Kurs:Lineare Algebra/Teil I/24/Klausur mit Lösungen/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |
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Punkte | 3 | 3 | 2 | 2 | 3 | 1 | 4 | 4 | 4 | 4 | 1 | 2 | 3 | 3 | 3 | 6 | 3 | 3 | 6 | 4 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
- Man nennt
den Graphen der Abbildung .
- Zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
- Man nennt
den Orthogonalraum zu .
- Der Endomorphismus heißt diagonalisierbar, wenn eine Basis aus Eigenvektoren zu besitzt.
- Es sei ein
Körper
und ein
-
Vektorraum.
Dann nennt man den
Dualraum
des Dualraums , also
das Bidual von .
- Unter dem Fixraum zu versteht man den Eigenraum zum Eigenwert .
Aufgabe (3 Punkte)
- Es sei ein Körper und es seien
und
endlichdimensionale -Vektorräume. Es seien
und
Basen von und
und
Basen von . Es sei
eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen und durch die Matrix beschrieben werde. Dann wird bezüglich der Basen und durch die Matrix
beschrieben, wobei und die Übergangsmatrizen sind, die die Basiswechsel von nach und von nach
beschreiben. - Es sei ein
Körper und sei eine
-
Matrix
über . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
- .
- Die Zeilen von sind linear unabhängig.
- ist invertierbar.
- .
- Es sei ein
Körper
und es sei ein
-
dimensionaler
Vektorraum.
Es sei
eine lineare Abbildung. Dann ist genau dann ein Eigenwert von , wenn eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms
ist.
Aufgabe (2 Punkte)
Es seien und Mengen. Beweise die Identität
Es sei . Dann ist und . Letzteres bedeutet oder . Im ersten Fall ist , im zweiten Fall , in beiden Fällen also .
Wenn umgekehrt gilt, so bedeutet dies oder . Im ersten Fall ist und , im zweiten Fall und . Also ist und und somit ist .
Aufgabe (2 Punkte)
Ein Apfelverkäufer verkauft Äpfel für Euro. Ein zweiter Apfelverkäufer verkauft Äpfel für Euro. Welches Angebot ist günstiger?
Wir bestimmen, wie viel die gleiche Menge an Äpfeln bei den beiden Verkäufern kostet. Um die beiden Angebote vergleichen zu können, berechnen wir den jeweiligen Preis für
Äpfel. Beim ersten Verkäufer muss man dafür
Euro bezahlen. Beim zweiten Verkäufer muss man dafür
Euro bezahlen. Das zweite Angebot ist also günstiger.
Aufgabe (3 Punkte)
Es seien und quadratische Matrizen der Länge . Es gelte für und für für gewisse . Zeige, dass die Einträge des Produktes die Bedingung für erfüllen.
Es ist
Die Summanden links sind gleich , da für ist. Es sei nun vorausgesetzt. Dann gilt für die Indizes im rechten Summanden
und
also ist und auch die rechten Summanden sind .
Aufgabe (1 Punkt)
Erläutere, warum das Achsenkreuz im kein Untervektorraum ist
Offensichtlich gehören die Vektoren zum Achsenkreuz, die Summe dieser beiden Vektoren jedoch nicht. Folglich ist das Achsenkreuz kein Untervektorraum
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme den Kern der linearen Abbildung
Es geht um das lineare Gleichungssystem
Es ist I+2III gleich
und II+III ist gleich
Es ist -IV+12 V gleich
Also kann man frei vorgeben und es ist
Der Kern ist also
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale - Vektorräume. Zeige, dass und genau dann zueinander isomorph sind, wenn ihre Dimension übereinstimmt.
Es sei eine Basis von . Aufgrund der Surjektivität von existieren Elemente in mit .
Es sei eine Darstellung der 0. Dann ist
weil linear unabhängig sind, sind alle Koeffizienten 0. Daraus schließen wir, dass linear unabhängig sind und wegen Satz 7.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) (4) ist die Dimension von damit mindestens so hoch wie die von . Mithilfe der Umkehrabbildung zu können wir ebenso zeigen, dass die Dimension von mindestens so hoch ist, wie die von . Also sind die Vektorräume gleichdimensional.
Nehmen wir umgekehrt an, dass die Dimensionen der Vektorräume übereinstimmen, und seien Basen von und von gegeben. Dann werden durch die Zuordnungen bzw. gemäß Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) lineare Abbildungen definiert. Diese sind zueinander invers (man kann dies auf Basen nachprüfen und auf den gewählten Basen ist dies trivial), also sind und isomorph.
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme die inverse Matrix zu
Die inverse Matrix ist also
Aufgabe (4 Punkte)
Beweise den Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.
