Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 19/kontrolle

Die Garbe der Kähler-Differentiale auf einem Schema

Es sei ${}X$ ein Schema über einem Basisschema ${}S$. Wir möchten eine Garbenversion des Moduls der Kählerdifferentiale definieren.

Lemma Lemma 19.1 ändern

Es sei ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra über einem kommutativen Ring ${}R$.

Dann gilt für jedes ${}f\in A$ die Gleichheit

${}{\left(\Gamma {\left(D(f),{\widetilde {\Omega _{A{|}R}}}\right)},{\tilde {d}}\right)}={\left(\Omega _{A_{f}{|}R},d\right)}\,$

und für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(A\right)}$ die Gleichheit

${}{\left({\left({\widetilde {\Omega _{A{|}R}}}\right)}_{\mathfrak {p}},d_{\mathfrak {p}}\right)}={\left(\Omega _{A_{\mathfrak {p}}{|}R},d\right)}\,.$

Beweis

Dies folgt aus Lemma 18.6 in Verbindung mit Lemma 14.5.

$\Box$

Definition Referenznummer erstellen

Es sei ${}p\colon X\rightarrow S$ ein Schema über einem Basisschema ${}S$. Dann versteht man unter der Garbe der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{X{|}S}$ denjenigen quasikohärenten ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul auf ${}X$ zusammen mit einer Derivation über ${}p^{-1}{\mathcal {O}}_{S}$

$d\colon {\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow \Omega _{X{|}S}$

derart, dass für jeden Punkt ${}P\in X$ die Bedingung

${}{\left({\left(\Omega _{X{|}S}\right)}_{P},d_{P}\right)}={\left(\Omega _{{\mathcal {O}}_{X,P}{|}{\mathcal {O}}_{S,p(P)}},d\right)}\,$

erfüllt ist.

Es ist zu zeigen, dass es ein solches Objekt in eindeutiger Weise gibt. Durch die Quasikohärenz muss zu jeder affinen Teilmenge ${}V=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\subseteq S$ und jeder affinen Teilmenge ${}U=\operatorname {Spek} {\left(A\right)}\subseteq X$ mit ${}U\subseteq p^{-1}(V)$ der Modul auf ${}U$ mit ${}{\widetilde {\Omega _{A{|}R}}}$ übereinstimmen. Im affinen Fall ist nach Lemma 19.1 der Modul ${}{\widetilde {\Omega _{A{|}R}}}$ das richtige Modell. Wenn ${}(\Omega ,d)$ ${}(\Omega ',d')$ zwei Modelle sind, so gibt es aufgrund der universellen Eigenschaft (zuerst auf den affinen Stücken und dann allgemein) einen ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modulhomomorphismus

${\widetilde {\Omega _{A{|}R}}}\longrightarrow \Omega '.$

Da dieser punktweise ein Isomorphismus ist, handelt es sich überhaupt um einen Isomorphismus. Insbesondere kann es nur eine solche Garbe geben. Wenn eine affine Überdeckung

${}S=\bigcup _{j\in J}V_{j}\,$

und dazu eine affine Überdeckung

${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

mit ${}U_{i}\subseteq p^{-1}(V_{j})$ für ein ${}j=j(i)$ vorliegt, so kann man die ${}\Omega _{U_{i}{|}V_{j(i)}}$ miteinander verkleben, da die Einschränkungen auf affinen Stücken ${}U\subseteq U_{i}\cap U_{i'}$ über ${}V\subseteq V_{j(i)}\cap V_{j(i')}$ eindeutig bestimmt sind.

Definition Referenznummer erstellen

Es sei ${}p\colon X\rightarrow S$ ein Schema über einem Basisschema ${}S$. Dann versteht man unter der Tangentialgarbe ${}{\mathcal {T}}_{X,S}$ den Dualmodul

${}{\mathcal {T}}_{X,S}=\Omega _{X{|}S}^{*}\,.$

Es ist also

${}{\mathcal {T}}_{X,S}=\Omega _{X{|}S}^{*}={{\mathcal {H}}om}{\left(\Omega _{X{|}S},{\mathcal {O}}_{X}\right)}={\mathcal {Der}}{\left({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {O}}_{X}\right)}\,,$

wobei die letzte Gleichheit auf der universellen Eigenschaft der Kähler-Differentiale beruht. Entsprechend nennt man die Garbe der Kähler-Differentiale auch die Kotangentialgarbe.

