in einem endlichen Untermodul liegt. Es sei daher ${}U\subseteq M$ ein beliebiger endlicher Untermodul von ${}M$. ${}U$ ist als Untermodul des Torsionsmoduls ${}M$ ein Torsionsmodul. Jedes Element ${}x_{i}$ eines Erzeugendensystems ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ wird daher annulliert von einem Nichtnullteiler ${}r_{i}\in R$. Jedes Element von ${}U$ wird daher annulliert von ${}r:=r_{1}\cdots r_{n}\neq 0$, deshalb gilt ${}r\in \operatorname {Ann} _{R}U$. Dieses ${}r$ besitzt als Element eines Hauptidealbereichs eine kanonische Primfaktorzerlegung

$r=ap_{1}^{e_{1}}\cdots p_{k}^{e_{k}},$

wobei ${}a$ eine

Einheit ist und ${}p_{1},\ldots ,p_{k}$ paarweise verschiedene Primelemente.

Wir behaupten, dass

$U=U^{e_{1}}(p_{1})\oplus \cdots \oplus U^{e_{k}}(p_{k})=\left\{x\in U:p_{1}^{e_{1}}x=0\right\}\oplus \cdots \oplus \left\{x\in U:p_{k}^{e_{k}}x=0\right\}$

gilt.

Nach dem Lemma von Bezout gibt es für die Elemente ${}q_{1},\ldots ,q_{k}$ mit ${}q_{i}=\prod _{j\neq i}p_{j}^{e_{j}}$, die nach Konstruktion keinen gemeinsamen Teiler besitzen, eine Darstellung der ${}1$:

$c_{1}q_{1}+\cdots +c_{k}q_{k}=1.$

Es sei nun ${}x\in U$. Dann ist für alle ${}i\in \{1,\ldots ,k\}$

$c_{i}q_{i}x\in U^{e_{i}}(p_{i}),$

weil ${}ac_{i}q_{i}p_{i}^{e_{i}}=c_{i}r$ als Vielfaches von ${}r$ den Untermodul ${}U$ und damit auch ${}x$ annulliert. Weil ${}c_{i}q_{i}x+\ldots +c_{k}q_{k}x=1x=x$ gilt, gibt es für jedes ${}x\in U$ eine Darstellung in ${}U^{e_{1}}(p_{1})\oplus \cdots \oplus U^{e_{k}}(p_{k})$. Es sei nun ${}x=u_{1}+\cdots +u_{k}$ eine Darstellung eines Elements ${}x\in U$ mit ${}u_{i}\in U^{e_{i}}(p_{i})$. Dann ist

$c_{i}q_{i}x=c_{i}q_{i}u_{1}+\cdots +c_{i}q_{i}u_{k}=c_{i}q_{i}u_{i}=(1-\sum _{j\neq i}c_{j}q_{j})u_{i}=u_{i},$

weil ${}u_{j}\in U^{e_{j}}(p_{j})=\left\{x\in U:p_{j}^{e_{j}}x=0\right\}$ für ${}j\neq i$ jeweils von ${}q_{i}$ annulliert wird.

Deshalb ist die Darstellung eindeutig und ${}U$ direkte Summe seiner Primärkomponenten und damit auch ${}M$ direkte Summe seiner Primärkomponenten.

$\Box$

Manchmal ist der betrachtete Modul nicht nur ein Torsionsmodul, sondern hat auch einen nichttrivialen Annullator. Dies ist genau dann der Fall, wenn es Ringelemente ${}r\neq 0$ gibt, die alle Modulelemente annullieren. Im Beweis zu Satz 4.7 haben wir benutzt (und gezeigt), dass es dies für endliche Torsionsmoduln immer gibt.

Im Falle eines nichttrivialen Annullators kann man sogar eine Zerlegung in zyklische Primärmoduln finden. Im Beweis dafür benutzen wir folgendes Lemma, das wir vorweg nehmen wollen:

Lemma Lemma 4.8 ändern

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich, ${}M$ ein ${}R$- Modul und ${}p\in R$ ein Primelement.

Dann ist der ${}p$- Sockel ${}M^{1}(p)$ ein Vektorraum über dem Körper ${}R/Rp$.

