Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 8
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative Gruppe und
- graduierte - Algebra. Ein Ideal heißt homogen, wenn zu auch die homogenen Komponenten sind.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative Gruppe und eine - graduierte kommutative - Algebra. Es sei ein homogenes Ideal. Zeige, dass der Restklassenring ebenfalls -graduiert ist.
Aufgabe
Es sei ein (in der Standardgraduierung) homogenes Polynom vom Grad . Zeige die Beziehung
In den meisten der folgenden Aufgaben kann man statt mit einem Grundkörper mit einem beliebigen kommutativen Grundring arbeiten. Vor der nächsten Aufgabe erwähnen wir die folgende Definition.
Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und eine - graduierte - Algebra. Ein - Automorphismus
heißt homogen, wenn für jedes homogene Element gilt .
Aufgabe
Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und eine - graduierte kommutative - Algebra. Zeige, dass der in Lemma 12.15 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) zu einem Charakter eingeführte Automorphismus
homogen ist.
Aufgabe
Es sei die Menge der stetigen geraden Funktionen und die Menge der stetigen ungeraden Funktionen von nach . Zeige, dass
eine - graduierte - Algebra ist.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring mit , auf dem die Gruppe als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass man mit einer - Graduierung versehen kann derart, dass die neutrale Stufe der Invariantenring ist.
Aufgabe
Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und eine - graduierte kommutative - Algebra. Es sei
ein homogener Automorphismus. Zeige, dass es einen Charakter mit gibt, wobei der gemäß Lemma 12.15 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) zu gehörige Automorphismus ist.
Aufgabe *
Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und ein Gruppenhomomorphismus mit der zugehörigen - Graduierung auf dem Polynomring . Zeige, dass der Unterring der neutralen Stufe ein Monoidring über ist.
Aufgabe
Es sei ein Körper und
ein Gruppenhomomorphismus. Bestimme die neutrale Stufe von zur Graduierung, die durch und gegeben ist.
Aufgabe
Es sei ein Integritätsbereich und ein Element, das keine Quadratwurzel in besitze. Zeige, dass das Polynom irreduzibel ist.
Aufgabe
Aufgabe
Zeige, dass die Ringe (mit ) genau in singulär sind.
Aufgabe
Zeige, dass die Ringe (mit ) genau in singulär sind.
Aufgabe
Zeige, dass der Ring genau in singulär ist.
Aufgabe
Bestimme den singulären Ort von .
Aufgabe
Zeige explizit, dass der Ring (also die Diedersingularität zu ) isomorph zu ist.
Aufgabe
Zeige direkt, dass die Polynome
invariant zur Operation der binären Diedergruppe auf sind, und bestimme eine Relation zwischen diesen Polynomen.
Aufgabe
Zeige, dass der Ring genau in singulär ist.
Aufgabe
Zeige, dass der Ring genau in singulär ist.
Aufgabe
Zeige, dass es auf den - und den -Singularitäten und auf der und der -Singularität glatte Kurven gibt, die durch den singulären Punkt laufen.
Aufgabe
Wir erinnern an einige weitere Graduierungsbegriffe.
Ein - graduierter Ring heißt positiv graduiert, wenn für alle ist.
Ein kommutativer - graduierter Ring heißt standard-graduiert, wenn er als - Algebra von der ersten Stufe endlich erzeugt wird.
In einem - graduierten Ring nennt man das irrelevante Ideal.
Aufgabe
Zeige, dass die Ringe der ADE-Singularitäten eine positive Graduierung besitzen. Man gebe diese jeweils an.
Wir erinnern an folgende Definition.
Zu einer Gruppe heißt die von allen Kommutatoren , , erzeugte Untergruppe die Kommutatorgruppe von . Sie wird mit bezeichnet.
Die Kommutatorgruppe ist
nach Lemma 21.5 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
ein Normalteiler, die Restklassengruppe nennt man auch die Abelianisierung von .
Aufgabe
Bestimme zu den endlichen Untergruppen jeweils die Kommutatoruntergruppe und die Abelianisierung.
Aufgabe
Es sei eine Untergruppe, die zur Operation von auf dem Polynomring führt. Zeige, dass dies auch eine Operation von auf der Lokalisierung induziert, und dass isomorph zu ist, wobei bezeichnet.
Aufgabe
Es sei eine Gruppe, die auf einem kommutativen lokalen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass der Fixring ebenfalls lokal ist.
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