Lösung
- Die offene Kugel zum Mittelpunkt und Radius ist durch
-
definiert.
- Das Element heißt Grenzwert von in , wenn es für jedes ein gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes ist .
- Es sei eine
offene Teilmenge
in einem
endlichdimensionalen
reellen Vektorraum
, ein
Intervall
und es sei
-
eine Funktion. Dann heißt das
Vektorfeld
-
ein
Zentralfeld.
- Es seien die Richtungsableitungen in Richtung des -ten Einheitsvektors. Zu heißt die
Matrix
-
die Hesse-Matrix zu im Punkt .
- Unter dem Tangentiaraum in an die Faser versteht man
-
- Man sagt, dass das Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es zu jedem Punkt eine offene Umgebung
-
derart gibt, dass das auf eingeschränkte Vektorfeld einer
Lipschitz-Bedingung
genügt.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über zusammenhängende Teilmengen unter einer stetigen Abbildung.
- Der Satz über eine Differentialgleichung höherer Ordnung und das zugehörige System erster Ordnung.
- Der Satz über die Differentialgleichung zu einem Gradientenfeld.
Lösung
- Seien
und
metrische Räume
und sei
-
eine
stetige Abbildung.
Es sei eine
zusammenhängende
Teilmenge.
Dann ist auch das
Bild
-
zusammenhängend.
- Es sei ein
Intervall,
eine
offene Menge
und
-
eine
Funktion.
Dann ist die
Differentialgleichung höherer Ordnung
-
über die Beziehung
äquivalent zum
Differentialgleichungssystem
-
- Es sei ein
euklidischer Vektorraum,
offen,
-
eine
differenzierbare Funktion
und
-
das zugehörige
Gradientenfeld.
Es sei
-
eine
Lösung der Differentialgleichung
-
Dann steht
senkrecht
auf dem
Tangentialraum
der
Faser
von durch für alle , für die
reguläre Punkte
von sind.
Es seien
und
zwei Punkte im . Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in
a) der euklidischen Metrik,
b) der Summenmetrik,
c) der Maximumsmetrik.
d) Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.
Lösung
Die Abstände der einzelnen Koordinaten sind
-
und
-
a) Der euklidische Abstand ist somit
-
b) In der Summenmetrik ist der Abstand
-
c) Es ist
-
daher ist der Abstand in der Maximumsmetrik gleich .
d) Wir behaupten, dass der Maximumsabstand kleiner dem euklidischen Abstand und dass dieser kleiner dem Summenabstand ist. Um dies zu sehen bringt man die drei Zahlen auf den Hauptnenner
und muss dann für die Zähler
-
zeigen. Wegen und ist das klar.
Beweise den Satz über die Charakterisierung von stetigen Abbildungen mit offenen Mengen.
Lösung
Lösung
a) Es seien verschieden. Es gibt eine Gerade , auf der diese beiden Punkte liegen. Da injektiv ist, ist
-
und somit ist injektiv.
b) Wir betrachten und und die Funktion
-
Die Geraden durch den Nullpunkt sind durch
-
und durch die durch gegebene Gerade
(also die -Achse)
gegeben. Auf den Geraden vom ersten Typ ist die Projektion auf die -Achse und damit bijektiv und auf der -Achse ist die Funktion die Identität. Die Einschränkung von auf jede Gerade durch den Nullpunkt ist also insbesondere injektiv. Dagegen ist beispielsweise
-
und die Gesamtabbildung ist nicht injektiv.
Man gebe ein Beispiel einer
bijektiven Abbildung
-
die nicht
rektifizierbar
ist.
Lösung
Wir betrachten die Funktion
-
die offenbar bijektiv ist. Um zu zeigen, dass nicht rektifizierbar ist, wählen wir zu irrationale Zahlen
, ,
mit
-
All diese Zahlen nehmen wir als Intervallunterteilung. Für ist die Summe der Länge der Abstände der Bildpunkte mindestens
-
da ja in diesem Bereich
-
gilt. Da beliebig groß gewählt werden kann, ist das Supremum über alle Streckenzuglängen unendlich und die Kurve ist nicht rektifizierbar.
Es sei
-
ein
lineares Differentialgleichungssystem
auf
( ein reelles Intervall)
mit einer Funktionenmatrix
-
wobei das zugrunde liegende Vektorfeld zugleich ein
Zentralfeld
sei. Zeige, dass die Matrix die Gestalt
-
mit einer geeigneten Funktion
-
besitzt.
Lösung
Wir betrachten die Abbildung
-
die einem Dreieck die Längenquadrate seiner Seiten zuordnet. Bestimme die
regulären Punkte
der Abbildung.
Lösung Dreieck/Längenabbildung/Kritische Punkte/Aufgabe/Lösung
Es sei
-
und
-
a) Skizziere
und .
b) Zeige, dass
und
offen
sind.
c) Zeige, dass die Abbildung
-
ein
Diffeomorphismus
ist.
