Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 16/kontrolle
- Übungsaufgaben
Wir betrachten die Standardparabel mit der induzierten riemannschen Struktur und mit der Parametrisierung
die wir als eine (inverse) Karte betrachten. Bestimme die riemannsche Fundamentalfunktion .
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit derart, dass das Tangentialbündel trivial ist. Zeige, dass man über eine differenzierbare Trivialisierung (mit Hilfe des Standardskalarproduktes auf dem ) zu einer riemannschen Mannigfaltigkeit machen kann.
Wir betrachten den Kreis mit der induzierten riemannschen Struktur. Die Trivialisierung des Tangentialbündels
führt über das Standardskalarprodukt von ebenfalls zu einer riemannschen Struktur auf . Zeige, dass beide riemannschen Strukturen übereinstimmen.
Es seien und riemannsche Mannigfaltigkeiten. Zeige, dass in natürlicher Weise ebenfalls eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist.
Wir betrachten eine offene Menge als riemannsche Mannigfaltigkeit. Was ist die kanonische Volumenform auf ?
Wir betrachten eine offene Menge als riemannsche Mannigfaltigkeit. Was besagt die in Lemma 16.3 beschriebene Korrespondenz zwischen Vektorfeldern und - Differentialformen in dieser Situation?
Begründe Bemerkung 16.4.
Es sei eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die kanonische Volumenform dadurch festgelegt ist, dass sie in jedem Punkt für eine die Orientierung repräsentierende Orthonormalbasis den Wert besitzt.
Es sei ein -dimensionaler reeller orientierter Vektorraum und ein translationsinvariantes Maß auf . Zeige, dass die Zuordnung
wobei das Vorzeichen positiv zu wählen ist, wenn die Vektoren die Orientierung repräsentieren, eine alternierende multilineare Abbildung ist.
Zeige, dass bei einer riemannschen Mannigfaltigkeit die Kartenabbildungen
im Allgemeinen keine Isometrie
induzieren (wenn mit und mit dem Standardskalarprodukt versehen ist).
Wir betrachten den Graph der Abbildung
mit der vom induzierten riemannschen Metrik. Es sei
die zugehörige Diffeomorphie.
a) Bestimme das totale Differential zu sowie die Bildvektoren und in .
b) Bestimme für jeden Punkt der Form den Flächeninhalt des von und in aufgespannten Parallelogramms.
c) Bestimme für jeden Punkt der Form den Flächeninhalt des von und in aufgespannten Parallelogramms.
Es sei
(mit ) eine stetig differenzierbare Funktion, die in jedem Punkt der Faser über regulär sei. Wir fassen als eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit auf. Zeige, dass zwischen der Volumenform aus Korollar 15.6 und der kanonischen Volumenform die Beziehung
besteht.
Es sei
(mit ) eine stetig differenzierbare Abbildung, die in jedem Punkt der Faser über regulär sei. Wir fassen als eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit auf. Es sei vorausgesetzt, dass die Gradienten
für jeden Punkt von senkrecht aufeinander stehen. Zeige, dass zwischen der Volumenform aus Korollar 15.6 und der kanonischen Volumenform die Beziehung
besteht.
Zeige, dass die kanonische Flächenform auf der Einheitssphäre gleich
ist, wobei die Koordinaten des seien.
Ein Vektorbündel über einer differenzierbare Mannigfaltigkeit heißt riemannsches Vektorbündel, wenn auf jeder Faser ein Skalarprodukt erklärt ist mit der Eigenschaft, dass es trivialisierende Karten
mit
derart gibt, dass
stetig differenzierbar sind.
Bei einer
riemannschen Mannigfaltigkeit
ist also das
Tangentialbündel
ein riemannsches Vektorbündel.
Es sei ein riemannsches Vektorbündel über einer differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei eine differenzierbare Abbildung mit dem zurückgezogenen Vektorbündel . Zeige, dass in natürlicher Weise ebenfalls ein riemannsches Vektorbündel ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Bei einer riemannschen Mannigfaltigkeit definiert man zu einem Tangentialvektor die Norm durch .
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass mit der durch die Hesse-Form zur Funktion
gegebenen Bilinearform eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe für jeden Punkt der Einheitssphäre eine Orthonormalbasis in an (bezüglich der induzierten riemannschen Struktur).
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Man erstelle eine Computergraphik, die die in Bemerkung 16.4 beschriebene Situation anhand einer Fläche im veranschaulicht.