Beweis

${}M^{1}(p)$ besteht aus allen Elementen, die sich durch ${}p$ annullieren lassen. Das bedeutet, dass das Ideal ${}(p)=Rp$ genau wie ${}0$ auf ${}M^{1}(p)$ agiert. Aufgrund der Distributivität der skalaren Multiplikation hat das notwendig zur Folge, dass auch alle anderen Ringelemente „modulo ${}Rp$ “ agieren. Deshalb ist ${}M^{1}(p)$ ein Modul über ${}R/Rp$. ${}R/Rp$ ist nach Satz 3.14 ein Körper und ein Modul über einem Körper ist ein Vektorraum.

$\Box$

Heinz Prüfer (1896-1934)

Satz (Satz von Prüfer) Satz 4.9 ändern

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Es sei außerdem ${}\operatorname {Ann} _{R}M\neq 0$.

Dann ist ${}M$ direkte Summe zyklischer Primärmoduln.

Beweis

Die Aussage von Satz 4.7 ist gerade, dass ${}M$ direkte Summe seiner Primärkomponenten ist (weil ein Modul über einem Hauptidealbereich mit nichttrivialem Annullator in jedem Fall ein Torsionsmodul ist).

Es bleibt also nur zu zeigen, dass die Primärkomponenten direkte Summe zyklischer Moduln sind. Nehmen wir also an ${}M=M(p)$ für ein Primelement ${}p\in R$. Als Ideal wird ${}\operatorname {Ann} _{R}M$ von ${}p^{n}$ erzeugt für ein ${}n\in \mathbb {N}$, deshalb ist ${}p^{n}x=0$ für alle ${}x\in M$.

Wir führen Induktion über ${}n$. Für ${}n=0$ ist ${}p^{0}x=x=0$ für alle ${}x\in M$, daher wird ${}M$ von ${}0$ erzeugt.

Im Induktionsschritt müssen wir zeigen, dass aus ${}p^{n+1}M=0$ folgt, dass ${}M$ direkte Summe zyklischer Moduln ist.

Die Induktionsvoraussetzung sagt uns, dass ${}pM$, da es von ${}p^{n}$ annulliert wird, direkte Summe zyklischer Moduln ist:

$pM=\bigoplus _{i\in I}Rpx_{i}.$

Hierbei kann ${}px_{i}\neq 0$ für alle ${}i\in I$ erreicht werden, nehmen wir dies also an.

Es gilt für alle ${}i\in I$ die Aussage ${}\operatorname {Ann} _{R}(Rpx_{i})=Rp^{n_{i}}$ für ein ${}1\leq n_{i}\leq n$, weil auch ${}Rpx_{i}\subseteq M$ gilt und ${}\operatorname {Ann} _{R}(Rpx_{i})=R$ zu ${}px_{i}=0$ führen würde. Es folgt ${}\operatorname {Ann} _{R}(Rx_{i})=Rp^{n_{i}+1}$.

Es sei ${}0=\sum r_{i}x_{i}$ mit ${}r_{i}\in R$. Weil ${}pM$ direkte Summe der ${}px_{i}$ ist, folgt daraus mit ${}0=p\sum r_{i}x_{i}=\sum r_{i}(px_{i})$ auch ${}r_{i}(px_{i})=0$, deshalb ist

$r_{i}\in \operatorname {Ann} _{R}(Rpx_{i})=Rp_{i}^{n}\subseteq Rp$

für alle ${}i\in I$. Aus diesem Grund können wir ${}r_{i}=ps_{i}$ schreiben, mit ${}s_{i}\in R$. Daraus folgt mit ${}0=\sum r_{i}x_{i}=0=\sum s_{i}(px_{i})$ auch ${}s_{i}(px_{i})=r_{i}x_{i}=0$.

Deshalb ist der Untermodul ${}M_{1}:=\sum Rx_{i}$ direkte Summe der zyklischen Moduln ${}Rx_{i}$.

Es sei nun ${}x\in M$ beliebig. Dann ist ${}px=\sum b_{i}px_{i}$. Deshalb gilt für ${}y=\sum b_{i}x_{i}$ zum Einen ${}y\in M_{1}$ und zum Anderen ${}px-py=p(x-y)=0$, und daher ${}x-y\in M^{1}(p)$.

