Lösung
- Eine
Verknüpfung
-
heißt kommutativ, wenn für alle
die Gleichheit
-

gilt.
- Unter der Dimension eines Vektorraums
versteht man die Anzahl der Elemente in einer Basis von
.
- Unter der beschreibenden Matrix zu
bezüglich der Basen versteht man die
-
Matrix
-

wobei
die
-te
Koordinate
von
bezüglich der Basis
ist.
- Man nennt die Menge
-

der bijektiven Selbstabbildungen die Permutationsgruppe zu
.
- Ein Element
heißt ein Eigenwert zu
, wenn es einen von
verschiedenen Vektor
mit
-

gibt.
- Eine
Abbildung
-
heißt
affin-linear,
wenn es eine
lineare Abbildung
-
mit
-

für alle
und
gilt.
Lösung
- Es sei
ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum der
Dimension
. Es seien
und
Basen
von
. Dann stehen die
Übergangsmatrizen
zueinander in der Beziehung
-

- Es sei
ein
Körper
und seien
und
Vektorräume
über
, wobei
endlichdimensional
sei. Es sei
-
eine lineare Abbildung. Dann gibt es Vektoren
und
Linearformen
auf
mit
-

- Es sei
. Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung
-

Zu
sei
-
![{\displaystyle {}[n]=\{0,1,2,\ldots ,n\}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a832b5b0d45fa6896df016e4b4a047b6e45bd59)
Zu jedem
und jedem
seien die Abbildungen
-
durch
-

und die Abbildungen
-
durch
-

definiert.
a) Erstelle eine Wertetabelle für
-
b) Erstelle eine Wertetabelle für
-
c) Beschreibe die durch die Wertetabelle
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gegebene Abbildung
-
als eine Hintereinanderschaltung von geeigneten
und
.
Lösung
a)
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b)
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c) Wir behaupten
-

Die Komposition hat für die Elemente
jeweils den folgenden Effekt:
-
-
-
-
-
-
Das Gesamtergebnis stimmt also mit
überein.
Lösung
- Das Inverse von
ist
.
- Das Inverse von
ist
.
- Das Inverse von
ist
.
- Das Inverse von
ist
.
Lösung
Es sei
eine Basis von
und
eine Basis von
. Wir betrachten die Familie der Vektoren
-
Wegen
kann diese Familie nicht linear unabhängig sein, da es sonst einen
-dimensionalen Untervektorraum von
geben würde. Also gibt es Koeffizienten
, die nicht alle
sind, mit
-

Dieser Vektor gehört zu
. Er ist nicht
, da andernfalls beidseitig alle Koeffizienten
sein müssten.
Frau Maier-Sengupta ist für ein halbes Jahr in Elternzeit. Ihr Sohn Siddhartha kam mit einem Gewicht von drei Kilogramm auf die Welt und wurde in den sechs Monaten ausschließlich von Muttermilch ernährt. Nach den sechs Monaten wiegt er zehn Kilogramm. Jeden Tag hat das Kind
Milliliter Milch getrunken. Wie viel Milch hat Siddhartha in den sechs Monaten getrunken und wie viel Prozent davon
ging in die Gewichtszunahme?
(Rechne mit Monat =
Tage und setze das Milchgewicht gleich dem Gewicht von Wasser an).
Lösung
Milliliter sind
Liter. Siddhartha hat somit in den sechs Monaten
-

Liter Milch getrunken.
Dabei hat er
Kilogramm zugenommen. Der Anteil der Gewichtszunahme an der Gesamttrinkmenge beträgt also
-

In Prozent ist der Anteil ca.
Prozent.
Es sei
ein
Körper
und es seien
und
Vektorräume
über
. Es sei
ein
Erzeugendensystem
von
und es sei
eine Familie von Vektoren in
.
a) Zeige, dass es maximal eine
lineare Abbildung
-
mit
für alle
geben kann.
b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Situation an, wo es keine lineare Abbildung mit
für alle
gibt.
Lösung
Lösung
a) Es sei
eine
Basis
von
, die wir zu einer Basis
von
ergänzen. Es sei
die
Dualbasis
dazu, wobei die
Linearformen sind. Wir behaupten
-

