Definiere die folgenden
(kursiv gedruckten) Begriffe.
- Ein inverses Element zu einem Element
bezüglich einer
Verknüpfung
-
mit einem
neutralen Element
.
- Äquivalente (inhomogene)
lineare Gleichungssysteme
zur gleichen Variablenmenge über einem
Körper
.
- Die transponierte Matrix zu einer
-Matrix
.
- Der
-te
Standardvektor
im
.
- Das Bidual zu einem
-Vektorraum
.
- Der
Fixraum
zu einem
Endomorphismus
-
auf einem
-Vektorraum
.
Lösung
Formuliere die folgenden Sätze.
- Das
Superpositionsprinzip
für ein inhomogenes
(und das zugehörige homogene)
Gleichungssystem über einem Körper
.
- Der
Satz über die Interpolation durch Polynome.
- Der Festlegungssatz für affine Abbildungen.
Lösung
- Es sei
ein Körper und
-
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über
und es sei
-
das zugehörige homogene Gleichungssystem. Wenn
eine Lösung des inhomogenen Systems und
eine Lösung des homogenen Systems ist, so ist
eine Lösung des inhomogenen Systems.
- Es sei
ein Körper und es seien
verschiedene Elemente
und
Elemente
gegeben. Dann gibt es ein Polynom
vom Grad
derart, dass
für alle
ist.
- Es sei
ein
Körper
und seien
und
affine Räume
über den
Vektorräumen
bzw.
.
Es sei
,
,
eine
affine Basis
von
und
,
,
eine Familie von Punkten in
. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte
affin-lineare Abbildung
-
mit
-

für alle
.
Wir betrachten den Satz „Lucy Sonnenschein tanzt auf allen Hochzeiten“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.
Lösung
Es gibt eine Hochzeit, auf der Lucy Sonnenschein nicht tanzt.
Lösung
Lösung
Es sei
-

eine
invertierbare Matrix.
Zeige durch zwei
Matrizenmultiplikationen,
dass
-

ist.
Lösung
Es ist

In der Diagonalen steht immer der gleiche Eintrag, nämlich
-

Mit dem Vorfaktor
ergibt sich also bei Multiplikation die Einheitsmatrix.
Aufgabe (5 (1+1+1+1+1) Punkte)
Es sei
eine
Basis
eines dreidimensionalen
-Vektorraumes
.
a) Zeige, dass
ebenfalls eine Basis von
ist.
b) Bestimme die
Übergangsmatrix
.
c) Bestimme die Übergangsmatrix
.
d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis
für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis
die Koordinaten
besitzt.
e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis
für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis
die Koordinaten
besitzt.
Lösung
a) Es ist
-

und
-

Daher ist
ebenfalls ein Erzeugendensystem von
und somit eine Basis, da die Dimension
ist.
b) In den Spalten von
müssen die Koordinaten der Vektoren
bezüglich der Basis
stehen, also ist
-

c) Nach a) ist
-

d) Die Koordinaten ergeben sich aus
-

e) Die Koordinaten ergeben sich aus
-

Lösung
Lösung
Wir fassen die Matrix als
lineare Abbildung
-
Nach
Lemma 12.14
ist der
Rang
dieser Abbildung gleich
, d.h. das Bild
besitzt die Dimension
. Es gibt also eine Faktorisierung
-
wobei die erste Abbildung die durch
gegebene Abbildung mit dem Bild
ist und die zweite Abbildung die Inklusion
. Mit einer Basis
von
und den Standardbasen links und rechts werden diese beiden linearen Abbildungen durch eine
-Matrix
und eine
-Matrix
beschrieben. Somit gilt
-

Da die durch
beschriebene lineare Abbildung surjektiv auf
abbildet, ist ihr Rang gleich
. Da das Bild der durch
beschriebenen linearen Abbildung wegen der Injektivität ebenfalls die Dimension
besitzt, ist ihr Rang auch
.
Es sei
ein
Körper
und es seien
und
zwei
-Vektorräume.
Zeige, dass die Abbildung
-
die einer linearen Abbildung ihre
duale Abbildung
zuordnet, linear ist.
Lösung
Beweise die Leibniz-Formel für die Determinante.
Lösung
Wir führen Induktion über
, wobei der Induktionsanfang klar ist. Sei also
. Die Menge der Permutationen
kann man aufspalten, indem man nach
sortiert und die bijektive Abbildung
-
als eine Permutation
auf
auffasst, indem man beide Mengen ordnungstreu mit
identifiziert. Dies ergibt eine Bijektion
,
wobei hier
die Menge der Permutationen auf
bezeichnet, die
auf
abbilden. Zwischen den Signa besteht dabei die Beziehung
-

da man
Transpositionen braucht, um die
-te Stelle und die erste Stelle zu vertauschen. Es besteht also insgesamt eine natürliche Bijektion
-

Somit gilt

wobei
die Streichungsmatrix zur ersten Zeile und
-ten Spalte ist
(und sich die Indizierung auf diese Matrix bezieht).
Für die vorletzte Gleichung geht die Induktionsvoraussetzung ein und die letzte Gleichung beruht auf
der Entwicklung nach der ersten Zeile.
Lösung
Es ist
-

Lösung
Lösung
Die Matrix hat die Form
-

Das
charakteristische Polynom
hat daher die Form
-

Wir schreiben dies als
-

Da
-

nichtnegativ ist, kann man daraus im Reellen die Quadratwurzel ziehen und das charakteristische Polynom besitzt Nullstellen, die Eigenwerte der Matrix sind.
Lösung
Es sei
-

Wir nehmen an, dass es unendlich viele Eigenwerte gibt. Dann gibt es insbesondere
Eigenwerte
-
und zugehörige Eigenvektoren
-
Nach
Lemma 22.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
sind diese
linear unabhängig,
das widerspricht aber
dem Basisaustauschsatz.
Aufgabe (9 (2+3+4) Punkte)
Wir betrachten die reelle Matrix
-

a) Bestimme
-
für
.
b) Sei
-

Erstelle eine Beziehung zwischen den Folgen
und
und Rekursionsformeln für diese Folgen.
c) Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren zu
.
Lösung
Es ist
-

-

-

-

b) Wir behaupten
-

und die rekursive Beziehung
-

mit den Anfangsbedingungen
und
.
Beides beweisen wir durch Induktion über
, wobei der Induktionsanfang klar ist. Wegen
-

ist
-

und
-

c) Das
charakteristische Polynom
zu
ist
-

Somit sind
-

die Nullstellen und nach
Satz 23.2 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
die Eigenwerte von
. Der Kern zu
-

wird von
-
und der Kern zu
-

wird von
-
erzeugt. Die Eigenvektoren sind also
-
und
-
Bestimme, ob im
der Ausdruck
-
eine
baryzentrische Kombination
ist.
Lösung
Wegen
-

liegt eine baryzentrische Kombination vor.