Kurs:Maß- und Integrationstheorie/6/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	2	4	2	7	7	5	4	4	9	5	4	5	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Produkt-${}\sigma$-Algebra zu Messräumen ${}(M_{1},{\mathcal {A}}_{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n})$.
2. Eine einfache Funktion auf einem Messraum.
3. Eine Topologie auf einer Menge ${}X$.
4. Der positive Teil zu einer Funktion

   $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}.$

5. Die ${}p$-Norm zu einer ${}p$- integrierbaren Funktion ${}f$ auf einem Maßraum ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ (${}p\geq 1$).
6. Ein total beschränkter metrischer Raum ${}M$.

Lösung

1. Man nennt die von allen Quadern

   $S_{1}\times \cdots \times S_{n}{\text{ mit }}S_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n$

   auf ${}M_{1}\times \cdots \times M_{n}$ erzeugte ${}\sigma$-Algebra die Produkt-Sigma-Algebra der ${}(M_{i},{\mathcal {A}}_{i})$, ${}i=1,\ldots ,n$.

2. Messraum/Einfache Funktion/Definition/Begriff/Inhalt
3. Eine Familie ${}{\mathcal {T}}$ von Teilmengen von ${}X$ heißt Topologie auf ${}X$, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:
   1. Es ist ${}\emptyset \in {\mathcal {T}}$ und ${}X\in {\mathcal {T}}$.
   2. Sind ${}U\in {\mathcal {T}}$ und ${}V\in {\mathcal {T}}$, so ist auch ${}U\cap V\in {\mathcal {T}}$.
   3. Ist ${}I$ eine Indexmenge und ${}U_{i}\in {\mathcal {T}}$ für alle ${}i\in I$, so ist auch ${}\bigcup _{i\in I}U_{i}\in {\mathcal {T}}$.
4. Numerische Funktion/Positiver Teil/Definition/Begriff/Inhalt
5. Maßraum/Messbare Funktion/p-integrierbar/Norm/Definition/Begriff/Inhalt
6. Ein metrischer Raum ${}M$ heißt total beschränkt, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ endlich viele Punkte ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in M$ derart gibt, dass

   ${}M=\bigcup _{i=1}^{n}U{\left(x_{i},\epsilon \right)}\,$

   gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Borelmengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und Quader.
2. Der Satz über die Existenz des Borel-Lebesgue-Maßes.
3. Die Höldersche Ungleichung.

Lösung

1. Die Menge der Borel-Mengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ stimmt mit der von der Menge aller offenen Quader erzeugten ${}\sigma$- Algebra überein. Dabei kann man sich sogar auf die Menge der offenen achsenparallelen Quader mit rationalen Eckpunkten beschränken.
2. Der ${}\mathbb {R} ^{n}$ sei mit der ${}\sigma$- Algebra der Borel-Mengen ${}{\mathcal {B}}^{n}$ versehen. Dann gibt es auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$ genau ein (${}\sigma$- endliches) Maß

   $\lambda ^{n}\colon {\mathcal {B}}^{n}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \lambda ^{n}(T),$

   das für alle Quader

   ${}Q=[a_{1},b_{1}[\times \cdots \times [a_{n},b_{n}[\,$

   den Wert

   ${}\lambda ^{n}(Q)=(b_{1}-a_{1})\cdots (b_{n}-a_{n})\,$

   besitzt.

   Die Aussage gilt auch für (achsenparallele)

   Quader mit offenen bzw. abgeschlossenen Intervallen als Seiten.
3. Es seien ${}p,q\geq 1$ reelle Zahlen mit

   ${}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\,$

   und es sei ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Es seien

   $f,g\colon X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

   messbare Funktionen, die ${}p$- bzw. ${}q$-integrierbar seien.

