Kurs:Maß- und Integrationstheorie/6/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 3 3 2 4 2 7 7 5 4 4 9 5 4 5 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Produkt--Algebra zu Messräumen .
  2. Eine einfache Funktion auf einem Messraum.
  3. Eine Topologie auf einer Menge .
  4. Der positive Teil zu einer Funktion
  5. Die -Norm zu einer - integrierbaren Funktion auf einem Maßraum ().
  6. Ein total beschränkter metrischer Raum .


Lösung

  1. Man nennt die von allen Quadern

    auf erzeugte -Algebra die Produkt-Sigma-Algebra der , .

  2. Messraum/Einfache Funktion/Definition/Begriff/Inhalt
  3. Eine Familie von Teilmengen von heißt Topologie auf , wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:
    1. Es ist und .
    2. Sind und , so ist auch .
    3. Ist eine Indexmenge und für alle , so ist auch .
  4. Numerische Funktion/Positiver Teil/Definition/Begriff/Inhalt
  5. Maßraum/Messbare Funktion/p-integrierbar/Norm/Definition/Begriff/Inhalt
  6. Ein metrischer Raum heißt total beschränkt, wenn es zu jedem endlich viele Punkte derart gibt, dass

    gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Borelmengen im und Quader.
  2. Der Satz über die Existenz des Borel-Lebesgue-Maßes.
  3. Die Höldersche Ungleichung.


Lösung

  1. Die Menge der Borel-Mengen im stimmt mit der von der Menge aller offenen Quader erzeugten - Algebra überein. Dabei kann man sich sogar auf die Menge der offenen achsenparallelen Quader mit rationalen Eckpunkten beschränken.
  2. Der sei mit der - Algebra der Borel-Mengen versehen. Dann gibt es auf genau ein (- endliches) Maß

    das für alle Quader

    den Wert

    besitzt.

    Die Aussage gilt auch für (achsenparallele)

    Quader mit offenen bzw. abgeschlossenen Intervallen als Seiten.
  3. Es seien reelle Zahlen mit

    und es sei ein Maßraum. Es seien

    messbare Funktionen, die - bzw. -integrierbar seien.

    Dann gilt


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine Menge und das Mengensystem auf , das aus allen endlichen Teilmengen von und deren Komplementen besteht. Zeige, dass eine Mengenalgebra ist.


Lösung

Die ganze Menge ist das Komplement der leeren Menge und gehört somit dazu. Das System ist nach Definition unter Komplementbildung abgeschlossen. Die Vereinigung zweier endlicher Teilmengen ist wieder endlich, und die Vereinigung einer Menge, deren Komplement endlich ist, mit einer weiteren Menge (egal, ob sie zu dem System gehört oder nicht) besitzt ebenfalls diese Eigenschaft.


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Häuptling Winnetou möchte sich ein neues Tipi über einer quadratischen Grundfläche von Metern errichten. Er verwendet dafür vier Stangen mit einer Länge von Metern, die in den Eckpunkten der Grundfläche stehen und sich in der Zeltspitze treffen sollen.

a) Wie viel Quadratmeter Büffelhaut wird für das Zeltdach gebraucht?

b) Wie viel Kubikmeter Rauminhalt hat das neue Zelt?


Lösung

a) Die Länge einer schrägen Zeltflächenhöhe ist

Die Gesamtfläche des Zeltdaches ist daher

b) Die Diagonale der Grundfläche hat die Länge , der Grundflächenmittelpunkt hat also zu den Eckpunkten den Abstand . Die Zelthöhe ist daher

Das Volumen des Tipis ist somit nach Satz 12.6 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) gleich


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass in einem Hausdorff-Raum jeder Punkt abgeschlossen ist.


Lösung

Zu jedem Punkt , gibt es eine offene Umgebung mit . Daher ist

offen und somit ist das Komplement abgeschlossen.


Aufgabe (7 Punkte)

Es sei ein Maßraum und seien , , messbare Teilmengen mit . Für eine Teilmenge sei

Beweise die Formel


Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über . Für ist die Aussage klar. Der Fall , der im Induktionsschritt verwendet wird, bedeutet

und folgt aus der disjunkten Zerlegung

mittels

Zum Induktionsschritt sei die Aussage für ein bestimmtes bewiesen, und wir zeigen sie für . Unter Verwendung des Falles mit zwei Mengen und der Induktionsvoraussetzung (für und ) ist


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Produktsatz für Maße.


Lösung

Wir beschränken uns auf den Fall von zwei -endlichen Maßräumen und . Es seien bzw. jeweils Ausschöpfungen der Räume durch Teilmengen mit endlichem Maß. Die Eindeutigkeit folgt aus Satz 3.7 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)), da das Maß auf dem durchschnittsstabilen Erzeugendensystem aller Quader festgelegt ist, und die Mengen , , eine Ausschöpfung des Produktraumes mit endlichem Maß bilden.