Es gilt daher ${}M=M_{1}+M^{1}(p)$. Der Restklassenmodul ${}M^{1}(p)/M_{1}\cap M^{1}(p)$ ist isomorph zu einem Untermodul ${}M_{2}$ des ${}p$- Sockels ${}M^{1}(p)$, weil ${}M^{1}(p)$ nach Lemma 4.8 ein Vektorraum über dem Körper ${}R/Rp$ ist. Folglich ist auch ${}M_{2}$ ein Vektorraum über ${}R/Rp$. Als Vektorraum besitzt ${}M_{2}$ eine Basis und damit eine direkte Summenzerlegung in zyklische Moduln über ${}R/Rp$. Dies liefert auch zyklische Primärmoduln über ${}R$.

Daher besitzt ${}M=M_{1}\oplus M_{2}$ eine direkte Zerlegung in zyklische Primärmoduln.

$\Box$

Allgemeine Moduln

Nach diesen Überlegungen können wir nun unsere Aussage, dass endliche torsionsfreie Moduln frei sind, dergestalt erweitern, dass endliche Moduln sich generell in eine direkte Summe zyklischer Moduln zerlegen lassen.

Satz Satz 4.10 ändern

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}M$ ein endlicher ${}R$- Modul.

Dann ist ${}M$ direkte Summe zyklischer Moduln.

Beweis

Der Torsionsuntermodul ${}\operatorname {t} M$ hat als endlicher Torsionsmodul einen nichttrivialen Annullator. Daher besitzt er nach Satz 4.9 eine direkte Summenzerlegung in zyklische Moduln.

Der Restklassenmodul ${}M/\operatorname {t} M$ ist endlich und torsionsfrei und daher nach Satz 4.3 frei. Als freier Modul besitzt er eine Basis und die Basiselemente erzeugen zyklische Untermoduln, als deren direkte Summe sich ${}M/\operatorname {t} M$ darstellen lässt.

Es bleibt also nur zu zeigen:

${}M=\operatorname {t} M\oplus M/\operatorname {t} M\,.$

Es sei dazu ${}x\in M$. ${}M/\operatorname {t} M$ ist ein freier Modul, daher gibt es eine Basis ${}[x_{1}],\ldots ,[x_{n}]$, die durch nichtannullierbare Elemente ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in M$ repräsentiert wird.

Es sei nun ${}x\in M$ und ${}[x]=a_{1}[x_{1}]+\cdots +a_{n}[x_{n}]\in M/\operatorname {t} M$. Dann gibt es nach Definition der Restklasse genau ein ${}y\in \operatorname {t} M$ mit ${}x=y+a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}$. Weil es auch umgekehrt für jedes Paar aus ${}[x]=b_{1}[x_{1}]+\cdots +b_{n}[x_{n}]\in M/\operatorname {t} M$ und ${}y\in \operatorname {t} M$ genau ein ${}x'=b_{1}x_{1}+\cdots +b_{n}x_{n}+y\in M$ gibt, ist die Summenzerlegung direkt.

$\Box$

Durch Einführung von bestimmten Kenngrößen kann man das sogar noch weiter spezifizieren.

Definition Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich, ${}M$ ein Modul und ${}p\in R$ ein Primelement.

Der Restklassenraum der ${}p$- Sockel ${}(p^{n-1}M)^{1}(p)/(p^{n}M)^{1}(p)$ ist nach Lemma 4.8 ein ${}R/Rp$- Vektorraum.

Seine Dimension

$\operatorname {u} (n,p):=\operatorname {dim} _{R/Rp}(p^{n-1}M)^{1}(p)/(p^{n}M)^{1}(p)$

heißt die

te Ulmsche ${}p$-Invariante von ${}M$.

Diese Dimension muss nicht endlich sein. Daher können die Ulmschen Invarianten auch Kardinalzahlen sein.

Satz Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}M$ ein Modul, der sich als direkte Summe zyklischer Moduln darstellen lässt. Außerdem enthalte die Teilmenge von Primelementen ${}P\subseteq R$ zu jeder Äquivalenzklasse assoziierter Primelemente in ${}R$ genau einen Repräsentanten.

