Kurs:Lineare Algebra/Teil I/14/Klausur mit Lösungen/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	1	4	2	6	5	2	5	4	8	2	3	3	3	9	1	64

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

Zu ${}x\in M$ heißt ${}y\in M$ inverses Element, wenn die Gleichheit
${}x\circ y=e=y\circ x\,$

gilt.
Zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
Man nennt die Matrix
${M^{\text{tr}}}=(b_{ij})_{ij}{\text{ mit }}b_{ij}:=a_{ji}$

die transponierte Matrix zu ${}M$ .
Der Vektor
${}e_{i}:={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\,,$

wobei die ${}1$ an der ${}i$ -ten Stelle steht, heißt ${}i$ -ter Standardvektor.
Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Dann nennt man den Dualraum des Dualraums ${}{V}^{*}$ , also
${({V}^{*})}^{*}$

das Bidual von ${}V$ .
Unter dem Fixraum zu ${}\varphi$ versteht man den Eigenraum zum Eigenwert ${}1$ .

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

Es sei ${}K$ ein Körper und
${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$ und es sei

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$
das zugehörige homogene Gleichungssystem. Wenn ${}{\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)}$ eine Lösung des inhomogenen Systems und ${}{\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}$ eine Lösung des homogenen Systems ist, so ist ${}{\left(y_{1}+z_{1},\ldots ,y_{n}+z_{n}\right)}$ eine Lösung des inhomogenen Systems.
Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Dann gibt es ein Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart, dass ${}P(a_{i})=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.
Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}E$ und ${}F$ affine Räume über den Vektorräumen ${}V$ bzw. ${}W$ . Es sei ${}P_{i}$ , ${}i\in I$ , eine affine Basis von ${}E$ und ${}Q_{i}$ , ${}i\in I$ , eine Familie von Punkten in ${}F$ . Dann gibt es eine eindeutig bestimmte affin-lineare Abbildung
$\psi \colon E\longrightarrow F$

mit

${}\psi (P_{i})=Q_{i}\,$
für alle ${}i\in I$ .

Aufgabe (1 Punkt)

Wir betrachten den Satz „Lucy Sonnenschein tanzt auf allen Hochzeiten“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.

Lösung

Es gibt eine Hochzeit, auf der Lucy Sonnenschein nicht tanzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen und sei ${}V$ ein ${}n$ - dimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei ${}v_{1},v_{2},v_{3},\ldots$ eine Aufzählung (ohne Wiederholung) der Elemente aus ${}V$ . Nach wie vielen Elementen kann man sich sicher sein, dass diese ein Erzeugendensystem von ${}V$ sind?

Lösung

Wegen der Isomorphie

{}V\cong K^{n}\,

besitzt ${}V$ genau ${}q^{n}$ Elemente. Der „schlechteste“ Fall ist, dass die Elemente ${}v_{1},v_{2},\ldots$ zuerst alle Elemente eines ${}n-1$ -dimensionalen Untervektorraumes durchlaufen. Ein solcher hat ${}q^{n-1}$ Elemente. Da es in der Tat möglich ist, dass die ersten ${}q^{n-1}$ Elemente in einem echten Untervektorraum liegen, muss man einen Schritt weiter gehen. Die ersten ${}q^{n-1}+1$ -te Elemente können allerdings nicht mehr in einem niedrigerdimensionalen Untervektorraum liegen, sondern erzeugen den vollen Raum.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}B$ eine ${}n\times p$ - Matrix und ${}A$ eine ${}m\times n$ -Matrix und es seien

K^{p}{\stackrel {B}{\longrightarrow }}K^{n}{\stackrel {A}{\longrightarrow }}K^{m}

die zugehörigen linearen Abbildungen. Zeige, dass das Matrixprodukt ${}A\circ B$ die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.

Lösung

Die Gleichheit von linearen Abbildungen kann man auf der Standardbasis ${}e_{1},\ldots ,e_{p}$ des ${}K^{p}$ nachweisen. Es ist

{}{\begin{aligned}{\left(A\circ B\right)}{\left(e_{k}\right)}&=A(B(e_{k}))\\&=A{\left(\sum _{j=1}^{n}b_{jk}e_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}b_{jk}{\left(\sum _{i=1}^{m}a_{ij}e_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{m}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\right)}e_{i}\\&=\sum _{i=1}^{m}c_{ik}e_{i}.\end{aligned}}

Dabei sind die Koeffizienten

{}c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,

gerade die Einträge in der Produktmatrix ${}A\circ B$ .