Die linearen Standardabbildungen bzw. zu den Basen seien mit bezeichnet. Wir betrachten das kommutative Diagramm
wobei die Kommutativität auf Lemma 9.1 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) und Lemma 10.14 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) beruht. In dieser Situation ergibt sich insgesamt
Aufgabe (1 Punkt)
Bestimme die Determinante zur Matrix
Die vierte Zeile ist das Doppelte der zweiten Zeile, somit ist die Determinante gleich .
Aufgabe (2 Punkte)
Die Fehlstände sind
Dies sind Fehlstände. Die Permutation ist also ungerade.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei . Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung
folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien ).
- .
- .
- .
Es seien und .
- Es ist
und somit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes für
- Es ist
und somit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes und der Potenzgesetze für
- Für jedes konstante Polynom gilt , da nicht eingesetzt werden kann.
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und und schreibe die beiden Zahlen als Vielfache des größten gemeinsamen Teilers.
Es ist
Der größte gemeinsame Teiler ist also . Aus den Rechnungen erhält man
und
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und
eine lineare Abbildung und seien Elemente in . Zeige, dass
ist.
Es sei . Dann ist
Also ist
woraus wegen direkt folgt.
Aufgabe (6 (2+4) Punkte)
Wir betrachten die Matrix
über dem Körper der rationalen Funktionen .
- Bestimme das charakteristische Polynom von .
- Bestimme, ob Eigenwerte besitzt.
- Es ist
- Wir führen quadratische Ergänzung durch und schreiben dieses Polynom als
Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat jedes Polynom in eine komplexe Linearfaktorzerlegung.
Wir behaupten, dass keine Quadratwurzel in (und damit auch in ) besitzt. Wenn es nämlich eine rationale Funktion mitgeben würde, so wäre
doch dann würde die komplexe Linearfaktorzerlegung von eine ungerade Anzahl von einem der Linearfaktoren von enthalten, die komplexe Linearfaktorzerlegung von jedoch enthält jeden Faktor in gerader Anzahl, was einen Widerspruch ergibt.
Somit besitzt das charakteristische Polynom keine Nullstelle und daher hat die Matrix keinen Eigenwert.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei eine obere Dreiecksmatrix, wobei die Diagonaleinträge alle konstant gleich seien. Zeige, dass genau dann diagonalisierbar ist, wenn es schon eine Diagonalmatrix ist.
Wenn eine Diagonalmatrix, so ist natürlich auch diagonalisierbar. Es sei nun vorausgesetzt, dass diagonalisierbar ist. Da eine obere Dreiecksmatrix ist, ist der konstante Diagonaleintrag der einzige Eigenwert. Da diagonalisierbar ist, so ist nach Lemma 22.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) die direkte Summe seiner Eigenräume. In diesem Fall gilt also
d.h. ist die Streckung mit . Dann ist eine Diagonalmatrix.
Aufgabe (3 Punkte)
Man gebe ein Polynom an, das für unendlich viele reelle - Matrizen das Minimalpolynom ist.
Es sei . Wir behaupten, dass dies für sämtliche Matrizen der Form
das Minimalpolynom ist. Eine direkte Rechnung zeigt
sodass diese Matrizen annulliert. Das Minimalpolynom muss also ein Teiler von , und die normierten Teiler sind . Wegen ist ausgeschlossen, also ist das Minimalpolynom gleich .
Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)
Wir betrachten die Matrix
über .
a) Bestimme die jordansche Normalform von .
b) Bestimme die kanonische Zerlegung von in einen diagonalisierbaren Anteil und einen nilpotenten Anteil.
c) Welche Eigenschaften der kanonischen Zerlegung erfüllt die Zerlegung
welche nicht?
a) Es ist
eine Matrix mit Rang , daher ist der Eigenraum zum Eigenwert zweidimensional. Daher hat die jordansche Normalform die Gestalt
b) In der Basis, in der die jordansche Normalform vorliegt, ist
Dabei ist der Summand links in Diagonalgestalt, also insbesondere diagonalisierbar, und der Summand rechts ist nilpotent. Ferner ist
und
sodass auch die Vertauschbarkeitsbeziehung gilt.
c) Die Summanden sind diagonalisierbar bzw. nilpotent. Ferner ist
und
und somit ist dies ebenfalls die kanonische Zerlegung (allerdings bezüglich einer anderen Basis).
Aufgabe (4 Punkte)
Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung
Eine spezielle Lösung der Gleichung ist durch
gegeben. Für die zugehörige homogene Gleichung sind
Lösungen, die offenbar linear unabhängig sind. Da der Rang des Gleichungssystems ist, handelt es sich um eine Basis des Lösungsraumes der homogenen Gleichung. Daher bildet
eine affine Basis der Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung.