Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Vorlesung 56/kontrolle
- Basiswechsel bei Tensorprodukten
Es sei ein Körper und seien endlichdimensionale Vektorräume über . Es seien , und , Basen von mit den Basiswechselmatrizen
Dann ist die Basiswechselmatrix (mit ) zwischen den Basen
des Tensorproduktes durch die -Matrix mit den Einträgen
beschrieben.
Nach der Definition 9.2 der Basiswechselmatrix ist
Somit ist unter Verwendung von Lemma 55.9 (3)
und diese Koeffizienten bilden die Basiswechselmatrix.
Wir betrachten den mit den Basen und der Standardbasis und als reellen Vektorraum mit den Basen und . Damit sind die Basiswechselmatrizen, wie sie in Lemma 56.1 auftreten, gleich
und
Wir folgen der Anordnung und erhalten die Basiswechselmatrix
In der zweiten Spalte steht beispielsweise, wie man als Linearkombination der ausdrückt.
- Tensorprodukt und Dualraum
Es sei ein Körper und seien endlichdimensionale Vektorräume über .
Dann gibt es eine natürliche Isomorphie
Für fixierte Linearformen ist die Abbildung
nach Aufgabe 16.36 multilinear und definiert daher eine Linearform auf . Dies ergibt die Abbildung
Diese Gesamtzuordnung ist ebenfalls multilinear und ergibt somit eine lineare Abbildung
Nach Korollar 55.13 und Korollar 13.12 haben die Räume die gleiche Dimension. Es seien , , Basen der . Dann bilden die nach Satz 55.12 (3) eine Basis von und die Dualbasis dazu eine Basis des Dualraumes. Wir behaupten die Gleichheit der linearen Abbildungen
Diese ergibt sich, da beide Abbildungen, angewendet auf die Basiselemente , bei den Wert und andernfalls den Wert ergeben. Daher ist surjektiv und damit auch injektiv.
Es sei ein Körper und seien - Vektorräume. Dann gelten folgende Aussagen (im Sinne einer kanonischen Isomorphie).
- Es ist
- Es ist
Beweis
- Tensorprodukte von linearen Abbildungen
Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Es seien
Dann gibt es eine wohldefinierte lineare Abbildung
mit
Die Gesamtabbildung
ist nach Aufgabe 16.28 multilinear. Dies induziert nach Lemma 55.4 eine lineare Abbildung
Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Zu - linearen Abbildungen
heißt die lineare Abbildung
das Tensorprodukt der . Es wird mit bezeichnet.
Proposition Proposition 56.7 ändern
Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Dann gelten folgende Aussagen.
- Zu einer - linearen Abbildung gibt es eine natürliche - lineare Abbildung .
- Wenn surjektiv ist, ist auch surjektiv.
- Wenn injektiv ist, so ist auch injektiv.
(1). Dies ist ein Spezialfall von Lemma 56.5.
(2). Die Surjektivität der Abbildung
ist klar, da die ein - Erzeugendensystem von bilden und diese im Bild der Abbildung liegen.
(3). Wegen der Injektivität können wir
als Untervektorraum auffasen. Eine Basis , , von können wir zu einer Basis , , mit von ergänzen. Sei , , eine Basis von . Dann ist nach Satz 55.12 die Familie , , eine Basis von und , , ist eine Teilmenge davon, die eine Basis von ist. Also wird unter
eine Basis auf linear unabhängige Elemente abgebildet und somit ist diese Abbildung injektiv.
Von daher werden wir zu Untervektorräumen das Tensorprodukt als Untervektorraum von auffassen.
- Körperwechsel
Schon häufig haben wir ein reelles Problem dadurch vereinfacht, dass wir es als Problem über den komplexen Zahlen aufgefasst haben. Wenn die Situation mit einer reellen Matrix formuliert werden kann, so kann man diese direkt als eine komplexe Matrix auffassen und dafür die (nichtreellen) komplexen Eigenwerte berechnen und ähnliches. Matrizen sind im Allgemeinen von der Wahl von Basen abhängige Beschreibungen mathematischer Objekte. Mit dem Tensorprodukt kann man den Übergang zum Komplexen auf der Ebene der Objekte selbst sinnvoll beschreiben. Wir betrachten daher hier den Fall des Tensorproduktes, wenn über ein -Vektorraum und eine Körpererweiterung vorliegt. Wir fixieren die verwendeten Sprechweisen.
