Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 11/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Aufgabe 11.1 ändern

Zeige, dass das Produkt ${}M\times N$ von zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$ selbst wieder eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.

Aufgabe Aufgabe 11.2 ändern

Es seien ${}M_{1}\subseteq N_{1}$ und ${}M_{2}\subseteq N_{2}$ abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten. Zeige, dass ihr Produkt ${}M_{1}\times M_{2}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}N_{1}\times N_{2}$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe die Karten auf dem Torus ${}S^{1}\times S^{1}$, die von den stereographischen Projektionen herrühren.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass ${}\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}$ diffeomorph zu einem Produkt aus eindimensionalen Mannigfaltigkeiten ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass das Produkt ${}M\times N$ von zwei wegzusammenhängenden differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$ wieder wegzusammenhängend ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$\varphi \colon M\longrightarrow M\times M,\,x\longmapsto (x,x),$

die Diagonalabbildung in das Produkt ${}M\times M$. Zeige, dass die Diagonale ${}\varphi (M)$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Vertauschungsabbildung

$M\times M\longrightarrow M\times M,\,(P,Q)\longmapsto (Q,P),$

ein Diffeomorphismus ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe den Torus ${}S^{1}\times S^{1}$ als Rotationsmenge im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe Aufgabe 11.9 ändern

Es sei ${}R>0$ und betrachte die Abbildung

$\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}.$

Bestimme die regulären Punkte der Abbildung und die Gestalt der Faser über ${}s\in \mathbb {R}$. Wie ändert sich die Gestalt beim Übergang von ${}{\sqrt {s}}<R$ zu ${}{\sqrt {s}}>R$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Erstelle eine Animation, die Aufgabe 11.9 illustriert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Definiere die Abbildung

$S^{1}\times S^{1}\longrightarrow S^{2},$

die zu einem Winkelpaar ${}(\alpha ,\beta )$ die erste Komponente als Äquatorpunkt interpretiert und von dort aus mit der zweiten Komponente auf dem Großkreis Richtung Norden wandert. Ist die Abbildung differenzierbar? Wie sehen die Fasern der Abbildung aus?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein heuristisches Argument, dass die Einheitssphäre ${}S^{2}$ und der Torus ${}S^{1}\times S^{1}$ nicht homöomorph sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zu welcher differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist ${}S^{1}\times S^{1}\setminus \triangle$, also der Torus ohne die Diagonale, diffeomorph?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}X$ ein Torus. Man gebe eine surjektive differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow X$

derart an, dass auch die Tangentialabbildung

$T_{P}(\varphi )\colon T_{P}\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow T_{\varphi (P)}X$

in jedem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ surjektiv ist.

In den folgenden Aufgaben wird das relative Produkt von Mengen und topologischen Räumen eingeführt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}L_{1},L_{2},M$ Mengen und

$p_{1}\colon L_{1}\longrightarrow M$

und

$p_{2}\colon L_{2}\longrightarrow M$

Abbildungen. Wir definieren

${}L_{1}\times _{M}L_{2}:={\left\{(x_{1},x_{2})\mid p_{1}(x_{1})=p_{2}(x_{2})\right\}}\subseteq L_{1}\times L_{2}\,.$

1. Zeige, dass es ein kommutatives Diagramm

   ${\begin{matrix}L_{1}\times _{M}L_{2}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&L_{1}&\\\downarrow &&\downarrow &\\L_{2}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&M&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   gibt.

2. Es sei ${}T$ eine weitere Menge und ${}\psi _{1}\colon T\rightarrow L_{1}$ und ${}\psi _{2}\colon T\rightarrow L_{2}$ Abbildungen mit

   ${}p_{1}\circ \psi _{1}=p_{2}\circ \psi _{2}\,.$

   Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung

   $\psi \colon T\longrightarrow L_{1}\times _{M}L_{2}$

   derart gibt, dass die Projektionen auf ${}L_{1}$ bzw. ${}L_{2}$ mit ${}\psi _{1},\psi _{2}$ übereinstimmen.

Aufgabe Aufgabe 11.16 ändern

Es seien ${}L_{1},L_{2},M$ topologische Räume und

$p_{1}\colon L_{1}\longrightarrow M$

und

$p_{2}\colon L_{2}\longrightarrow M$

stetige Abbildungen. Wir definieren

${}L_{1}\times _{M}L_{2}:={\left\{(x_{1},x_{2})\mid p_{1}(x_{1})=p_{2}(x_{2})\right\}}\subseteq L_{1}\times L_{2}\,$

mit der induzierten Topologie.

1. Zeige, dass es ein kommutatives Diagramm

   ${\begin{matrix}L_{1}\times _{M}L_{2}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&L_{1}&\\\downarrow &&\downarrow &\\L_{2}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&M&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   mit stetigen Abbildungen gibt.

2. Es sei ${}T$ ein weiterer topologischer Raum und ${}\psi _{1}\colon T\rightarrow L_{1}$ und ${}\psi _{2}\colon T\rightarrow L_{2}$ stetige Abbildungen mit

   ${}p_{1}\circ \psi _{1}=p_{2}\circ \psi _{2}\,.$

   Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte stetige Abbildung

   $\psi \colon T\longrightarrow L_{1}\times _{M}L_{2}$

   derart gibt, dass die Projektionen auf ${}L_{1}$ bzw. ${}L_{2}$ mit ${}\psi _{1},\psi _{2}$ übereinstimmen.

In der Situation der beiden vorstehenen Aufgaben bezeichnet man ${}L_{1}\times _{M}L_{2}$ (mit der Projektion auf ${}L_{2}$) auch als ${}p_{2}^{*}L_{1}$ bzw. als ${}p_{1}^{*}L_{2}$, die Vorstellung ist dabei, dass man das Objekt ${}p_{1}\colon L_{1}\rightarrow M$ längs ${}p_{2}$ auf die neue Basis ${}L_{2}$ zurückzieht.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine stetige Abbildung zwischen den topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$. Zeige, das für das relative Produkt die Beziehung

${}X\times _{X}Y\cong Y\,$

gilt (wobei ${}X\rightarrow X$ die Identität sei).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine stetige Abbildung zwischen den topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$. Es sei ${}x\in X$ ein Punkt mit der zugehörigen Abbildung

$\iota \colon \{x\}\longrightarrow X.$

Zeige, das für das relative Produkt die Beziehung

${}\{x\}\times _{X}Y\cong Y_{x}\,$

gilt, also das relative Produkt mit der Faser übereinstimmt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}X,U$ und ${}V$ topologische Räume und seien ${}p_{1}\colon X\times U\rightarrow X$ und ${}p_{2}\colon X\times V\rightarrow X$ die kanonischen Projektionen nach ${}X$. Zeige, das für das relative Produkt die Beziehung

${}{\left(X\times U\right)}\times _{X}{\left(X\times V\right)}\cong X\times U\times V\,$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}f,g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ stetige Funktionen.

1. Zeige, dass für das relative Produkt (die Funktionen treten in der Notation nicht explizit auf)

   ${}\mathbb {R} \times _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid f(x)=g(y)\right\}}\,$

   gilt.

2. Skizziere ${}\mathbb {R} \times _{\mathbb {R} }\mathbb {R}$ für eine Auswahl an Funktionen ${}(f,g)$.
3. Bestimme in (2), ob ${}\mathbb {R} \times _{\mathbb {R} }\mathbb {R}$ singuläre Punkte besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}X,Y$ und ${}Z$ topologische Räume und seien ${}\varphi \colon Y\rightarrow X$ und ${}p\colon Z\rightarrow X$ stetige Abbildungen. Es sei

$p_{Y}\colon Y\times _{X}Z\longrightarrow Y.$

Zeige, dass ein stetiger Schnitt ${}s\colon Y\rightarrow Y\times _{X}Z$ das gleiche ist wie eine stetige Abbildung ${}t\colon Y\rightarrow Z$ mit ${}p\circ t=\varphi$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}X,Y,Z$ und ${}X'$ topologische Räume und es liege ein kommutatives Diagramm von stetigen Abbildungen

${\begin{matrix}&Y&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&Z\\&&\searrow &\downarrow \\&X'&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&X\end{matrix}}$

vor. Es sei ${}Y'=\varphi ^{*}Y=Y\times _{X}X'$ und ${}Z'=\varphi ^{*}Z=Z\times _{X}X'$. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}&Y'&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&Z'\\&&\searrow &\downarrow \\&&&X'\end{matrix}}$

vorliegt.

Aufgabe Aufgabe 11.23 ändern

Es seien ${}X,Y,Z$ und ${}W$ topologische Räume und seien ${}W\rightarrow X$ und

$Z{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}Y{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}X$

stetige Abbildungen. Zeige, dass das relative Produkt (beziehungsweise der Rückzug) die Beziehung

${}\varphi ^{*}{\left(\psi ^{*}W\right)}=Z\times _{Y}{\left(Y\times _{X}W\right)}=Z\times _{X}W=(\psi \circ \varphi )^{*}W\,$

erfüllt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte die Kreislinie ${}S^{1}$. Definiere eine differenzierbare Gruppenstruktur auf ${}S^{1}$, also ein neutrales Element ${}P\in S^{1}$, eine differenzierbare Abbildung

$\alpha \colon S^{1}\longrightarrow S^{1},\,x\longmapsto \alpha (x),$

und eine differenzierbare Abbildung

$T=S^{1}\times S^{1}\longrightarrow S^{1},\,(x,y)\longmapsto \varphi (x,y),$

derart, dass ${}S^{1}$ mit diesen Daten zu einer kommutativen Gruppe wird.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte die allgemeine lineare Gruppe ${}G=\operatorname {GL} _{n}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\subseteq \mathbb {R} ^{n^{2}}$ als offene Untermannigfaltigkeit des ${}\mathbb {R} ^{n^{2}}$. Definiere eine differenzierbare Gruppenstruktur auf ${}G$, also ein neutrales Element ${}P\in G$, eine differenzierbare Abbildung

