Lösung
- Es sei eine Menge mit einer
Verknüpfung
-
gegeben. Dann heißt ein Element neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle die Gleichheit
-
gilt.
- Das System
-
heißt ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, wobei die und die aus sind.
- Eine
-
Matrix
der Form
-
nennt man Diagonalmatrix.
- Zwei
-
Vektorräume
und
heißen isomorph, wenn es einen
Isomorphismus
von nach gibt.
- Die
lineare Abbildung
werde bezüglich einer
Basis
durch die
Matrix
beschrieben. Dann nennt man die
Spur
von .
- Es sei ein
Körper
und
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum. Eine
lineare Abbildung
heißt
trigonalisierbar,
wenn sie bezüglich einer geeigneten
Basis
durch eine
obere Dreiecksmatrix
beschrieben wird.
Lösung
- Es sei ein
Körper und . Dann besitzt der Standardraum die Dimension .
- Es sei
und sei eine
Permutation
auf . Es sei
-
als ein Produkt von
Transpositionen
geschrieben. Dann gilt für das
Signum
die Darstellung
-
- Es sei ein
Körper
und seien
Polynome
über . Es sei ein
größter gemeinsamer Teiler
der . Dann gibt es eine Darstellung
-
mit .
Lösung
Zu zwei Diagonalmatrizen
-
und Skalare ist auch
ebenfalls eine Diagonalmatrix, daher liegt ein Untervektorraum vor. Die Diagonalmatrizen
, ,
deren -ter Diagonaleintrag eine ist und die sonst überall Nulleinträge haben, bilden offenbar eine
Basis
des Raumes der Diagonalmatrizen. Daher ist die Dimension gleich .
Lösung
Mustafa Müller beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Schokolade seiner Lieblingssorte „Gaumenfreude“ zu ernähren. Eine Tafel
besitzt einen Energiewert von kJ und sein Tagesbedarf an Energie ist kJ. Wie viele Tafeln muss er am Tag
(gerundet auf zwei Nachkommastellen)
und wie viele Tafeln muss er in der Woche essen?
Lösung
Er muss pro Tag ca.
-
Tafeln essen, in der Woche also
-
Tafeln.
Lösung
Lösung
Der Produktraum besitzt die Dimension . Um dies zu beweisen sei eine
Basis von und eine Basis von . Wir behaupten, dass die Elemente
-
eine Basis von bilden.
Es sei
.
Dann gibt es Darstellungen
-
Daher ist
d.h., es liegt ein Erzeugendensystem vor.
Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei
-
angenommen. Die gleiche Rechnung rückwärts ergibt
-
und das bedeutet
-
Da es sich jeweils um Basen handelt, folgt
für alle und
für alle .
Es sei
-
a) Zeige
-
b) Bestimme die
inverse Matrix
zu .
c) Löse die Gleichung
-
Lösung
a) Es ist
-
b) Nach Teil a) ist
-
also ist invertierbar und stimmt mit seinem Inversen überein, also
-
c) Wir wenden auf die Gleichung beidseitig die Matrix
an und erhalten
Beweise den Satz über die Beziehung zwischen der adjungierten Matrix und der Determinante.
Lösung
Es sei ein
Körper
und es seien
und
Vektorräume
über , wobei
endlichdimensional
und eine
Basis
von sei. Es sei der
-
Vektorraum
der
linearen Abbildungen
von nach . Zeige, dass die Abbildung
-
ein
Isomorphismus
von -Vektorräumen ist.
Lösung
Es seien und . Dann ist
und somit liegt eine lineare Abbildung vor. Die Abbildung ist bijektiv aufgrund von
Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)),
da ein -Tupel die willkürliche Vorgabe von Werten für die Basisvektoren bedeutet.
Es sei
-
und
-
a) Beschreibe den
Untervektorraum
der
-
Matrizen,
die den Untervektorraum in den Untervektorraum abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.
b) Beschreibe durch ein eliminiertes Gleichungssystem.
c) Bestimme die Dimension von .
Lösung
a) Wir beschreiben zuerst als Kern einer Linearform. Das lineare Gleichungssystem
-
-
führt auf
()
-
Daher ist eine Lösung und ist der Kern der durch gegebenen Linearform auf . Die Bedingung, dass eine -Matrix den Untervektorraum nach abbildet, bedeutet also, dass
-
für
ist, was auf der gegebenen Basis von überprüft werden kann. Wenn man
-
ansetzt, so müssen die beiden Bedingungen
-
und
-
erfüllt sein. Die erste Bedingung bedeutet
und die zweite Bedingung bedeutet
b) Wir eliminieren, indem wir, bezogen auf die beiden zuletzt formulierten Bedingungen, die Linearkombination 2I-3II berechnen. Dies ergibt
-
ein beschreibendes eliminiertes lineares Gleichungssystem ist also durch
-
und
-
gegeben.
c) Da die beiden Gleichungen linear unabhängig sind, besitzt der Lösungsraum die Dimension .
Skizziere ein Pfeildiagramm, das die nebenstehende Permutation überschneidungsfrei darstellt.
Lösung Permutation/Überschneidungsfrei/1/Aufgabe/Lösung
Lösung
Das Produkt gehört zu den beiden Hauptidealen
und ,
also auch zum Durchschnitt . Da der Durchschnitt von Idealen wieder ein Ideal ist, gehören auch alle Vielfachen von zu diesem Ideal.
Es sei umgekehrt . Dann ist
-
mit gewissen Polynomen . Daher ist
-
In folgt daraus
-
Daraus ergibt sich nach
Lemma 19.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)),
dass
-
ist. Also ist insgesamt
-
also .
Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .
Lösung
Zeige, dass die Matrix
-
über
diagonalisierbar
ist und bestimme eine Basis aus Eigenvektoren.
Lösung
Das
charakteristische Polynom
zu
-
ist
-
Es zerfällt also in Linearfaktoren mit verschiedenen Nullstellen und daher ist die Matrix diagonalisierbar. Die Eigenwerte sind . Es ist
-
ein Eigenvektor zum Eigenwert ist . Ferner ist
-
ein Eigenvektor zum Eigenwert ist . Schließlich ist
-
ein Eigenvektor zum Eigenwert ist . Eine Basis aus Eigenvektoren ist also
-
Lösung
Beweise den Satz über baryzentrische Koordinaten.
Lösung