Kurs:Riemannsche Flächen/2/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 10 5 2 4 3 3 4 2 2 8 3 4 3 5 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine riemannsche Fläche.
  2. Ein eindimensionaler komplexer Torus.
  3. Die analytische Fortsetzung eines holomorphen Funktionskeimes längs eines stetigen Weges auf einer riemannschen Fläche .
  4. Der Hauptteil zu einer meromorphen Funktion auf einer riemannschen Fläche .
  5. Die Divisorenklassengruppe einer riemannschen Fläche.
  6. Das Periodengitter einer zusammenhängenden kompakten riemannschen Fläche .


Lösung Riemannsche Flächen/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Decktransformationen und Fixpunkte.
  2. Der Satz über holomorphe Differentialformen auf einem komplexen Torus.
  3. Der Satz von Riemann-Roch.


Lösung

  1. Es sei eine Überlagerung. Dabei sei hausdorffsch, lokal wegzusammenhängend und zusammenhängend. Dann ist eine Decktransformation, die einen Fixpunkt besitzt, bereits die Identität.
  2. Auf einem komplexen Torus zu einem Gitter sind die holomorphen Differentialformen gleich mit , wobei die durch die -invariante Differentialform auf induzierte Form auf bezeichnet. Insbesondere ist der Raum der holomorphen Differentialformen auf eindimensional.
  3. Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht und sei ein Divisor auf mit der zugehörigen invertierbaren Garbe . Dann ist


Aufgabe (10 Punkte)

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.


Lösung Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Beschreibe Aspekte der linearen Algebra, die für die Theorie der riemannschen Flächen besonders relevant sind.


Lösung Riemannsche Flächen/Lineare Algebra/Aspekte/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten die holomorphe Kurve

im Punkt . Bestimme eine affin-lineare Kurve

die im Punkt tangential äquivalent zu ist.


Lösung

Es ist

und es ist

Eine tangential-äquivalente affine-lineare Kurve ist daher

mit


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass

eine kompakte riemannsche Fläche definiert.


Lösung

Wir verwenden Fakt *****, es ist also zu zeigen, dass die partiellen Ableitungen von

auf keinem Punkt von simultan verschwinden. Die partiellen Ableitungen sind

Es sei ein Punkt, in dem alle partiellen Ableitungen sind. Dann ist nach der letzten Ableitung oder . Aus folgt aus der ersten und der zweiten partiellen Ableitung sofort , was aber kein projektiver Punkt ist. Also ist

Die Bedingungen werden dann zu

und

Wir wissen bereits . Aus folgt ebenfalls aus der ersten Bedingung direkt . Also werden die Bedingungen zu

Aus

folgt dann aber wieder , was wir schon ausgeschlossen haben.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine Überlagerung von topologischen Räumen und mit hausdorffsch. Zeige, dass dann auch hausdorffsch ist.


Lösung

Es seien verschiedene Punkte. Wenn ist, so gibt es nach der Hausdorffeigenschaft von offene Mengen und mit . In diesem Fall sind und trennende offene Umgebungen der beiden Punkte. Bei sei eine offene Umgebung, über der die Überlagerung trivialisiert. Dann ist eine disjunkte Vereinigung von offenen Mengen und die beiden Punkte liegen auf verschiedenen Kopien von .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

die Quadratabbildung. Bestimme eine stetige Liftung zum linearen Weg

mit der Anfangsbedingung . Ist die Liftung eindeutig?


Lösung

Wir nehmen

wobei stets die positive reelle Quadratwurzel genommen wird. Die Abbildung ist stetig und es gilt auf beiden Abschnitten

es liegt also eine stetige Liftung vor. Die Liftung ist nicht eindeutig, im positiven Abschnitt könnte man genausso gut die negative Wurzel nehmen.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für das Polynom

den Verzweigungsort, die Verzweigungsordnungen in den Verzweigungspunkten und das Verzweigungsbild.


Lösung

Die Ableitung von ist

mit den Nullstellen

Daher ist in den beiden Punkten verzweigt, jeweils mit dem Verzweigungsindex , da diese Punkte keine Nullstelle der zweiten Ableitung

sind. Das Verzweigungsbild besteht aus den beiden Punkten

und


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass auf die folgenden Prägarben verschieden sind.

  1. Die Prägarbe der konstanten Funktionen mit Werten in .
  2. Die Garbe der lokal-konstanten Funktionen mit Werten in .
  3. Die Garbe der stetigen Funktionen mit Werten in .