Wir formulieren die Aussagen für die Kähler-Differentiale im affinen Fall aus der letzten Vorlesung allgemein für ein Schema über einem Basischema.

Lemma Referenznummer erstellen

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ ein Schemamorphismus über einem Basisschema ${}S$.

Dann ist die Sequenz von quasikohärenten ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Moduln

$\varphi ^{*}\Omega _{Y{|}S}\longrightarrow \Omega _{X{|}S}\longrightarrow \Omega _{X{|}Y}\longrightarrow 0$

exakt.

Beweis

Dies folgt aus Lemma 18.7.

$\Box$

Lemma Lemma 19.5 ändern

Es sei ${}X$ ein Schema über einem Basischema ${}S$ und sei ${}{\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {O}}_{X}$ eine Idealgarbe auf ${}X$ mit dem zugehörigen abgeschlossenen Unterschema ${}j\colon Y\rightarrow X$.

Dann ist die Sequenz

${\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\longrightarrow j^{*}\Omega _{X{|}S}\longrightarrow \Omega _{Y{|}S}\longrightarrow 0$

von quasikohärenten ${}{\mathcal {O}}_{Y}$- Modul exakt.

Beweis

Dies folgt direkt aus Lemma 18.8.

$\Box$

Korollar Korollar 19.6 ändern

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei ${}X$ ein zusammenhängendes Schema von endlichem Typ über ${}K$.

Dann ist ${}X$ genau dann glatt, wenn der Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{X{|}K}$ lokal frei von konstantem Rang ${}\operatorname {dim} {\left(X\right)}$ ist.

Beweis

Dies folgt aus Satz 18.16 und Satz 18.17.

$\Box$

Definition Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei ${}X$ ein zusammenhängendes glattes Schema von endlichem Typ über ${}K$ der Dimension ${}d$. Dann nennt man

${}\omega _{X}:=\operatorname {Det} \Omega _{X{|}K}=\bigwedge ^{d}\Omega _{X{|}K}\,$

die kanonische Garbe von ${}X$.

Das Tangentialbündel auf dem projektiven Raum

Satz Satz 19.8 ändern

Es sei ${}{\mathbb {P} }_{R}^{n}=\operatorname {Proj} {\left(R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}$ der projektive Raum über einem kommutativen Ring ${}R$.

Dann wird der ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}$- Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{{\mathbb {P} }_{R}^{n}{|}R}$ durch die kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{{\mathbb {P} }_{R}^{n}{|}R}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(-1)^{\oplus n+1}\,{\stackrel {X_{0},\ldots ,X_{n}}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

zusammen mit der universellen Derivation, die auf jeder offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {P} }_{R}^{n}$ eine Funktion ${}f\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}\right)}$ auf

${}df=\left({\frac {\partial f}{\partial X_{0}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial f}{\partial X_{n}}}\right)\,$

abbildet, beschrieben.

Beweis

Wir bezeichnen die Kerngarbe links, die wir als Kähler-Modul nachweisen wollen, mit

${}{\mathcal {S}}=\operatorname {Syz} {\left(X_{0},\ldots ,X_{n}\right)}\,.$

Die angegebene Abbildung ${}d$ (die ja von der universellen Derivation auf dem ${}n+1$-dimensionalen Raum herrührt) macht aus einer Funktion vom Grad ${}0$ eine Funktion vom Grad ${}-1$, was man direkt für (rationale) Monome überprüfen kann. Daher liegt eine ${}R$-lineare Abbildung

$d\colon \Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(-1)^{\oplus n+1}\right)}$

vor. Die Leibnizregel überträgt sich hierher, da ja die partiellen Ableitungen die Leibnizregel erfüllen. Es ist zu zeigen, dass das Bild von ${}d$ im Kern der hinteren Abbildung landet. Für ein Monom ${}X^{\nu }$ vom Grad ${}0$ ist aber