   Dann gilt

   ${}\int _{X}fgd\mu =\Vert {fg}\Vert _{1}\leq \Vert {f}\Vert _{p}\cdot \Vert {g}\Vert _{q}\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}{\mathcal {C}}$ das Mengensystem auf ${}M$, das aus allen endlichen Teilmengen von ${}M$ und deren Komplementen besteht. Zeige, dass ${}{\mathcal {C}}$ eine Mengenalgebra ist.

Lösung

Die ganze Menge ist das Komplement der leeren Menge und gehört somit dazu. Das System ist nach Definition unter Komplementbildung abgeschlossen. Die Vereinigung zweier endlicher Teilmengen ist wieder endlich, und die Vereinigung einer Menge, deren Komplement endlich ist, mit einer weiteren Menge (egal, ob sie zu dem System gehört oder nicht) besitzt ebenfalls diese Eigenschaft.

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Häuptling Winnetou möchte sich ein neues Tipi über einer quadratischen Grundfläche von ${}3\times 3$ Metern errichten. Er verwendet dafür vier Stangen mit einer Länge von ${}5$ Metern, die in den Eckpunkten der Grundfläche stehen und sich in der Zeltspitze treffen sollen.

a) Wie viel Quadratmeter Büffelhaut wird für das Zeltdach gebraucht?

b) Wie viel Kubikmeter Rauminhalt hat das neue Zelt?

Lösung

a) Die Länge einer schrägen Zeltflächenhöhe ist

${}g={\sqrt {5^{2}-{\left({\frac {3}{2}}\right)}^{2}}}={\sqrt {25-{\frac {9}{4}}}}={\sqrt {\frac {91}{4}}}={\frac {\sqrt {91}}{2}}\,.$

Die Gesamtfläche des Zeltdaches ist daher

${}4{\frac {1}{2}}3g=3{\sqrt {91}}\,.$

b) Die Diagonale der Grundfläche hat die Länge ${}3{\sqrt {2}}$, der Grundflächenmittelpunkt hat also zu den Eckpunkten den Abstand ${}{\frac {1}{2}}3{\sqrt {2}}$. Die Zelthöhe ist daher

${}h={\sqrt {5^{2}-{\left({\frac {1}{2}}3{\sqrt {2}}\right)}^{2}}}={\sqrt {25-{\frac {9}{2}}}}={\sqrt {\frac {41}{2}}}\,.$

Das Volumen des Tipis ist somit nach Satz 12.6 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) gleich

${}{\frac {1}{3}}9h=3{\sqrt {\frac {41}{2}}}\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass in einem Hausdorff-Raum ${}X$ jeder Punkt ${}x\in X$ abgeschlossen ist.

Lösung

Zu jedem Punkt ${}y\in X$, ${}y\neq x$ gibt es eine offene Umgebung ${}y\in U_{y}$ mit ${}x\not \in U$. Daher ist

${}X\setminus \{x\}=\bigcup _{y\neq x}U_{y}\,$

offen und somit ist das Komplement ${}\{x\}$ abgeschlossen.

Aufgabe (7 Punkte)

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum und seien ${}T_{i}\subseteq M$, ${}i=1,\ldots ,n$, messbare Teilmengen mit ${}\mu (T_{i})<\infty$. Für eine Teilmenge ${}J\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ sei

${}T_{J}=\bigcap _{i\in J}T_{i}\,.$

Beweise die Formel

${}\mu {\left(\bigcup _{i=1}^{n}T_{i}\right)}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J})\right)}\,.$

Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über ${}n$. Für ${}n=1$ ist die Aussage klar. Der Fall ${}n=2$, der im Induktionsschritt verwendet wird, bedeutet

