Kurs:Riemannsche Flächen/2/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
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Punkte | 3 | 3 | 10 | 5 | 2 | 4 | 3 | 3 | 4 | 2 | 2 | 8 | 3 | 4 | 3 | 5 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine riemannsche Fläche.
- Ein eindimensionaler komplexer Torus.
- Die analytische Fortsetzung eines holomorphen Funktionskeimes längs eines stetigen Weges auf einer riemannschen Fläche .
- Der Hauptteil zu einer meromorphen Funktion auf einer riemannschen Fläche .
- Die Divisorenklassengruppe einer riemannschen Fläche.
- Das Periodengitter einer zusammenhängenden kompakten riemannschen Fläche .
Lösung Riemannsche Flächen/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über Decktransformationen und Fixpunkte.
- Der Satz über holomorphe Differentialformen auf einem komplexen Torus.
- Der Satz von Riemann-Roch.
- Es sei eine Überlagerung. Dabei sei hausdorffsch, lokal wegzusammenhängend und zusammenhängend. Dann ist eine Decktransformation, die einen Fixpunkt besitzt, bereits die Identität.
- Auf einem komplexen Torus zu einem Gitter sind die holomorphen Differentialformen gleich mit , wobei die durch die -invariante Differentialform auf induzierte Form auf bezeichnet. Insbesondere ist der Raum der holomorphen Differentialformen auf eindimensional.
- Es sei eine
kompakte
zusammenhängende
riemannsche Fläche
vom
Geschlecht
und sei ein
Divisor
auf mit der zugehörigen invertierbaren Garbe .
Dann ist
Aufgabe (10 Punkte)
Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.
Lösung Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (5 Punkte)
Beschreibe Aspekte der linearen Algebra, die für die Theorie der riemannschen Flächen besonders relevant sind.
Lösung Riemannsche Flächen/Lineare Algebra/Aspekte/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (2 Punkte)
Wir betrachten die holomorphe Kurve
im Punkt . Bestimme eine affin-lineare Kurve
die im Punkt tangential äquivalent zu ist.
Es ist
und es ist
Eine tangential-äquivalente affine-lineare Kurve ist daher
mit
Aufgabe (4 Punkte)
Wir verwenden Fakt *****, es ist also zu zeigen, dass die partiellen Ableitungen von
Es sei ein Punkt, in dem alle partiellen Ableitungen sind. Dann ist nach der letzten Ableitung oder . Aus folgt aus der ersten und der zweiten partiellen Ableitung sofort , was aber kein projektiver Punkt ist. Also ist
Die Bedingungen werden dann zu
und
Wir wissen bereits . Aus folgt ebenfalls aus der ersten Bedingung direkt . Also werden die Bedingungen zu
Aus
folgt dann aber wieder , was wir schon ausgeschlossen haben.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei eine Überlagerung von topologischen Räumen und mit hausdorffsch. Zeige, dass dann auch hausdorffsch ist.
Es seien verschiedene Punkte. Wenn ist, so gibt es nach der Hausdorffeigenschaft von offene Mengen und mit . In diesem Fall sind und trennende offene Umgebungen der beiden Punkte. Bei sei eine offene Umgebung, über der die Überlagerung trivialisiert. Dann ist eine disjunkte Vereinigung von offenen Mengen und die beiden Punkte liegen auf verschiedenen Kopien von .
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei
die Quadratabbildung. Bestimme eine stetige Liftung zum linearen Weg
mit der Anfangsbedingung . Ist die Liftung eindeutig?
Wir nehmen
wobei stets die positive reelle Quadratwurzel genommen wird. Die Abbildung ist stetig und es gilt auf beiden Abschnitten
es liegt also eine stetige Liftung vor. Die Liftung ist nicht eindeutig, im positiven Abschnitt könnte man genausso gut die negative Wurzel nehmen.
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme für das Polynom
den Verzweigungsort, die Verzweigungsordnungen in den Verzweigungspunkten und das Verzweigungsbild.
Die Ableitung von ist
mit den Nullstellen
Daher ist in den beiden Punkten verzweigt, jeweils mit dem Verzweigungsindex , da diese Punkte keine Nullstelle der zweiten Ableitung
sind. Das Verzweigungsbild besteht aus den beiden Punkten
und
Aufgabe (2 Punkte)
Zeige, dass auf die folgenden Prägarben verschieden sind.
- Die Prägarbe der konstanten Funktionen mit Werten in .
- Die Garbe der lokal-konstanten Funktionen mit Werten in .
- Die Garbe der stetigen Funktionen mit Werten in .