Zur Existenz. Wir ersetzen zuerst die Ausschöpfungen durch disjunkte Vereinigungen, indem wir statt betrachten. Dann bilden die , , eine disjunkte Vereinigung von . Da ein Maß nach Aufgabe ***** durch die Einschränkungen auf einer abzählbaren disjunkten Vereinigung eindeutig bestimmt ist, genügt es, auf jedem ein Maß zu konstruieren. D.h. wir können annehmen, dass die Maße und endlich sind.
Es sei der Produkt-Präring auf . Nach Fakt ***** gibt es auf diesem Mengensystem ein wohldefiniertes Prämaß, das auf den Quadern durch das Produkt der Seitenmaße gegeben ist.
Aufgrund von Fakt ***** kann man dieses Prämaß zu einem Maß auf der -Algebra fortsetzen.


Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

Wir betrachten ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Schenkel die Länge haben und dessen Winkel am Schenkelschnittpunkt Grad beträgt.

  1. Berechne die Grundseite des Dreiecks.
  2. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.


Lösung

  1. Wir legen zwei Dreiecke der gegebenen Art an einem Schenkel nebeneinander. Es entsteht ein Viereck, das ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge enthält. Der mittlere Schenkel halbiert die zum Schenkelschnittpunkt gegenüberliegende Seite in zwei gleichlange Seiten der Länge . Die Höhe des gleichseitigen Dreiecks ist daher

    Daher ist die Länge des Anteils des mittleren Schenekels, der über das gleichseitige Dreieck hinausragt, gleich

    Deshalb besitzt die Grundseite des gleichschenkligen Dreiecks die Länge

  2. Der Flächeninhalt ist , da die Konstruktion aus Teil (1) zeigt, dass die Höhe zu einem Schenkel gleich ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne das Volumen der Einheitskugel mit dem Cavalieri-Prinzip.


Lösung

Wir wollen das Volumen einer dreidimensionalen abgeschlossenen Kugel vom Radius berechnen, also von

Wegen Fakt ***** gilt dabei , d.h. es geht im Wesentlichen darum, das Volumen der Einheitskugel auszurechnen.

Für jedes fixierte , , kann man den Querschnitt als

schreiben, d.h. als eine Kreisfläche vom Radius . Aufgrund des Cavalieri-Prinzips ist daher


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

ein Quader im und sei

ein Monom. Berechne .


Lösung

Die Funktion ist ein Produkt von Funktionen, nämlich , die jeweils nur von der einen Variablen abhängen. Daher kann man (eine geeignete Verallgemeinerung von) Fakt ***** anwenden und erhält


Aufgabe (9 (3+1+1+4) Punkte)

Es sei

wir betrachten die Abbildung

  1. Zeige, dass injektiv ist.
  2. Zeige, dass einen Diffeomorphismus auf sein Bild induziert.
  3. Zeige, dass das Rechteck in liegt.
  4. Berechne den Flächeninhalt des Bildes von unter .


Lösung

  1. Wir betrachten das Gleichungssystem

    und müssen zeigen, dass durch eindeutig bestimmt ist. Wegen ist . Es gilt

    und

    Daraus ergibt sich

    bzw.

    Bei gegebenem ist diese Funktion in streng wachsend, daher gibt es maximal ein , das diese Gleichung erfüllt. Dadurch ist auch eindeutig bestimmt.

  2. Die Jacobi-Matrix ist

    mit der Determinante

    Auf ist dies überall negativ, daher liegt ein Diffeomorphismus auf das Bild vor.

  3. Für ist

    also ist .

  4. Der Flächeninhalt ist nach Fakt ***** gleich


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Höldersche Ungleichung unter Verwendung der Abschätzung

für reelle Zahlen und mit .


Lösung

Bei ist die Aussage nach Fakt ***** klar, wir können also von ausgehen. Zu wenden wir auf und die Abschätzung

(siehe Aufgabe *****) an und erhalten

Multiplikation mit dem Vorfaktor ergibt die Behauptung.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Hausdorffraum und es sei eine Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Es sei kompakt. Zeige, dass abgeschlossen in ist.


Lösung Hausdorffraum/Kompakte Teilmenge/Abgeschlossen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein abgeschlossenes gleichseitiges Dreieck (gemeint ist die Fläche mit Rand) mit Seitenlänge . Bestimme die minimale Anzahl an offenen Bällen mit Radius , mit denen man überdecken kann.


Lösung Gleichseitiges Dreieck/Seitenlänge 2/Abgeschlossen/Offener Einheitsball/Überdeckung/Aufgabe/Lösung