${}\sum _{j=0}^{n}X_{j}{\frac {\partial X^{\nu }}{\partial X_{j}}}=\sum _{j=0}^{n}{\left(\nu _{j}X^{\nu }\right)}={\left(\sum _{j=0}^{n}\nu _{j}\right)}X^{\nu }=0\,.$

Betrachten wir die Situation auf ${}D_{+}(X_{0})$ und setzen wir ${}Y_{j}={\frac {X_{j}}{X_{0}}}$. Dann ist unter Verwendung von Beispiel 12.10 und Beispiel 15.5

${}{\begin{aligned}\Gamma {\left(D_{+}(X_{0}),{\mathcal {S}}\right)}&=\operatorname {kern} \left(\Gamma {\left(D_{+}(X_{0}),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(-1)\right)}^{\oplus n+1}{\stackrel {X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}}{\longrightarrow }}\Gamma {\left(D_{+}(X_{0}),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}\right)}\right)\\&=\operatorname {kern} {\Bigl (}{\left(R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{0}}\right)}_{-1}\oplus \cdots \oplus {\left(R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{0}}\right)}_{-1}{\stackrel {X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}}{\longrightarrow }}{\left(R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{0}}\right)}_{0}{\Bigr )}\\&=\operatorname {kern} {\Bigl (}R[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\cdot X_{0}^{-1}\oplus \cdots \oplus R[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\cdot X_{0}^{-1}{\stackrel {X_{0},X_{0}Y_{1},\ldots ,X_{0}Y_{n}}{\longrightarrow }}R[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]{\Bigr )}\\&\cong R[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\oplus \cdots \oplus R[Y_{1},\ldots ,Y_{n}],\,\end{aligned}}$

wobei zuletzt ${}n$ Summanden stehen und darin das Tupel ${}\left(P_{1},\,\ldots ,\,P_{n}\right)$ dem Tupel ${}\left(-\sum _{i=1}^{n}P_{i}Y_{i}X_{0}^{-1},\,P_{1}X_{0}^{-1},\,\ldots ,\,P_{n}X_{0}^{-1}\right)$ des Kerns entspricht. Unter der Abbildung ${}d$ wird das Monom

${}Y^{\mu }={\left({\frac {X_{1}}{X_{0}}}\right)}^{\mu _{1}}\cdots {\left({\frac {X_{n}}{X_{0}}}\right)}^{\mu _{n}}=X_{0}^{-\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}}X_{1}^{\mu _{1}}\cdots X_{n}^{\mu _{n}}\in \Gamma {\left(D_{+}(X_{0}),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}\right)}\,$

auf das Element

$\left(-{\left(\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}\right)}X_{0}^{-\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}-1}X_{1}^{\mu _{1}}\cdots X_{n}^{\mu _{n}},\,\mu _{1}X_{0}^{-\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}}X_{1}^{\mu _{1}-1}X_{2}^{\mu _{2}}\cdots X_{n}^{\mu _{n}},\,\ldots ,\,\mu _{n}X_{0}^{-\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}}X_{1}^{\mu _{1}}X_{2}^{\mu _{2}}\cdots X_{n}^{\mu _{n}-1}\right)$

abgebildet. Dieses entspricht unter der oben beschriebenen Identifizierung (also die erste Komponente weglassen und mit ${}X_{0}$ multiplizieren) einfach dem Tupel der Ableitungen nach den Variablen ${}Y_{j}$. Also liegt nach Lemma 18.5 die universelle Derivation des Polynomrings ${}R[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]$ vor.

$\Box$

Insbesondere ist der Modul der Kähler-Differentiale auf dem projektiven Raum lokal frei.

Korollar Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\mathbb {P} }_{R}^{n}=\operatorname {Proj} {\left(R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}$ der projektive Raum über einem kommutativen Ring ${}R$.

Dann wird die Tangentialgarbe auf ${}{\mathbb {P} }_{R}^{n}$ durch die kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}\,{\stackrel {X_{0},\ldots ,X_{n}}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(1)^{\oplus n+1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {T}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n},R}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

beschrieben.