${}\mu (T_{1}\cup T_{2})=\mu (T_{1})+\mu (T_{2})-\mu (T_{1}\cap T_{2})\,$

und folgt aus der disjunkten Zerlegung

${}T_{1}\cup T_{2}=(T_{1}\setminus T_{2})\cup (T_{2}\setminus T_{1})\cup (T_{1}\cap T_{2})\,$

mittels

${}{\begin{aligned}\mu (T_{1}\cup T_{2})&=\mu (T_{1}\setminus T_{2})+\mu (T_{2}\setminus T_{1})+\mu (T_{1}\cap T_{2})\\&=\mu (T_{1}\setminus T_{1}\cap T_{2})+\mu (T_{2}\setminus T_{1}\cap T_{2})+\mu (T_{1}\cap T_{2})\\&=\mu (T_{1})-\mu (T_{1}\cap T_{2})+\mu (T_{2})-\mu (T_{1}\cap T_{2})+\mu (T_{1}\cap T_{2})\\&=\mu (T_{1})+\mu (T_{2})-\mu (T_{1}\cap T_{2}).\end{aligned}}$

Zum Induktionsschritt sei die Aussage für ein bestimmtes ${}n\geq 2$ bewiesen, und wir zeigen sie für ${}n+1$. Unter Verwendung des Falles mit zwei Mengen und der Induktionsvoraussetzung (für $T_{1},\ldots ,T_{n}$ und $T_{1}\cap T_{n+1},\ldots ,T_{n}\cap T_{n+1}$) ist

${}{\begin{aligned}\mu {\left(\bigcup _{i=1}^{n+1}T_{i}\right)}&=\mu {\left({\left(\bigcup _{i=1}^{n}T_{i}\right)}\cup T_{n+1}\right)}\\&=\mu {\left(\bigcup _{i=1}^{n}T_{i}\right)}+\mu (T_{n+1})-\mu {\left({\left(\bigcup _{i=1}^{n}T_{i}\right)}\cap T_{n+1}\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J})\right)}+\mu (T_{n+1})-\mu {\left({\left(\bigcup _{i=1}^{n}T_{i}\right)}\cap T_{n+1}\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J})\right)}+\mu (T_{n+1})-\mu {\left(\bigcup _{i=1}^{n}{\left(T_{i}\cap T_{n+1}\right)}\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J})\right)}+\mu (T_{n+1})-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J}\cap T_{n+1})\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n+1\},\,n+1\not \in J,\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J})\right)}+\mu (T_{n+1})-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n,n+1\},\,n+1\in J,\,{\#\left(J\right)}=k+1}\mu (T_{J})\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n+1\},\,n+1\not \in J,\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J})\right)}+\mu (T_{n+1})+\sum _{\ell =2}^{n+1}(-1)(-1)^{\ell }{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n,n+1\},\,n+1\in J,\,{\#\left(J\right)}=\ell }\mu (T_{J})\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n+1\},\,n+1\not \in J,\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J})\right)}+\sum _{k=1}^{n+1}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n,n+1\},\,n+1\in J,\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J})\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n,n+1\},\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J})\right)}.\end{aligned}}$

Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Produktsatz für Maße.

Lösung

Wir beschränken uns auf den Fall von zwei ${}\sigma$-endlichen Maßräumen ${}(M,{\mathcal {A}},\pi )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\rho )$. Es seien ${}M_{n},\,n\in \mathbb {N} ,$ bzw. ${}N_{n},\,n\in \mathbb {N} ,$ jeweils Ausschöpfungen der Räume durch Teilmengen mit endlichem Maß. Die Eindeutigkeit folgt aus Satz 3.7 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)), da das Maß auf dem durchschnittsstabilen Erzeugendensystem aller Quader festgelegt ist, und die Mengen ${}M_{n}\times N_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Ausschöpfung des Produktraumes mit endlichem Maß bilden.