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei

{}M={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}\,

eine invertierbare Matrix. Zeige durch zwei Matrizenmultiplikationen, dass

{}M^{-1}={\frac {1}{\det M}}{\begin{pmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\end{pmatrix}}\,

ist.

Lösung

Es ist

{}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}a(ei-fh)+b(fg-di)+c(dh-eg)&a(ch-bi)+b(ai-cg)+c(bg-ah)&a(bf-ce)+b(cd-af)+c(ae-bd)\\d(ei-fh)+e(fg-di)+f(dh-eg)&d(ch-bi)+e(ai-cg)+f(bg-ah)&d(bf-ce)+e(cd-af)+f(ae-bd)\\g(ei-fh)+h(fg-di)+i(dh-eg)&g(ch-bi)+h(ai-cg)+i(bg-ah)&g(bf-ce)+h(cd-af)+i(ae-bd)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}aei-afh+bfg-bdi+cdh-ceg&ach-abi+bai-bcg+cbg-cah&abf-ace+bcd-baf+cae-cbd\\dei-dfh+efg-edi+fdh-feg&dch-dbi+eai-ecg+fbg-fah&dbf-dce+ecd-eaf+fae-fbd\\gei-gfh+hfg-hdi+idh-ieg&gch-gbi+hai-hcg+ibg-iah&gbf-gce+hcd-haf+iae-ibd\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}aei-afh+bfg-bdi+cdh-ceg&0&0\\0&dch-dbi+eai-ecg+fbg-fah&0\\0&0&gbf-gce+hcd-haf+iae-ibd\end{pmatrix}}.\,\end{aligned}}

In der Diagonalen steht immer der gleiche Eintrag, nämlich

{}aei-afh+bfg-bdi+cdh-ceg=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)=\det M\,.

Mit dem Vorfaktor ${}{\frac {1}{\det M}}$ ergibt sich also bei Multiplikation die Einheitsmatrix.

Aufgabe (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Es sei ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},v_{2},v_{3}$ eine Basis eines dreidimensionalen ${}K$ - Vektorraumes ${}V$ .

a) Zeige, dass ${}{\mathfrak {w}}=v_{1},v_{1}+v_{2},v_{2}+v_{3}$ ebenfalls eine Basis von ${}V$ ist.

b) Bestimme die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}$ .

c) Bestimme die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}$ .

d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ die Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}4\\8\\-9\end{pmatrix}}$ besitzt.

e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}3\\-7\\5\end{pmatrix}}$ besitzt.

Lösung

a) Es ist

{}v_{2}=w_{2}-w_{1}\,

und

{}v_{3}=w_{3}-w_{2}+w_{1}\,.

Daher ist ${}w_{1},w_{2},w_{3}$ ebenfalls ein Erzeugendensystem von ${}V$ und somit eine Basis, da die Dimension ${}3$ ist.

b) In den Spalten von ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}$ müssen die Koordinaten der Vektoren ${}w_{j}$ bezüglich der Basis ${}v_{i}$ stehen, also ist

{}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}\,.

c) Nach a) ist

{}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}}\,.

d) Die Koordinaten ergeben sich aus

{}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}{\begin{pmatrix}4\\8\\-9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4\\8\\-9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}12\\-1\\-9\end{pmatrix}}\,.

e) Die Koordinaten ergeben sich aus

{}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}{\begin{pmatrix}3\\-7\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\-7\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}15\\-12\\5\end{pmatrix}}\,.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}V$ ein ${}100$ - dimensionaler ${}K$ - Vektorraum und seien ${}U,W\subseteq V$ zwei verschiedene ${}99$ -dimensionale Untervektorräume von ${}V$ . Welche Dimension hat ${}U+W$ und welche Dimension hat ${}U\cap W$ ?