Dabei geht hinten das globale Element ${}X_{i}e_{j}$ (das in der ${}j$-ten Komponente steht) auf die globale Derivation ${}X_{i}{\frac {\partial }{\partial X_{j}}}$.

Beweis

Dies folgt direkt aus Satz 19.8 durch Dualisieren. Der Zusatz folgt ebenfalls aus Satz 19.8: Das Element ${}X_{i}e_{j}$ in der ${}j$-ten Komponente von ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(1)^{\oplus n+1}$ entspricht beim Dualisieren der Abbildung

$X_{i}\circ p_{j}\colon {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(-1)^{\oplus n+1}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}},$

also der Projektion auf die ${}j$-te Komponente gefolgt von der Multiplikation mit ${}X_{i}$. Dies entspricht wiederum, aufgefasst als Linearform auf dem Modul der Kähler-Differentialformen ${}\Omega _{{\mathbb {P} }_{R}^{n}{|}R}\subseteq {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(-1)^{\oplus n+1}$, der Linearform, die zur Derivation ${}f\mapsto X_{i}{\frac {\partial f}{\partial X_{j}}}$ gehört.

$\Box$

Es ist eine Besonderheit des projektiven Raumes, verglichen mit anderen projektiven Varietäten, dass es auf ihm viele globale Vektorfelder gibt.

Korollar Korollar 19.10 ändern

Es sei ${}{\mathbb {P} }_{R}^{n}=\operatorname {Proj} {\left(R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}$ der projektive Raum über einem kommutativen Ring ${}R$.

Dann ist die kanonische Garbe gleich ${}\omega _{{\mathbb {P} }_{R}^{n}{|}R}=\operatorname {Det} \Omega _{{\mathbb {P} }_{R}^{n}{|}R}\cong {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(-n-1)$.

Beweis

Dies folgt aus Satz 19.8, Satz 16.11 und Korollar 16.12.

$\Box$

Die antikanonische Garbe, also das Dual der kanonischen Garbe, ist auf dem projektiven Raum somit gleich ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(n+1)$ und besitzt viele globale Schnitte.

Hyperflächen im projektiven Raum

Satz Satz 19.11 ändern

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein homogenes Polynom vom Grad ${}d$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die affine Hyperfläche

   ${}V(F)=\operatorname {Spek} {\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)\right)}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\,$

   ist außerhalb des Nullpunktes glatt.

2. Die projektive Hyperfläche ${}Y=V_{+}(F)=\operatorname {Proj} {\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ ist glatt.
3. Für jede Variable ${}X_{i}$ ist ${}K[X_{0},\ldots ,X_{i-1},X_{i+1},\ldots ,X_{n}]/({\tilde {F}}_{i})$ glatt, wobei

   ${}{\tilde {F}}_{i}=F{\frac {1}{X_{i}}}\,$

   die Dehomogenisierung von ${}F$ bezüglich ${}X_{i}$ bezeichnet.

4. Der Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{Y{|}K}$ ist lokal frei.
5. Es liegt eine kurze exakte Sequenz

   $0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{Y}(-d)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,j_{Y}^{*}\Omega _{{\mathbb {P} }_{K}^{n}{|}K}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{Y{|}K}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

   von lokal freien Garben auf ${}Y$ vor.

Beweis

Die Äquivalenz von (2) und (3) ist klar wegen Lemma 12.17 und da die Glattheit eine lokale Eigenschaft ist. Die Äquivalenz von (2) und (4) beruht auf Korollar 19.6. Die Äquivalenz von (1) und (3) beruht darauf, dass die Kegelabbildung lokal über ${}D_{+}(X_{i})$ durch

$D(X_{i})=\operatorname {Spek} {\left(R_{X_{i}}\right)}=\operatorname {Spek} {\left({\left(R_{X_{i}}\right)}_{0}[X_{i},X_{i}^{-1}]\right)}\longrightarrow D_{+}(X_{i})=\operatorname {Spek} {\left({\left(R_{X_{i}}\right)}_{0}\right)}$

gegeben ist. Lokal ist die Kegelabbildung also ein punktierter affiner Zylinder über der Basis.