Wegen
-

für
ist
-

für
.
Für einen Vektor
-

mit
ist ein
-

für
.
Doch dann ist auch
-

und
gehört nicht zum Durchschnitt der Kerne.
b) Die Linearformen
aus Teil a) kann man zusammen als eine lineare Abbildung
-
schreiben. Dabei ist
-

c)
Es sei nun
und es sei
-
eine lineare Abbildung, deren Kern gleich
ist. Bezüglich der Standardbasen wird
durch eine Matrix
beschrieben. Dann ist
genau dann, wenn
ist, und dies bedeutet gerade, dass
eine Lösung des durch die Zeilen gegebenen linearen Gleichungssystems ist.
Es sei
und sei
eine
Permutation
auf
. Die zugehörige Permutationsmatrix
ist dadurch gegeben, dass
-

ist und alle anderen Einträge
sind.
a) Bestimme die Permutationsmatrix zur Permutation
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b) Zeige, dass die Abbildung
-
ein
Gruppenhomomorphismus
ist.
c) Zeige, dass
-

ist.
Lösung
a) Es ist
-

b) Nach Konstruktion ist
-

da dies die
-te Spalte der Matrix ist. Die Gleichheit
-

lässt sich auf einer Basis überprüfen. Dies stimmt wegen
-

c) Mit der Leibniz-Formel ist
-

Das Produkt ist nur in dem einen Fall
-

nicht
, da sonst immer mindestens ein Faktor gleich
ist. Also ist
-

Lösung

Es sei
-

eine
obere Dreiecksmatrix.
Zeige direkt
(ohne charakteristisches Polynom),
dass ein
Eigenwert
zu
ein Diagonaleintrag von
sein muss.
Lösung
Es sei
ein
Eigenvektor
von
zum
Eigenwert
. Da eine obere Dreiecksmatrix vorliegt, bedeutet dies
-

-

-
-

-

Es sei
der größte Index mit
, was es gibt, da ein Eigenvektor nicht der Nullvektor ist. Dann vereinfacht sich die
-te Gleichung
-

zu
-

und wegen
-

folgt
-

d.h. dass der Eigenwert
ein Diagonalelement ist.
Lösung
Es seien zunächst die Komponentenabbildungen
trigonalisierbar. Es sei
-

und seien
-
Basen von
, bezüglich denen die beschreibenden Matrizen
zu
obere Dreiecksgestalt haben. In der beschreibenden Matrix zur Produktabbildung
bezüglich der durch alle Vektoren
gebildeten Gesamtbasis des Produktraumes stehen die
als Blöcke in der Diagonalen, alle anderen Einträge sind
.
Daher ist die Gesamtabbildung auch trigonalisierbar.
Es sei nun die Gesamtabbildung trigonalisierbar. Durch eine einfache Induktion können wir annehmen, dass
ist, sei also zur Notationsvereinfachung
und
gegeben und sei
-
trigonalisierbar. Wir müssen zeigen, dass auch
trigonalisierbar ist. Nach Voraussetzung gibt es eine Basis
,
,
bezüglich der die Matrix zur Gesamtabbildung obere Dreiecksgestalt besitzt. Es seien
-

so gewählt
(mit
),
dass
-
eine Basis von
bilden und dass
genau für
-

gilt. Die
sind also diejenigen Stellen, wo in der Kette der Vektorräume
-

die Räume größer werden. Eine solche Basis muss es geben, da die
,
ganz
erzeugen. Dabei gilt aufgrund der oberen Dreiecksgestalt der Produktabbildung bezüglich der gegebenen Basis
-

und damit insbesondere
-

Da die dabei auftretenden
Linearkombinationen der
sind, gilt
-

was die Trigonalisierbarkeit von
bedeutet.
Lösung
Bestimme, ob die Matrix
-
nilpotent
ist.
Lösung
Wegen
-

ist
ein Eigenwert der Matrix, sie kann also nicht nilpotent sein.
Es seien
und
affine Basen
eines
affinen Raumes
. Die Darstellung mit
baryzentrischen Koordinaten
von
bezüglich der
sei
-

Berechne aus der baryzentrischen Darstellung eines Punktes
-

bezüglich der
die baryzentrische Darstellung von
bezüglich der
.
Lösung