Zur Existenz. Wir ersetzen zuerst die Ausschöpfungen durch disjunkte Vereinigungen, indem wir ${}M_{n}\setminus M_{n-1}$ statt ${}M_{n}$ betrachten. Dann bilden die ${}M_{i}\times N_{j}$, ${}(i,j)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N}$, eine disjunkte Vereinigung von ${}M\times N$. Da ein Maß nach Aufgabe ***** durch die Einschränkungen auf einer abzählbaren disjunkten Vereinigung eindeutig bestimmt ist, genügt es, auf jedem ${}M_{i}\times N_{j}$ ein Maß zu konstruieren. D.h. wir können annehmen, dass die Maße ${}\pi$ und ${}\rho$ endlich sind.
Es sei ${}{\mathcal {H}}$ der Produkt-Präring auf ${}M\times N$. Nach Fakt ***** gibt es auf diesem Mengensystem ein wohldefiniertes Prämaß, das auf den Quadern durch das Produkt der Seitenmaße gegeben ist.
Aufgrund von Fakt ***** kann man dieses Prämaß zu einem Maß auf der ${}\sigma$-Algebra ${}{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$ fortsetzen.

Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

Wir betrachten ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Schenkel die Länge ${}1$ haben und dessen Winkel am Schenkelschnittpunkt ${}30$ Grad beträgt.

1. Berechne die Grundseite des Dreiecks.
2. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

Lösung

1. Wir legen zwei Dreiecke der gegebenen Art an einem Schenkel nebeneinander. Es entsteht ein Viereck, das ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge ${}1$ enthält. Der mittlere Schenkel halbiert die zum Schenkelschnittpunkt gegenüberliegende Seite in zwei gleichlange Seiten der Länge ${}{\frac {1}{2}}$. Die Höhe des gleichseitigen Dreiecks ist daher

   ${}h={\sqrt {1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,.$

   Daher ist die Länge des Anteils des mittleren Schenekels, der über das gleichseitige Dreieck hinausragt, gleich

   ${}c=1-h={\frac {2-{\sqrt {3}}}{2}}\,.$

   Deshalb besitzt die Grundseite des gleichschenkligen Dreiecks die Länge

   ${}{\begin{aligned}g&={\sqrt {c^{2}+{\frac {1}{4}}}}\\&={\sqrt {\left({\frac {2-{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}}}\\&={\frac {\sqrt {4+3-4{\sqrt {3}}+1}}{2}}\\&={\frac {\sqrt {8-4{\sqrt {3}}}}{2}}\\&={\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}.\end{aligned}}$

2. Der Flächeninhalt ist ${}{\frac {1}{4}}$, da die Konstruktion aus Teil (1) zeigt, dass die Höhe zu einem Schenkel gleich ${}{\frac {1}{2}}$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne das Volumen der Einheitskugel mit dem Cavalieri-Prinzip.

Lösung

Wir wollen das Volumen einer dreidimensionalen abgeschlossenen Kugel vom Radius ${}r$ berechnen, also von

${}B(r)={\left\{x\in \mathbb {R} ^{3}\mid \Vert {x}\Vert \leq r\right\}}\,.$

Wegen Fakt ***** gilt dabei ${}\lambda ^{3}(B(r))=r^{3}\lambda ^{3}(B(1))$, d.h. es geht im Wesentlichen darum, das Volumen der Einheitskugel auszurechnen.

Für jedes fixierte ${}u$, ${}-1\leq u\leq 1$, kann man den Querschnitt als

${}{\begin{aligned}T(u)&={\left\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in B(1)\mid x_{3}=u\right\}}\\&={\left\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}\mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1-u^{2}\right\}}\end{aligned}}$

schreiben, d.h. als eine Kreisfläche vom Radius ${}{\sqrt {1-u^{2}}}$. Aufgrund des Cavalieri-Prinzips ist daher

${}{\begin{aligned}\lambda ^{3}(B(1))&=\int _{-1}^{1}\lambda ^{2}{\left(B_{2}{\left({\sqrt {1-u^{2}}}\right)}\right)}\,dh\\&=\pi \int _{-1}^{1}1-u^{2}\,du\\&=\pi {\left(u-{\frac {1}{3}}u^{3}\right)}|_{-1}^{1}\\&=\pi {\left(1-{\frac {1}{3}}-{\left(-1+{\frac {1}{3}}\right)}\right)}\\&=\pi {\frac {4}{3}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

${}Q=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2}\times b_{2}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]\,$

ein Quader im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und sei

${}f=x_{1}^{d_{1}}x_{2}^{d_{2}}\cdots x_{n}^{d_{n}}\,$

ein Monom. Berechne ${}\int _{Q}fd\lambda ^{n}$.