Dann lässt sich ${}M$ durch seinen Rang und seine Ulmschen Invarianten bis auf Isomorphie eindeutig darstellen als

$M\cong R^{(\operatorname {rang} M)}\oplus \bigoplus _{p\in P,n\in \mathbb {N} _{+}}(R/Rp^{n})^{(\operatorname {u} (n,p))}.$

Beweis

Wir gehen von der Zerlegung ${}M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}$ aus. Jedes ${}M_{i},i\in I$, ist als zyklischer Modul entweder Torsionsmodul oder torsionsfrei.

Die torsionsfreien zyklischen Komponenten sind jeweils isomorph zu ${}R$. Weil es in ${}M$ tatsächlich ${}\operatorname {rang} M$ linear unabhängige Elemente gibt, aber nicht mehr, muss es auch ${}\operatorname {rang} M$ solche Komponenten geben. Wir fassen sie zusammen als ${}R^{(\operatorname {rang} M)}$.

Die zyklischen Torsionsmoduln lassen sich nach Satz 4.7 darstellen als direkte Summe ihrer Primärkomponenten. Diese Primärmoduln sind als Untermoduln eines zyklischen Moduls zyklisch und damit isomorph zu ${}R/Rp^{n}$ für ein Primelement ${}p\in R$ und ein ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Es kommt daher nur noch auf die Anzahl dieser Primärmoduln an, wobei die zu überprüfende Behauptung ist, dass die ${}n$-te Ulmsche ${}p$-Invariante ${}\operatorname {u} (n,p)$ die Anzahl des Vorkommens des Raumes ${}R/Rp^{n}$ in der direkten Summe ist.

Dazu betrachten wir die Ulmschen Invarianten eben dieser Räume ${}R/Rp^{n}$ für sich genommen. Es sei ${}q\in P,m\in \mathbb {N}$. Zur Berechnung der ${}m$-ten Ulmschen Invarianten von ${}R/Rp^{n}$ zum Primelement ${}q$ müssen wir nach Definition jeweils die Quotientenräume von ${}(q^{m-1}(R/Rp^{n}))^{1}(q)$ nach ${}(q^{m}(R/Rp^{n}))^{1}(q)$ betrachten. Es gilt:

$(q^{m}(R/Rp^{n}))^{1}(q)={\left\{[q^{m}x]\mid [x]\in R/Rp^{n},[q^{m+1}x]=0\right\}}.$

Dies bedeutet zum Einen ${}(q^{m}(R/Rp^{n}))^{1}(q)=0$ für ${}q\neq p$ und ${}m\in \mathbb {N}$ beliebig, weil ${}p$ und ${}q$ teilerfremd sind und es daher außer ${}0$ keine Elemente in ${}R/Rp^{n}$ gibt mit ${}[q^{m+1}x]=0$. Daher gilt für ${}R/Rp^{n}$ auch ${}\operatorname {u} (m,q)=0$ für alle ${}m\in \mathbb {N} _{+}$.

Zum Anderen bedeutet es bei ${}q=p$ und ${}m<n$

$(q^{m}(R/Rp^{n}))^{1}(q)=Rp^{m}/Rp^{m+1}\cong R/Rp$

und für ${}m\geq n$ gilt ${}(q^{m}(R/Rp^{n}))^{1}(q)=0$ wegen ${}[p^{n}x]=0$.

Weil für die Ulmschen Invarianten jeweils die Dimension der Restklassenräume von ${}q$-Sockeln für auf einander folgende ${}m$ betrachtet werden, gelten insgesamt beim Raum ${}R/Rp^{n}$ für ${}q=p$ und ${}m\in \mathbb {N} _{+}$:

$\operatorname {u} (m,q)={\begin{cases}\operatorname {dim} _{R/Rp}(R/Rp)/(R/Rp)=0,\,{\text{ falls }}m<n\,,\\\operatorname {dim} _{R/Rp}(R/Rp)/(0)=1,\,{\text{ falls }}m=n\,,\\\operatorname {dim} _{R/Rp}(0)/(0)=0,\,{\text{ falls }}m>n\,.\end{cases}}.$

Bei der Bildung der direkten Summe nun addieren sich auch die Ulmschen Invarianten der Summanden und bilden als Summe die Ulmschen Invarianten der direkten Summe, weil sich auch die Sockel addieren. Daraus folgt direkt, dass die Ulmschen Invarianten ${}\operatorname {u} (n,p)$ die Anzahlen des Vorkommens der Räume ${}R/Rp^{n}$ in der direkten Summe beschreiben.

$\Box$