Eine Teilmenge eines Körpers heißt Unterkörper von , wenn folgende Eigenschaften gelten.
- Es ist .
- Mit ist auch .
- Mit ist auch .
- Mit ist auch .
- Mit , , ist auch .
Es sei ein Körper und ein Unterkörper von . Dann heißt ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von und die Inklusion heißt eine Körpererweiterung.
Es sei eine Körpererweiterung.
Dann ist in natürlicher Weise ein - Vektorraum.
Die Skalarmultiplikation
wird einfach durch die Multiplikation in gegeben. Die Vektorraumaxiome folgen dann direkt aus den Körperaxiomen.
Zu einem - Vektorraum über einem Körper und einer Körpererweiterung nennt man den durch Körperwechsel gewonnenen -Vektorraum.
Statt schreibt man auch .
Proposition Proposition 56.13 ändern
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und eine Körpererweiterung. Dann gelten folgende Aussagen.
- Das Tensorprodukt ist ein -Vektorraum.
- Es gibt eine kanonische
-
lineare Abbildung
Bei ist dies ein Isomorphismus.
- Zu einer
-
linearen Abbildung
ist die induzierte Abbildung
eine -lineare Abbildung.
- Zu
ist
- Zu einem
endlichdimensionalen
-
Vektorraum
ist
- Zu einer weiteren Körpererweiterung
ist
(eine Isomorphie von -Vektorräumen).
(1). Die Multiplikation
ist - bilinear und insbesondere -bilinear und führt nach Lemma 55.4 zu einer - linearen Abbildung
Dies induziert nach Lemma 56.4 (2) und nach Proposition 56.7 eine - lineare Abbildung
Dies ergibt eine wohldefinierte Skalarmultiplikation
die explizit durch
gegeben ist. Aus dieser Beschreibung folgen direkt die Eigenschaften einer Skalarmultiplikation.
(2). Die -Homomorphie folgt direkt aus der Bilinearität des Tensorprodukts. Bei
ist die Abbildung surjektiv. Die Skalarmultiplikation
induziert eine
-
lineare Abbildung
Die Verknüpfung der kanonischen Abbildung
mit dieser Abbildung ist die Identität auf , sodass die erste Abbildung auch injektiv ist.
(3) folgt aus der expliziten Beschreibung in (1).
(4) folgt aus
Korollar 56.8.
(5) folgt aus (4).
(6). Nach Teil (2) haben wir einerseits eine -lineare Abbildung
.
Dies führt zu einer -multilinearen Abbildung
die eine -lineare Abbildung
induziert. Andererseits haben wir eine -lineare Abbildung
Rechts steht ein -Vektorraum, daher kann man die Skalarmultiplikation als eine -multilineare Abbildung
auffassen, die ihrerseits zu einer -linearen Abbildung
führt. Diese beiden Abbildungen sind invers zueinander, was man auf den zerlegbaren Tensoren überprüfen kann. Daran sieht man auch, dass sich die -Multiplikationen entsprechen.
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und eine Körpererweiterung. Es sei , , eine Familie von Vektoren aus . Dann gelten folgende Aussagen.
- Die Familie , , ist genau dann ein - Erzeugendensystem von , wenn , , ein -Erzeugendensystem von ist.
- Die Familie , , ist genau dann - linear unabhängig in , wenn , , linear unabhängig (über ) in ist.
- Die Familie , , ist genau dann ein - Basis von , wenn , , ein -Basis von ist.
Beweis
Es sei ein reeller Vektorraum. Die Tensorierung mit der - Algebra , also
nennt man die Komplexifizierung von . Wenn die Dimension besitzt, so besitzt als komplexer Vektorraum ebenfalls die Dimension . Wenn man als reellen Vektorraum betrachtet, so besitzt er die reelle Dimension .