Lösung Diffeomorphismus/Addition und Multiplikation/Definitionsbereich/Aufgabe/Lösung
Es sei
-
fixiert und sei
-
a) Zeige, dass die Abbildung
-
wohldefiniert ist.
b) Es sei nun zusätzlich
.
Zeige, dass die Abbildung aus a) eine
starke Kontraktion
ist
(wobei mit der Maximumsnorm versehen sei).
c) Zeige, dass durch die Maximumsnorm ein vollständiger metrischer Raum wird.
d) Bestimme den Fixpunkt von .
Lösung
a) Da die Wurzelfunktion stetig ist, ist auch als Hintereinanderschaltung von und wieder stetig. Wegen
-
für
-
und
-
für
-
ist
-
und somit liegt das Bild von wieder in .
b) Für und ist
-
Wegen
ist der Faktor rechts kleiner als . Wenn man das Supremum über alle nimmt, so ergibt sich die entsprechende Abschätzung für die Maximumsnorm.
c) Nach
Satz 55.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ist der Raum der stetigen Funktionen von nach ein vollständiger metrischer Raum. Die Bedingung, dass das Bild von wieder in liegt, kann man so formulieren, dass der Abstand
(zur Maximumsnorm)
von zur konstanten Funktion mit dem Wert maximal gleich ist. Es ist also
-
ein abgeschlossener Ball in . Daher ist selbst nach
Aufgabe 36.22 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
vollständig.
d) Wegen
-
ist die konstante Funktion
-
der Fixpunkt von .
Beweise den Satz von Picard-Lindelöf.
Lösung
Nach
Lemma 56.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ist eine
stetige Abbildung
-
genau dann eine
Lösung des Anfangswertproblems,
wenn die Integralgleichung
-
erfüllt. Wir wollen die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung für diese Integralgleichung unter Verwendung des
Banachschen Fixpunktsatzes
dadurch erweisen, dass wir für die Abbildung
(man spricht von einem Funktional)
-
einen Fixpunkt finden. Hierbei stehen links und rechts Abbildungen in
(aus einem gewissen Teilintervall von mit Werten in ).
Die Fixpunkteigenschaft
bedeutet gerade, dass
ist. Um den Fixpunktsatz anwenden zu können müssen wir ein Definitionsintervall festlegen, und eine Metrik auf dem Abbildungsraum nach definieren, diesen metrischen Raum dann als
vollständig
und das Funktional als
stark kontrahierend
nachweisen.
Aufgrund der Voraussetzung über die lokale Lipschitz-Bedingung gibt es eine offene Umgebung
-
und ein
mit
-
für alle
und .
Durch Verkleinern der Radien können wir annehmen, dass der
Abschluss
von , also das Produkt des abgeschlossenen Intervalls mit der abgeschlossenen Kugel, ebenfalls in liegt. Aufgrund von
Satz 36.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
gibt es ein
mit
-
(da diese Beschränktheit auf dem Abschluss gilt).
Wir ersetzen nun durch ein kleineres Intervall
-
mit
,
und
.
Wir betrachten nun die Menge der
stetigen Abbildungen
Dabei wird also mit der
Maximumsnorm
auf versehen. Dieser Raum ist nach
Satz 55.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
und nach
Aufgabe 36.22 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
wieder ein vollständiger metrischer Raum.
Wir betrachten nun auf diesem konstruierten Intervall bzw. der zugehörigen Menge die Abbildung
-
Dazu müssen wir zunächst zeigen, dass wieder zu gehört. Für
ist aber nach
Satz 39.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
und ist stetig, da es durch ein Integral definiert wird.
Zum Nachweis der Kontraktionseigenschaft seien
gegeben. Für ein
ist
Da dies für jedes
gilt, folgt aus dieser Abschätzung direkt
-
d.h. es liegt eine
starke Kontraktion
vor. Daher besitzt ein eindeutiges Fixelement
,
und diese Abbildung löst die Differentialgleichung. Dies gilt dann erst recht auf jedem offenen Teilintervall von .
Damit haben wir insbesondere bewiesen, dass es in nur eine Lösung geben kann, wir wollen aber generell auf dem Intervall Eindeutigkeit erhalten. Für eine Lösung
gilt aber wegen der Integralbeziehung wieder
-
und die gleichen Abschätzungen wie weiter oben zeigen, dass die Lösung zu gehören muss.
Lösung
Nehmen wir an, dass auf dem Intervall nicht konstant ist. Dann gibt es ein mit
-
Wir betrachten das Wegintegral
-
Hierbei beruht die mittlere Gleichung darauf, dass eine Lösung der Differentialgleichung ist. Da
ist, ist die Norm positiv und daher ist wegen der Stetigkeit dieses Integral positiv. Andererseits ist ein Gradientenfeld und daher ist nach
Lemma 57.8 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
-
da ja
und
zur gleichen Faser gehören. Dies ist ein Widerspruch.
Lösung /Aufgabe/Lösung