$\alpha \colon G\longrightarrow G,\,x\longmapsto \alpha (x),$

und eine differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon G\times G\longrightarrow G,\,(x,y)\longmapsto \varphi (x,y),$

derart, dass ${}G$ mit diesen Daten zu einer Gruppe wird.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Abbildung

$\varphi \colon S^{1}\times \mathbb {R} \longrightarrow S^{1}\times \mathbb {R} ,\,(x_{1},x_{2};t)\longmapsto (-x_{1},-x_{2};-t),$

ein fixpunktfreier Diffeomorphismus ist, der zu sich selbst invers ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}D=x^{2}\partial _{x}+{\left(x-y^{2}\right)}\partial _{y}$. Berechne

$D{\left(4x^{2}-xy+5y^{3}\right)}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}D=\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}$ ein Differentialoperator auf einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. Die Auswertung von ${}D$ an welchen differenzierbaren Funktionen gibt die Koeffizientenfunktionen ${}g_{j}$ aus?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}D=\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}$ ein Differentialoperator auf einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass ${}D$ ein Differentialoperator im Sinne der Definition 11.4 ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}D$ ein differenzierbares Vektorfeld auf ${}M$. Zeige ${}[D,D]=0$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine ${}C^{3}$- differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zeige, dass für ${}C^{2}$- Vektorfelder ${}D,E,F$ auf ${}M$ die sogenannte Jacobi-Identität

${}[[D,E],F]+[[E,F],D]+[[F,D],E]=0\,$

gilt.

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über einem Körper ${}K$ und sei

$V\times V\longrightarrow V,\,(f,g)\longmapsto [f,g],$

eine Verknüpfung auf ${}V$. Man nennt ${}(V,[-,-])$ eine Lie-Algebra, wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind.

1. ${}[-,-]$ ist bilinear.
2. ${}[-,-]$ erfüllt die sogenannte Jacobi-Identität, d.h. für ${}u,v,w\in V$ gilt

   ${}[[u,v],w]+[[v,w],u]+[[w,u],v]=0\,.$

3. Es ist ${}[v,v]=0$ für alle ${}v\in V$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine ${}C^{\infty }$- Mannigfaltigkeit und sei ${}V$ der Raum aller ${}C^{\infty }$- Vektorfelder auf ${}M$. Zeige, dass ${}V$ mit der Lie-Klammer von Vektorfeldern eine Lie-Algebra ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum über einem Körper ${}K$ und sei

${}L=\operatorname {End} _{}\,(V)\,$

die Menge aller linearen ${}K$- Endomorphismen von ${}V$ nach ${}V$. Zeige, dass ${}L$, versehen mit

${}[f,g]:=f\circ g-g\circ f\,,$

eine Lie-Algebra ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}0<r<R$ und sei

$T={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}=r^{2}\right\}}.$

Zeige, dass die Abbildung

$S^{1}\times S^{1}\longrightarrow T,\,(\varphi ,\psi )\longmapsto ((R+r\cos \psi )\cos \varphi ,(R+r\cos \psi )\sin \varphi ,r\sin \psi )$

eine Bijektion ist.

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}T$ ein Torus und seien ${}P,Q\in T$ zwei Punkte. Zeige, dass es eine gemeinsame Kartenumgebung ${}P,Q\in U\subseteq T$ derart gibt, dass die Kartenabbildung

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

eine Homöomorphie mit ${}V={]0,1[}\times {]0,1[}$ ergibt.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass das relative Produkt ${}\mathbb {R} \times _{\mathbb {R} }\mathbb {R}$ für stetig differenzierbare Funktionen

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

keine topologische Mannigfaltigkeit sein muss.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

${}D={\left(xy^{2}-\sin z\right)}\partial _{x}+{\left(e^{x+y+z}\right)}\partial _{y}+{\left(xy^{3}z\right)}\partial _{z}\,.$

Berechne

$D{\left(7e^{xy}-\cos \left(z^{3}+y^{5}\right)-x^{4}y^{3}+y^{2}z^{3}e^{z}\right)}.$

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(0)$ die Faser zu ${}0$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei und somit eine diffferenzierbare Mannigfaltigkeit definiere. Es sei ${}D$ ein Differentialoperator erster Ordnung zu einem stetigen Vektorfeld auf ${}Y$. Zeige

${}D(gh)=0\,$

für jede differenzierbare Funktion ${}g$ auf ${}Y$.

Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$ die Vektorfelder

${}D=-y\partial _{x}+z\partial _{y}-x\partial _{z}\,,$

${}E=5\partial _{x}-3\partial _{y}+\cos \left(xy\right)\partial _{z}\,,$

und

${}F=4e^{xyz}\partial _{y}-z^{3}\partial _{z}\,.$

1. Berechne ${}[D,E]$.
2. Berechne ${}[D,F]$.
3. Berechne ${}[E,F]$.
4. Berechne ${}[[D,E],F]$.