Lösung

Die ersten ebdein Prägarben sind verschieden, da beispielsweise auf der offenen Menge die erste den Wert , die zweite dagegen liefert. Diese beiden Prägarben haben auf ganz , da dieser zusammenhängend ist, den Wert , es gibt aber stetige nichtkonstante Funktionen auf , etwa die lineare Funktion .


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, ob das Polynom irreduzibel ist. Skizziere das zugehörige reelle Nullstellengebilde.


Lösung

Es ist

das Polynom ist also nicht irreduzibel.


Aufgabe (8 Punkte)

Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche, seien Punkte auf und sei der Divisor, . Es sei

vergleiche Aufgabe 20.19 (Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)). Zeige, dass der Quotientenkörper von ist.


Lösung

Es genügt, die Aussage für einen einzigen Punkt zu zeigen, da die natürlichen Inklusionen

vorliegen. Nach dem Beweis zu Fakt ***** und Fakt ***** gibt es eine endliche holomorphe Abbildung

die auf und alle anderen Punkte auf abbildet. Dabei ist nach Fakt ***** eine endliche Körpererweiterung. Auf der projektiven Geraden ist

da eine rationale Funktion genau dann ein Polynom ist, wenn sie innerhalb von keinen Pol besitzt. Wegen

gehört zu . Es sei

eine endliche Beschreibung von mit einem Erzeuger und einem normierten Minimalpolynom . Es sei der Hauptnenner der Koeffizientenfunktionen . Wir multiplizieren die Gleichung

mit und erhalten eine entsprechende Gleichung für , wobei die Koeffizientenfunktionen jetzt zu gehören, sagen wir

Für jeden Punkt , , ist somit

was zeigt, dass zu gehört und nicht ist. Also ist und somit . Damit gehört zum Quotientenkörper von und daher ist .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für die projektive Gerade eine meromorphe Funktion, die die Hauptteilverteilung realisiert, die in den Hauptteil , in den Hauptteil und in den Hauptteil besitzt.


Lösung

Für jeden Punkt sind die Hauptteile unmittelbar in einer Form, dass sie direkt durch diese rationale Funktion realisiert wird. Deshalb muss man die drei rationalen Funktionen einfach miteinander addieren, es ist also


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine nichtkompakte zusammenhängende riemannsche Fläche zusammen mit einer meromorphen Funktion mit einem Hauptdivisor der Form und einer holomorphen Differentialform derart, dass nicht zur Periodengruppe von gehört, wobei ein Verbindungsweg von nach ist.


Lösung

Wir betrachten und die rationale Funktion

derer Hauptdivisor gleich ist. Wir nehmen die Differentialform und den linearen Verbindungsweg von nach , also

für . Dann ist

dagegen ist die Periodengruppe zu trivial, da die Fundamentalgruppe von trivial ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht . Zeige, dass isomorph zur Strukturgarbe ist.


Lösung

Nach Fakt ***** ist eindimensional, wir wählen eine globale Differentialform . Dazu gehört ein Modulhomomorphismus

den wir als Isomorphismus nachweisen. Als nichttrivialer Homomorphismus zwischen invertierbaren Garben ist er injektiv. Nach Fakt ***** ist der Grad des kanonischen Divisors gleich , d.h. der Grad von ist . Aus Fakt ***** folgt, dass die Quotientengarbe die Nullgarbe ist und daher ist die Abbildung auch surjektiv.


Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Es sei ein Polynom vom Grad und sei , , die zugehörige holomorphe Abbildung von der projektiven Geraden in sich.

  1. Bestimme den Verzweigungsdivisor von .
  2. Beweise die Formel von Riemann-Hurwitz

    in diesem Fall direkt.


Lösung

  1. Verzweigung findet in den Nullstellen der Ableitung von und eventuell im unendlich fernen Punkt statt. Es sei

    die Primfaktorzerlegung der Ableitung. In findet Verzweigung genau in den Punkten statt und die Ordnung des Verzweigungsdivisors in diesen Punkten ist nach Fakt *****  (3) genau . Der unendlich ferne Punkt wird mit Vielfachheit angenommen, das ist die Verzweigungsordnung. Die Ordnung des Verzweigungsdivisors in diesem Punkt ist also . Daher ist der Verzweigungsdivisor gleich

  2. Der Grad von ist gleich dem Grad des Polynoms, also gleich . Die Ableitung besitzt den Grad und dies stimmt mit der Summe überein. Der Verzweigungsdivisor besitzt den Grad





Anhang

Aufgabe 20.19 (Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022))