Lösung

Die Funktion ${}f$ ist ein Produkt von ${}n$ Funktionen, nämlich ${}x_{i}^{d_{i}}$, die jeweils nur von der einen Variablen ${}x_{i}$ abhängen. Daher kann man (eine geeignete Verallgemeinerung von) Fakt ***** anwenden und erhält

${}{\begin{aligned}\int _{Q}fd\lambda ^{n}&={\left(\int _{a_{1}}^{b_{1}}x_{1}^{d_{1}}dx_{1}\right)}{\left(\int _{a_{2}}^{b_{2}}x_{2}^{d_{2}}dx_{2}\right)}\cdots {\left(\int _{a_{n}}^{b_{n}}x_{n}^{d_{n}}dx_{n}\right)}\\&={\frac {1}{d_{1}+1}}{\left(b_{1}^{d_{1}+1}-a_{1}^{d_{1}+1}\right)}{\frac {1}{d_{2}+1}}{\left(b_{2}^{d_{2}+1}-a_{2}^{d_{2}+1}\right)}\cdots {\frac {1}{d_{n}+1}}{\left(b_{n}^{d_{n}+1}-a_{n}^{d_{n}+1}\right)}\\&={\frac {1}{(d_{1}+1)(d_{2}+1)\cdots (d_{n}+1)}}{\left(b_{1}^{d_{1}+1}-a_{1}^{d_{1}+1}\right)}{\left(b_{2}^{d_{2}+1}-a_{2}^{d_{2}+1}\right)}\cdots {\left(b_{n}^{d_{n}+1}-a_{n}^{d_{n}+1}\right)}.\end{aligned}}$

Aufgabe (9 (3+1+1+4) Punkte)

Es sei

${}G={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\mid x^{2}>y^{3}\right\}}\,,$

wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (xy,x^{2}-y^{3}).$

1. Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.
2. Zeige, dass ${}\varphi$ einen Diffeomorphismus auf sein Bild induziert.
3. Zeige, dass das Rechteck ${}Q=[3,4]\times [1,2]$ in ${}G$ liegt.
4. Berechne den Flächeninhalt des Bildes von ${}Q=[3,4]\times [1,2]$ unter ${}\varphi$.

Lösung

1. Wir betrachten das Gleichungssystem

   ${}(xy,x^{2}-y^{3})=(u,v)\,$

   und müssen zeigen, dass ${}(x,y)$ durch ${}(u,v)$ eindeutig bestimmt ist. Wegen ${}(x,y)\in T$ ist ${}(u,v)\in \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}$. Es gilt

   ${}x={\frac {u}{y}}\,$

   und

   ${}x^{2}=v+y^{3}\,.$

   Daraus ergibt sich

   ${}{\frac {u^{2}}{y^{2}}}=v+y^{3}\,$

   bzw.

   ${}u^{2}=vy^{2}+y^{5}\,.$

   Bei gegebenem ${}v>0$ ist diese Funktion in ${}y\in \mathbb {R} _{+}$ streng wachsend, daher gibt es maximal ein ${}y$, das diese Gleichung erfüllt. Dadurch ist auch ${}x={\frac {u}{y}}$ eindeutig bestimmt.

2. Die Jacobi-Matrix ist

   ${\begin{pmatrix}y&x\\2x&-3y^{2}\end{pmatrix}}$

   mit der Determinante

   ${}\det {\begin{pmatrix}y&x\\2x&-3y^{2}\end{pmatrix}}=-3y^{3}-2x^{2}\,.$

   Auf ${}G\subseteq \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}$ ist dies überall negativ, daher liegt ein Diffeomorphismus auf das Bild vor.