Die ersten ebdein Prägarben sind verschieden, da beispielsweise auf der offenen Menge die erste den Wert , die zweite dagegen liefert. Diese beiden Prägarben haben auf ganz , da dieser zusammenhängend ist, den Wert , es gibt aber stetige nichtkonstante Funktionen auf , etwa die lineare Funktion .
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme, ob das Polynom irreduzibel ist. Skizziere das zugehörige reelle Nullstellengebilde.
Es ist
das Polynom ist also nicht irreduzibel.
Aufgabe (8 Punkte)
Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche, seien Punkte auf und sei der Divisor, . Es sei
vergleiche Aufgabe 20.19 (Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)). Zeige, dass der Quotientenkörper von ist.
Es genügt, die Aussage für einen einzigen Punkt zu zeigen, da die natürlichen Inklusionen
vorliegen. Nach dem Beweis zu Fakt ***** und Fakt ***** gibt es eine endliche holomorphe Abbildung
die auf und alle anderen Punkte auf abbildet. Dabei ist nach Fakt ***** eine endliche Körpererweiterung. Auf der projektiven Geraden ist
da eine rationale Funktion genau dann ein Polynom ist, wenn sie innerhalb von keinen Pol besitzt. Wegen
gehört zu . Es sei
eine endliche Beschreibung von mit einem Erzeuger und einem normierten Minimalpolynom . Es sei der Hauptnenner der Koeffizientenfunktionen . Wir multiplizieren die Gleichung
mit und erhalten eine entsprechende Gleichung für , wobei die Koeffizientenfunktionen jetzt zu gehören, sagen wir
Für jeden Punkt , , ist somit
was zeigt, dass zu gehört und nicht ist. Also ist und somit . Damit gehört zum Quotientenkörper von und daher ist .
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme für die projektive Gerade eine meromorphe Funktion, die die Hauptteilverteilung realisiert, die in den Hauptteil , in den Hauptteil und in den Hauptteil besitzt.
Für jeden Punkt sind die Hauptteile unmittelbar in einer Form, dass sie direkt durch diese rationale Funktion realisiert wird. Deshalb muss man die drei rationalen Funktionen einfach miteinander addieren, es ist also
Aufgabe (4 Punkte)
Man gebe ein Beispiel für eine nichtkompakte zusammenhängende riemannsche Fläche zusammen mit einer meromorphen Funktion mit einem Hauptdivisor der Form und einer holomorphen Differentialform derart, dass nicht zur Periodengruppe von gehört, wobei ein Verbindungsweg von nach ist.
Wir betrachten und die rationale Funktion
derer Hauptdivisor gleich ist. Wir nehmen die Differentialform und den linearen Verbindungsweg von nach , also
für . Dann ist
dagegen ist die Periodengruppe zu trivial, da die Fundamentalgruppe von trivial ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht . Zeige, dass isomorph zur Strukturgarbe ist.
Nach Fakt ***** ist eindimensional, wir wählen eine globale Differentialform . Dazu gehört ein Modulhomomorphismus
den wir als Isomorphismus nachweisen. Als nichttrivialer Homomorphismus zwischen invertierbaren Garben ist er injektiv. Nach Fakt ***** ist der Grad des kanonischen Divisors gleich , d.h. der Grad von ist . Aus Fakt ***** folgt, dass die Quotientengarbe die Nullgarbe ist und daher ist die Abbildung auch surjektiv.
Aufgabe (5 (3+2) Punkte)
Es sei ein Polynom vom Grad und sei , , die zugehörige holomorphe Abbildung von der projektiven Geraden in sich.
- Bestimme den Verzweigungsdivisor von .
- Beweise
die Formel von Riemann-Hurwitz
in diesem Fall direkt.
- Verzweigung findet in den Nullstellen der Ableitung von und eventuell im unendlich fernen Punkt statt. Es sei
die Primfaktorzerlegung der Ableitung. In findet Verzweigung genau in den Punkten statt und die Ordnung des Verzweigungsdivisors in diesen Punkten ist nach Fakt ***** (3) genau . Der unendlich ferne Punkt wird mit Vielfachheit angenommen, das ist die Verzweigungsordnung. Die Ordnung des Verzweigungsdivisors in diesem Punkt ist also . Daher ist der Verzweigungsdivisor gleich
- Der Grad von ist gleich dem Grad des Polynoms, also gleich . Die Ableitung besitzt den Grad und dies stimmt mit der Summe überein. Der Verzweigungsdivisor besitzt den Grad
- Anhang