Kurs:Funktionentheorie/5/Klausur mit Lösungen



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 3 3 6 4 6 4 2 3 2 0 5 3 2 5 0 0 54




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine gebrochen-lineare Funktion auf .
  2. Die Exponentialreihe zu einer komplexen Zahl .
  3. Die eingesetze Potenzreihe .
  4. Der Rückzug einer Differentialform.
  5. Die Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes zu einem Aufpunkt .
  6. Der Körper der elliptischen Funktionen.


Lösung

  1. Komplexe Zahlen/Gebrochen-lineare Funktion/Definition/Begriff/Inhalt
  2. Die Exponentialreihe in ist die Reihe
  3. Es sei eine Potenzreihe und es sei eine weitere Potenzreihe mit konstantem Term . Dann nennt man die Potenzreihe
    die eingesetzte Potenzreihe.
  4. Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Rückzug/Definition/Begriff/Inhalt
  5. Topologischer Raum/Fundamentalgruppe/Definition/Begriff/Inhalt
  6. Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Körper/Definition/Begriff/Inhalt


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Wurzeln aus holomorphen Funktionen.
  2. Der Hauptsatz über holomorphe Funktionen.
  3. Der Satz über den Repräsentant eines Gitters.


Lösung

  1. Es sei eine offene Menge, ein Punkt und eine holomorphe Funktion mit . Es sei . Dann gibt es eine offene Umgebung und eine holomorphe Funktion mit .
  2. Für eine auf einer offenen Menge definierte Funktion

    sind folgende Aussagen äquivalent.

    1. ist komplex differenzierbar.
    2. ist unendlich oft (stetig) komplex differenzierbar.
    3. lässt sich in jedem Punkt in eine Potenzreihe entwickeln, d.h. ist komplex-analytisch.
  3. Jedes Gitter in ist streckungsäquivalent zu einem Gitter der Form mit .


Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe die Abbildung

in reellen Koordinaten.


Lösung

Wir schreiben . Dann ist

In reellen Koordinaten ist daher


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien

zwei absolut konvergente Potenzreihen in . Zeige, dass das Cauchy-Produkt der beiden Reihen durch

gegeben ist.


Lösung

Der -te Summand der Reihe links ist

und der -te Summand der Reihe rechts ist

Damit ist der -te Summand des Cauchy-Produktes der beiden Reihen gleich


Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass der Ring der konvergenten Potenzreihen ein diskreter Bewertungsring ist.


Lösung

Als Unterring des formalen Potenzreihenringes handelt es sich nach Korollar 9.17 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) um einen Integritätsbereich. Für sei der minimale Index mit . Dann ist

mit der formalen Potenzreihe

Die Konvergenz von sichert, dass auch konvergiert. Dabei ist nach Lemma 10.2 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) eine Einheit im Ring der konvergenten Potenzreihen und somit ist das von erzeugte Ideal gleich . Das von einer Elementfamilie , , erzeugte Ideal ist gleich dem von der Familie , , erzeugten Ideal, wobei

mit einer Einheit ist. Dieses Ideal ist gleich dem Hauptideal , wobei das Minimum der ist. Es liegt also ein Hauptidealbereich mit dem einzigen maximalen Ideal und damit ein diskreten Bewertungsring vor.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei offen und sei

eine reell total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass für den Rückzug gilt (mit )


Lösung

Es ist

Nach Lemma 11.15 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) ist daher


Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Es seien endlichdimensionale - Vektorräume.

  1. Es sei eine zusammenhängende offene Menge und sei eine exakte Differentialform auf . Zeige, dass die Stammform zu bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist.
  2. Es seien offene sternförmige Mengen mit der Eigenschaft, dass zusammenhängend ist. Es sei

    eine stetig differenzierbare geschlossene Differentialform. Zeige, dass exakt ist.


Lösung

  1. Es seien Stammformen für die exakte Differentialform, d.h. es gilt

    Dann ist

    es ist also zu zeigen, dass die Nullform nur die konstanten Abbildungen als Stammformen besitzt. Es seien Punkte in und sei ein stetig differenzierbarer Weg, der und verbindet. Für das Wegintegral zur Nullform über und einer Stammform gilt nach Satz 12.11 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024))

    d.h. ist konstant.