3. Für ${}(x,y)\in Q$ ist

   ${}x^{2}\geq 3^{2}>2^{3}\geq y^{3}\,,$

   also ist ${}(x,y)\in G$.

4. Der Flächeninhalt ist nach Fakt ***** gleich

   ${}{\begin{aligned}\lambda ^{2}(\varphi (Q))&=\int _{Q}\det \left(D\varphi \right)_{x}d\lambda ^{2}\\&=\int _{3}^{4}\int _{1}^{2}2x^{2}+3y^{3}dydx\\&=\int _{3}^{4}{\left(2x^{2}y+{\frac {3}{4}}y^{4}\right)}{|}_{1}^{2}dx\\&=\int _{3}^{4}{\left(4x^{2}+192-2x^{2}-{\frac {3}{4}}\right)}dx\\&=\int _{3}^{4}{\left(2x^{2}+{\frac {765}{4}}\right)}dx\\&={\left({\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {765}{4}}x\right)}{|}_{3}^{4}\\&={\frac {2}{3}}\cdot (64-27)+{\frac {765}{4}}\\&={\frac {74}{3}}+{\frac {765}{4}}\\&={\frac {2591}{12}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Höldersche Ungleichung unter Verwendung der Abschätzung

${}AB\leq {\frac {A^{p}}{p}}+{\frac {B^{q}}{q}}\,$

für reelle Zahlen ${}A,B\geq 0$ und ${}p,q\geq 1$ mit ${}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$.

Lösung

Bei ${}\Vert {f}\Vert _{p}=0$ ist die Aussage nach Fakt ***** klar, wir können also von ${}\Vert {f}\Vert _{p},\Vert {g}\Vert _{p}>0$ ausgehen. Zu ${}x\in X$ wenden wir auf ${}A={\frac {\vert {f(x)}\vert }{\Vert {f}\Vert _{p}}}$ und ${}B={\frac {\vert {g(x)}\vert }{\Vert {g}\Vert _{q}}}$ die Abschätzung

${}AB\leq {\frac {A^{p}}{p}}+{\frac {B^{q}}{q}}\,$

(siehe Aufgabe *****) an und erhalten

${}{\begin{aligned}{\frac {1}{\Vert {f}\Vert _{p}\cdot \Vert {g}\Vert _{q}}}\int _{X}\vert {fg}\vert d\mu &=\int _{X}{\frac {\vert {f}\vert }{\Vert {f}\Vert _{p}}}\cdot {\frac {\vert {g}\vert }{\Vert {g}\Vert _{q}}}d\mu \\&\leq \int _{X}{\frac {\vert {f}\vert ^{p}}{p\Vert {f}\Vert _{p}^{p}}}+{\frac {\vert {g}\vert ^{q}}{q\Vert {g}\Vert _{q}^{q}}}d\mu \\&={\frac {1}{p\Vert {f}\Vert _{p}^{p}}}\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu +{\frac {1}{q\Vert {g}\Vert _{q}^{q}}}\int _{X}\vert {g}\vert ^{q}d\mu \\&={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}\\&=1.\end{aligned}}$

Multiplikation mit dem Vorfaktor ergibt die Behauptung.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}X$ ein Hausdorffraum und es sei ${}Y\subseteq X$ eine Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Es sei ${}Y$ kompakt. Zeige, dass ${}Y$ abgeschlossen in ${}X$ ist.

Lösung Hausdorffraum/Kompakte Teilmenge/Abgeschlossen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ein abgeschlossenes gleichseitiges Dreieck (gemeint ist die Fläche mit Rand) mit Seitenlänge ${}2$. Bestimme die minimale Anzahl an offenen Bällen mit Radius ${}1$, mit denen man ${}T$ überdecken kann.

Lösung Gleichseitiges Dreieck/Seitenlänge 2/Abgeschlossen/Offener Einheitsball/Überdeckung/Aufgabe/Lösung