Lösung

Da die beiden Räume verschieden sind, ist in

{}U\subseteq U+W\subseteq V\,

die erste Inklusion echt und daher muss ${}U+V$ schon der Gesamtraum sein, also von der Dimension ${}100$ . Nach Satz 9.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist somit

{}\dim _{K}{\left(U\cap V\right)}=\dim _{K}{\left(U\right)}+\dim _{K}{\left(W\right)}-\dim _{K}{\left(U+V\right)}=99+99-100=98\,.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}m\times n$ - Matrix über dem Körper ${}K$ mit dem Rang ${}r$ . Zeige, dass es eine ${}r\times n$ -Matrix ${}A$ und eine ${}m\times r$ -Matrix ${}B$ , beide mit dem Rang ${}r$ , mit ${}M=B\circ A$ gibt.

Lösung

Wir fassen die Matrix als lineare Abbildung

K^{n}\longrightarrow K^{m}.

Nach Lemma 12.14 ist der Rang dieser Abbildung gleich ${}r$ , d.h. das Bild ${}V\subseteq K^{m}$ besitzt die Dimension ${}r$ . Es gibt also eine Faktorisierung

K^{n}\longrightarrow V\longrightarrow K^{m},

wobei die erste Abbildung die durch ${}M$ gegebene Abbildung mit dem Bild ${}V$ ist und die zweite Abbildung die Inklusion ${}V\subseteq K^{m}$ . Mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{r}$ von ${}V$ und den Standardbasen links und rechts werden diese beiden linearen Abbildungen durch eine ${}r\times n$ -Matrix ${}A$ und eine ${}m\times r$ -Matrix ${}B$ beschrieben. Somit gilt

{}M=B\circ A\,.

Da die durch ${}A$ beschriebene lineare Abbildung surjektiv auf ${}V$ abbildet, ist ihr Rang gleich ${}r$ . Da das Bild der durch ${}B$ beschriebenen linearen Abbildung wegen der Injektivität ebenfalls die Dimension ${}r$ besitzt, ist ihr Rang auch ${}r$ .

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ zwei ${}K$ - Vektorräume. Zeige, dass die Abbildung

\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left({W}^{*},{V}^{*}\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi ^{*},

die einer linearen Abbildung ihre duale Abbildung zuordnet, linear ist.

Lösung

Es seien ${}\varphi ,\psi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ . Wir müssen

{}(\varphi +\psi )^{*}=\varphi ^{*}+\psi ^{*}\,

in ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left({W}^{*},{V}^{*}\right)}$ zeigen. Es sei dazu ${}f\in {W}^{*}$ . Dann ist wegen der Distributivität von linearen Abbildungen

{}{\begin{aligned}(\varphi +\psi )^{*}(f)&=f\circ (\varphi +\psi )\\&=f\circ \varphi +f\circ \psi \\&=\varphi ^{*}(f)+\psi ^{*}(f)\\&=(\varphi ^{*}+\psi ^{*})(f).\end{aligned}}

Für einen Skalar ${}s\in K$ ist ferner

{}(s\varphi )^{*}(f)=f\circ (s\varphi )=s(f\circ \varphi )=s((\varphi )^{*}(f))\,.

Aufgabe (8 Punkte)

Beweise die Leibniz-Formel für die Determinante.

Lösung

Wir führen Induktion über ${}n\geq 1$ , wobei der Induktionsanfang klar ist. Es sei also ${}n\geq 2$ . Die Menge der Permutationen ${}\pi \in S_{n}$ kann man aufspalten, indem man nach ${}\pi (1)$ sortiert und die bijektive Abbildung

\pi {|}_{\{2,\ldots ,n\}}\colon \{2,\ldots ,n\}\longrightarrow \{1,\ldots ,n\}\setminus \{i\}

als eine Permutation ${}\rho$ auf ${}\{1,\ldots ,n-1\}$ auffasst, indem man beide Mengen ordnungstreu mit ${}\{1,\ldots ,n-1\}$ identifiziert. Dies ergibt eine Bijektion ${}S_{n,i}\cong S_{n-1}$ , wobei hier ${}S_{n,i}$ die Menge der Permutationen auf ${}{\{1,\ldots ,n\}}$ bezeichnet, die ${}1$ auf ${}i$ abbilden. Zwischen den Signa besteht dabei die Beziehung

{}\operatorname {sgn} (\pi )=(-1)^{i-1}\operatorname {sgn} (\rho )=(-1)^{i+1}\operatorname {sgn} (\rho )\,,

da man ${}i-1$ Transpositionen braucht, um die ${}i$ -te Stelle und die erste Stelle zu vertauschen. Es besteht also insgesamt eine natürliche Bijektion

{}S_{n}=\biguplus _{i\in \{1,\ldots ,n\}}S_{n,i}=\biguplus _{i\in \{1,\ldots ,n\}}S_{n-1}\,.

Somit gilt

{}{\begin{aligned}\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{\pi \in S_{n,i}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{j=1}^{n}a_{j\pi (j)}\\&=\sum _{i=1}^{n}a_{1i}\sum _{\pi \in S_{n,i}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{j=2}^{n}a_{j\pi (j)}\\&=\sum _{i=1}^{n}a_{1i}\sum _{\rho \in S_{n-1}}(-1)^{i+1}\operatorname {sgn} (\rho )\prod _{k=1}^{n-1}(M_{1i})_{k\rho (k)}\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{1i}\det M_{1i}\\&=\det M,\end{aligned}}

wobei ${}M_{1i}$ die Streichungsmatrix zur ersten Zeile und ${}i$ -ten Spalte ist (und sich die Indizierung auf diese Matrix bezieht). Für die vorletzte Gleichung geht die Induktionsvoraussetzung ein und die letzte Gleichung beruht auf der Entwicklung nach der ersten Zeile.

Aufgabe (2 Punkte)

Führe in ${}\mathbb {Z} /(5)[X]$ die Division mit Rest „ ${}P$ durch ${}T$ “ für die beiden Polynome ${}P=X^{3}+4X^{2}+3X+4$ und ${}T=3X^{2}+2X+1$ durch.

Lösung

Es ist

{}X^{3}+4X^{2}+3X+4={\left(3X^{2}+2X+1\right)}2X+X+4\,.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V\neq 0$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine Projektion. Zeige, dass es für das Minimalpolynom zu ${}\varphi$ drei Möglichkeiten gibt, nämlich ${}X,X-1$ und ${}X(X-1)$ .

Lösung

Nach Definition ist ${}\varphi ^{2}=\varphi$ , d.h. das Polynom ${}X^{2}-X=X(X-1)$ ist jedenfalls ein Vielfaches des Minimalpolynoms. Als Teiler von diesem Polynom kommen nur ${}1,X,X-1$ und ${}X(X-1)$ in Frage. Wegen ${}V\neq 0$ scheidet ${}1$ aus. Die verbleibenden Fälle treten in der Tat auf, wie die Nullabbildung, die Identität und die Matrix ${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$ zeigen.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine reell-symmetrische ${}2\times 2$ - Matrix. Zeige, dass ${}M$ einen Eigenwert besitzt.

Lösung

Die Matrix hat die Form

{}M={\begin{pmatrix}a&b\\b&d\end{pmatrix}}\,.

Das charakteristische Polynom hat daher die Form

{}\chi _{M}=\det {\left(xE_{2}-{\begin{pmatrix}a&b\\b&d\end{pmatrix}}\right)}=(x-a)(x-d)-b^{2}=x^{2}-(a+d)x+ad-b^{2}\,.

Wir schreiben dies als

{}{\left(x-{\frac {a+d}{2}}\right)}^{2}-{\left({\frac {a+d}{2}}\right)}^{2}+ad-b^{2}={\left(x-{\frac {a+d}{2}}\right)}^{2}-{\frac {a^{2}}{4}}-{\frac {d^{2}}{4}}+{\frac {1}{2}}ad-b^{2}\,.

Da

{}{\frac {a^{2}}{4}}+{\frac {d^{2}}{4}}-{\frac {1}{2}}ad+b^{2}={\left({\frac {a-d}{2}}\right)}^{2}+b^{2}\,

nichtnegativ ist, kann man daraus im Reellen die Quadratwurzel ziehen und das charakteristische Polynom besitzt Nullstellen, die Eigenwerte der Matrix sind.