Von (4) (bzw. (2)) nach (5). Nach Lemma 19.5 gibt es die exakte Sequenz

${\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\longrightarrow j_{Y}^{*}\Omega _{{\mathbb {P} }_{K}^{n}{|}K}\longrightarrow \Omega _{Y{|}K}\longrightarrow 0.$

Dabei ist ${}{\mathcal {I}}$ das von ${}F$ erzeugte Hauptideal und es ist ${}{\mathcal {I}}\cong {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(-\delta )$ über die Zuordnung

${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\delta ),\,1\longmapsto F.$

Ferner ist die Einschränkung dieser Idealgarbe auf ${}Y$ gleich

${}{\mathcal {O}}_{Y}(-\delta )={\mathcal {I}}\otimes {\mathcal {O}}_{Y}={\mathcal {I}}\otimes {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}/{\mathcal {I}}={\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\,.$

Als Einschränkung einer invertierbaren Garbe ist dies wieder invertierbar. Lokal ist die linke Abbildung wie in Bemerkung 17.10 durch die Jacobi-Matrix zur Dehomogenisierung von ${}F$ gegeben, und wegen der Glattheit ist diese (sogar auch in den Restekörpern) injektiv. Von (5) nach (4) ist eine Einschränkung.

$\Box$

Korollar Korollar 19.12 ändern

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein homogenes Polynom vom Grad ${}d$ derart, dass die projektive Hyperfläche ${}Y=V_{+}(F)$ glatt ist.

Dann ist die kanonische Garbe gleich ${}\omega _{Y}\cong {\mathcal {O}}_{Y}(d-n-1)$.

Beweis

Wir wenden die kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{Y}(-d)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,j_{Y}^{*}\Omega _{{\mathbb {P} }_{K}^{n}{|}K}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{Y{|}K}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

von lokal freien Garben auf ${}Y$ aus Satz 19.11 an. Nach Satz 16.11 und Korollar 19.10 ist

${}{\begin{aligned}{\mathcal {O}}_{Y}(-d)\otimes \omega _{Y{|}K}&={\mathcal {O}}_{Y}(-d)\otimes \operatorname {Det} \Omega _{Y{|}K}\\&=\operatorname {Det} j_{Y}^{*}\Omega _{{\mathbb {P} }_{K}^{n}{|}K}\\&=j_{Y}^{*}\operatorname {Det} \Omega _{{\mathbb {P} }_{K}^{n}{|}K}\\&=j_{Y}^{*}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(-n-1)\\&={\mathcal {O}}_{Y}(-n-1).\end{aligned}}$

Dabei beruht die letzte Gleichung auf Lemma Anhang 4.7. Tensorierung mit ${}{\mathcal {O}}_{Y}(d)$ ergibt die Behauptung.

$\Box$

Bemerkung   Referenznummer erstellen

Korollar 19.12 erlaubt eine grobe Klassifikation von glatten Hyperflächen

${}Y=V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}\,$

im projektiven Raum, je nachdem, ob in ${}\omega _{Y}\cong {\mathcal {O}}_{Y}(d-n-1)$ der Twist ${}d-n-1$ negativ, gleich ${}0$ oder positiv ist. Bei ${}n=2$, also Kurven in der projektiven Ebene, liegt bei ${}d=1,2$ eine projektive Gerade vor, bei ${}d=3$, wenn die kanonische Garbe trivial ist, eine elliptische Kurve und bei ${}d\geq 4$ eine Kurve vom allgemeinen Typ. Bei ${}n=3$, also Flächen im projektiven Raum, liegt bei ${}d=1$ eine projektive Ebene vor, bei ${}d=2$ eine zu ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}\times {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ isomorphe Fläche und bei ${}d=3$ eine Fläche, die isomorph ist zu einer projektiven Ebene, auf der man sechs Punkte aufgeblasen hat. Jedenfalls hat man bei ${}d\leq 3$ eine sogenannte rationale Fläche, deren Funktionenkörper gleich dem rationalen Funktionenkörper in zwei Variablen ist. Bei ${}d=4$, wenn die kanonische Garbe trivial ist, liegt eine sogenannte ${}K3$-Fläche vor. Bei ${}d\geq 5$ hat man eine Fläche vom allgemeinen Typ.