  2. Nach Satz 12.16 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) besitzt auf eine Stammform, sagen wir , und ebenso besitzt auf eine Stammform, sagen wir . Es sei ein Punkt des Durchschnittes. Wir ersetzen die Stammform auf durch die verschobene Stammform

    Es ist dann

    Da zusammenhängend ist, unterscheiden sich zwei Stammformen darauf nur um eine Konstante. Daher stimmt die Stammform , eingeschränkt auf , mit der Stammform , eingeschränkt auf , überein, da sie in einem Punkt übereinstimmen. Die beiden Stammformen und passen also auf der Übergangsmenge zusammen und definieren daher auf eine Stammform.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine ganze Funktion. Zeige, dass das Bild von dicht in ist.


Lösung

Nehmen wir an, dass das Bild von nicht dicht ist. Dann gibt es einen Punkt und ein derart, dass die offene Kreisscheibe disjunkt zum Bild ist. Durch verschieben können wir erreichen, es ist dann

für alle . Die Hintereinanderschaltung

ist ebenfalls holomorph und es gilt

für alle , im Widerspruch zu Satz 15.2 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)).


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Gebiet und sei eine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft: Es gebe einen Punkt mit und

für alle . Zeige, dass dann konstant ist.


Lösung

Wegen

ist auf invertierbar. Es gilt

Man kann daher das Maximumsprinzip auf anwenden und erhält die Konstanz.


Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe möglichst viele Charakterisierungen des lokalen Exponenten einer nichtkonstanten holomorphen Funktion

in einem Punkt .


Lösung Komplexe Zahlen/Holomorphe Funktion/Lokaler Exponent/Charakterisierungen/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Hauptteile für jeden Punkt der rationalen Funktion .


Lösung

Es ist . Daher ist der Haupteil für gleich und der Haupteil für gleich . In allen anderen Punkten ist der Hauptteil gleich .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein Polynom. Es sei die Menge der Nullstellen der Ableitung, es sei die Bildmenge zu unter und sei das Urbild von unter . Zeige, dass

eine Überlagerung ist.


Lösung

Wir verwenden Aufgabe 21.4 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)), der Grad von sei . Wegen für ist auf ein lokaler Homöomorphismus nach Aufgabe 21.35 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)). Wir betrachten zu jedem Punkt das Urbild . Dieses ist gegeben durch die Nullstellen von . Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gibt es eine Faktorisierung

wobei die Urbilder sind. Wäre für ein , so wäre (mehrfache Nullstelle)

Die Nullstellen sind also alle verschieden und die Faseranzahl ist konstant gleich .


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die komplexe Potenzfunktion (bezüglich eines fixierten Logarithmus auf einer offenen Menge ) die Ableitungseigenschaft

erfüllt.


Lösung

Der zugrunde liegende Logarithmus sei mit bezeichnet. Es ist


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Windungszahl auf den Teilgebieten des gezeigten Weges.


Lösung Windungszahl/Skizze/Teilgebiete/3/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein Gebiet und sei eine Teilmenge von holomorphen Funktionen auf , die nicht lokal beschränkt sei. Zeige, dass es dann eine Folge in gibt, die keine kompakt konvergente Teilfolge besitzt.


Lösung

Es sei ein Punkt derart, dass die Funktionsfamilie in keiner offenen Ballumgebung beschränkt ist. Dann gibt es insbesondere zu jedem eine Funktion derart, dass auf nicht durch beschränkt ist. Insbesondere gibt es dann einen Punkt mit . Die Menge ist kompakt. Würde es eine Teilfolge geben, die gleichmäßig auf konvergiert, so würde es insbesondere eine stetige Grenzfunktion geben. Es gibt dann insbesondere ein mit

für alle (aus der Indexmenge der Teilfolge) und alle . Ebenso gilt wegen der gleichmäßigen Stetigkeit der auf für hinreichend groß

Dies zeigt, dass beliebig groß ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung