Lineare Abbildung/Determinante/Textabschnitt
- Elementarmatrizen
Elementare Zeilenumformungen ändern nicht den Lösungsraum von homogenen linearen Gleichungssystemen, wie in Fakt gezeigt wurde.
Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über .
Dann gibt es elementare Zeilenumformungen und eine (Neu-)Nummerierung der Spalten
und ein derart, dass in der entstandenen Matrix die Spalten die Gestalt
und
besitzen. Durch elementare Zeilenumformungen und zusätzliche Spaltenvertauschungen kann man also eine Matrix auf die Gestalt
mit bringen.
Dies beruht auf den entsprechenden Manipulationen wie beim Eliminationsverfahren, siehe Fakt.
Ausgeschrieben sehen diese Elementarmatrizen folgendermaßen aus.
Es sei ein Körper und eine -Matrix mit Einträgen in . Dann hat die Multiplikation mit den -Elementarmatrizen von links mit folgende Wirkung.
- Vertauschen der -ten und der -ten Zeile von .
- Multiplikation der -ten Zeile von mit .
- Addition des -fachen der -ten Zeile von zur -ten Zeile ().
Beweis
- Determinanten
Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert. Die in der Definition auftretenden Matrizen nennt auch Streichungsmatrizen. Für kleine kann man die Determinante einfach ausrechnen.
Dies folgt mit einer einfachen Induktion direkt aus der Definition der Determinante.
- Universelle Eigenschaft der Determinante
Es sei ein -dimensionaler Vektorraum über einem Körper . Eine Abbildung
heißt Determinantenfunktion, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.
- ist multilinear.
- ist alternierend.
Es sei ein Körper und . Es sei
eine Determinantenfunktion.
Dann besitzt folgende Eigenschaften.
- Wenn man eine Zeile von mit multipliziert, so ändert sich um den Faktor .
- Wenn in eine Nullzeile vorkommt, so ist .
- Wenn man in zwei Zeilen vertauscht, so ändert sich mit dem Faktor .
- Wenn man zu einer Zeile ein skalares Vielfaches einer anderen Zeile dazuaddiert, so ändert sich nicht.
- Wenn ist, so ist für eine obere Dreiecksmatrix .
(1) und (2) folgen direkt aus der
Multilinearität.
(3) folgt aus
Fakt.
Zu (4) betrachten wir die Situation, wo zur -ten Zeile das -fache der -ten Zeile addiert wird,
.
Aufgrund der schon bewiesenen Teile ist dann
(5). Wenn ein Diagonalelement ist, so sei . Zur -ten Zeile kann man durch Hinzuaddieren von geeigneten Vielfachen der -ten Zeilen, , erreichen, dass aus der -ten Zeile eine Nullzeile wird, ohne dass sich der Wert der Determinantenfunktion ändert. Nach (2) muss dieser Wert dann sein. Wenn kein Diagonalelement ist, so kann man durch wiederholte Skalierung erreichen, dass alle Diagonalelemente zu werden, und durch Zeilenadditionen kann man erreichen, dass die Einheitsmatrix entsteht. Daher ist
Es sei ein Körper und .
Dann gibt es genau eine Determinantenfunktion
mit
wobei die Standardvektoren sind, nämlich die Determinante.
Die
Determinante
besitzt aufgrund von
Fakt,
Fakt
und
Fakt
die angegebenen Eigenschaften.
Zur Eindeutigkeit. Zu jeder Matrix gibt es eine Folge von elementaren Zeilenumformungen derart, dass das Ergebnis eine obere Dreiecksmatrix ist. Dabei ändert sich nach
Fakt
bei einer Vertauschung von Zeilen der Wert der Determinantenfunktion mit dem Faktor , bei der Umskalierung einer Zeile um den Skalierungsfaktor und bei der Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile gar nicht. Daher ist eine Determinantenfunktion durch die Werte auf einer oberen Dreiecksmatrix bzw. nach Skalierung und Zeilenaddition sogar durch den Wert an der Einheitsmatrix festgelegt.
Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
- Es ist .
- Die Zeilen von sind linear unabhängig.
- ist invertierbar.
- Es ist .
Die Beziehung zwischen Rang, Invertierbarkeit und linearer Unabhängigkeit wurde schon in Fakt gezeigt. Es seien die Zeilen linear abhängig. Wir können nach Zeilenvertauschungen annehmen, dass ist. Dann ist nach Fakt und Fakt
Es seien nun die Zeilen linear unabhängig. Dann kann man durch Zeilenvertauschungen, Skalierung und Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile die Matrix sukzessive zur Einheitsmatrix transformieren. Dabei ändert sich die Determinante stets durch einen von verschiedenen Faktor. Da die Determinante der Einheitsmatrix ist, muss auch die Determinante der Ausgangsmatrix sein.
- Der Determinantenmultiplikationssatz
Wir fixieren die Matrix . Es sei zunächst . Dann ist nach Fakt die Matrix nicht invertierbar und damit ist auch nicht invertierbar und somit wiederum . Es sei nun invertierbar. In diesem Fall betrachten wir die wohldefinierte Abbildung
Wir wollen zeigen, dass diese Abbildung gleich der Abbildung ist, indem wir die die Determinante charakterisierenden Eigenschaften nachweisen und Fakt anwenden. Wenn die Zeilen von sind, so ergibt sich , indem man auf die Zeilen die Determinante anwendet und mit multipliziert. Daher folgt die Multilinearität und die alternierende Eigenschaft aus Aufgabe. Wenn man mit startet, so ist und daher ist
- Die Determinante der Transponierten
Die transponierte Matrix entsteht also, indem man die Rollen von Zeilen und Spalten vertauscht.
Wenn nicht invertierbar ist, so ist nach Fakt die Determinante und der Rang kleiner als . Dies gilt auch für die transponierte Matrix, sodass deren Determinante wiederum ist. Es sei also invertierbar. Wir führen diese Aussage in diesem Fall auf die entsprechende Aussage für Elementarmatrizen zurück, wofür sie direkt verifiziert werden kann, siehe Aufgabe. Es gibt nach Fakt Elementarmatrizen derart, dass
eine Diagonalmatrix ist. Nach Aufgabe ist
bzw.
Die Diagonalmatrix ändert sich beim Transponieren nicht. Da die Determinanten von Elementarmatrizen sich beim Transponieren auch nicht ändern, gilt, unter Verwendung von Fakt,
Für ist die erste Gleichung die rekursive Definition der Determinante. Daraus folgt die Aussage für aufgrund von Fakt. Durch Spalten- und Zeilenvertauschung folgt die Aussage daraus allgemein, siehe Aufgabe.
- Die Determinante von Endomorphismen
Es sei
eine lineare Abbildung eines Vektorraumes der Dimension in sich. Diese wird (siehe Definition 13.4.) bezüglich einer Basis durch eine Matrix beschrieben. Es liegt nahe, die Determinante dieser Matrix als Determinante der linearen Abbildung zu nehmen, doch hat man hier das Problem der Wohldefiniertheit: die lineare Abbildung wird bezüglich einer anderen Basis durch eine „völlig“ andere Matrix beschrieben. Allerdings besteht zwischen den zwei beschreibenden Matrizen und und der Übergangsmatrix aufgrund von Fakt die Beziehung
Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes ist daher
sodass die folgende Definition unabhängig von der Wahl einer Basis ist.
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung, die bezüglich einer Basis durch die Matrix beschrieben werde. Dann nennt man
die Determinante der linearen Abbildung .
- Adjungierte Matrix und Cramersche Regel
Zu einer quadratischen Matrix heißt
wobei die Streichungsmatrix zur -ten Zeile und zur -ten Spalte ist, die adjungierte Matrix (Adjunkte) von .
Achtung, bei der Definition der Einträge der adjungierten Matrix werden Zeilen und Spalten vertauscht.
Es sei . Die Koeffizienten der adjungierten Matrix seien
Die Koeffizienten des Produktes sind
Bei ist dies , da es sich bei dieser Summe um die Entwicklung der Determinante nach der -ten Spalte handelt. Es sei und es sei die Matrix, die aus entsteht, wenn man in die -te Spalte durch die -te Spalte ersetzt. Wenn man nach der -ten Spalte entwickelt, so ist dies
Also sind diese Koeffizienten , und damit stimmt die erste Gleichung.
Die zweite Gleichung ergibt sich ebenso, wobei man die Entwicklung der Determinante nach den verschiedenen Zeilen ausnutzen muss.
Es sei ein Körper und
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem. Es sei vorausgesetzt, dass die beschreibende Matrix invertierbar sei.
Dann erhält man die eindeutige Lösung für durch .
Für eine invertierbare Matrix ergibt sich die Lösung für das lineare Gleichungssystem , indem man anwendet, d.h. es ist . Unter Verwendung von Fakt bedeutet dies . Für die -te Komponente bedeutet dies
Der rechte Faktor ist dabei die Entwicklung der Determinante der Matrix im Zähler nach der -ten Spalte.
Die Determinante kann auch auf eine andere Art eingeführt werden, nämlich über die sogenannte Leibniz-Formel. Diese lautet für eine -Matrix
Dabei wird über alle bijektiven Abbildungen (man spricht in diesem Zusammenhang von Permutationen) von auf sich summiert. Zu einer Permutation ist das Signum (oder das Vorzeichen) durch
definiert.