Kurs:Funktionentheorie/8/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 3 3 2 5 7 8 6 3 3 6 4 4 3 7 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die obere Halbebene in .
  2. Der Konvergenzradius einer komplexen Potenzreihe
  3. Ein lokaler Ring.
  4. Eine holomorphe Differentialform auf einer offenen Menge .
  5. Die äußere Ableitung einer differenzierbaren Differentialform ersten Grades.
  6. Ein einfach zusammenhängender topologischer Raum .


Lösung

  1. Komplexe Zahlen/Obere Halbebene/Definition/Begriff/Inhalt
  2. Unter dem Konvergenzradius der Potenzreihe versteht man
  3. Ein kommutativer Ring heißt lokal, wenn genau ein maximales Ideal besitzt.
  4. Komplexe Zahlen/Holomorphe Differentialform/Definition/Begriff/Inhalt
  5. Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Äußere Ableitung/Definition/Begriff/Inhalt
  6. Topologischer Raum/Einfach zusammenhängend/Wegzusammenhängend und nullhomotop/Definition/Begriff/Inhalt


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.
  2. Das Lemma von Goursat (Quadratversion).
  3. Der Satz über die Offenheit von holomorphen Funktionen.


Lösung

  1. Es seien , , Polynome und es sei

    mit verschiedenen . Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom und eindeutig bestimmte Koeffizienten , , , mit

  2. Es sei eine offene Menge, eine komplex differenzierbare Funktion und sei ein achsenparalleles abgeschlossenes Quadrat, und sei

    der stetige stückweise lineare Weg, der den Rand von gleichmäßig durchläuft.

    Dann ist

  3. Es sei eine nichtkonstante holomorphe Funktion auf einer zusammenhängenden offenen Teilmenge . Dann ist offen.


Aufgabe (2 (0.5+1+0.5) Punkte)

a) Berechne

b) Bestimme das inverse Element zu

c) Welchen Abstand hat aus Teil (b) zum Nullpunkt?


Lösung

a) Es ist

b) Das inverse Element zu ist , also ist

c) Der Abstand von zum Nullpunkt ist , daher ist der Abstand von zum Nullpunkt gleich .


Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Es sei

  1. Zeige, dass auf dem offenen Ball injektiv ist.
  2. Zeige, dass auf dem abgeschlossenen Ball injektiv ist.


Lösung

Wir schreiben

Die Bedingung

wird zu

bzw. zu

Nicht injektiv (auf einer Teilmenge) bedeutet also die Existenz von mit

bzw.

  1. Sei

    Dann liegt

    außerhalb der offenen Kreisscheibe.

  2. Sei

    Dann ist außerhalb der abgeschlossenen Kreisscheibe mit der einzigen Ausnahme

    Doch dann ist auch


Aufgabe (7 Punkte)

Zeige, dass das Cauchy-Produkt von absolut konvergenten Reihen absolut gegen das Produkt der beiden Summen konvergiert.


Lösung

Wir müssen für die Partialsummen

zeigen, dass gegen den Limes der Folge konvergiert. Es ist

Da die beiden Reihen absolut konvergieren, und und nach Aufgabe 9.27 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) Nullfolgen sind, ist die rechte Seite insgesamt eine Nullfolge. Daher konvergiert die Folge nach Aufgabe 6.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gegen das Produkt der Grenzwerte der beiden Reihen. Die absolute Konvergenz folgt aus dem bisher Bewiesenen mit dem Majorantenkriterium aus der Abschätzung .


Aufgabe (8 Punkte)

Es sei ein Körper und sei

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit für alle . Zeige, dass

ein diskreter Bewertungsring ist.


Lösung

Zuerst zeigen wir, dass ein Unterring des Körpers ist. Es ist . Da ein Gruppenhomomorphismus ist, muss sein. Für Elemente ist und damit , da ein Gruppenhomomorphismus vorliegt, und ebenso

nach Voraussetzung, sodass multiplikativ und additiv abgeschlossen ist. Ferner ist , woraus aber und somit folgt. Also gehören auch die Negativen zu , und somit liegt ein kommutativer Ring vor.

Weiterhin muss ein lokaler Ring sein. Wir behaupten, dass

das einzige maximale Ideal ist. Die gehört dazu und wegen ist die Menge additiv abgeschlossen. Für und ist und und daher , sodass die Menge abgeschlossen unter Skalarmultiplikation ist. Also liegt ein Ideal vor.

Das Komplement besteht aus allen Elementen mit . Dann ist aber auch und damit , d.h. diese Elemente sind alle Einheiten. Daher ist maximal.

Wir müssen noch zeigen dass ein diskreter Bewertungsring vorliegt. Es sei hierzu ein Element mit , was es wegen der vorausgesetzten Surjektivität gibt. Wir wollen zeigen, dass prim ist. Es gilt generell, dass ein Vielfaches von () ist genau dann, wenn ist, da ja die Teilbarkeitsbeziehung zu äquivalent ist. Aus mit , folgt nun und dann muss oder sein, sodass eines ein Vielfaches von ist. Also ist prim.

Mit dem gleichen Argument folgt, dass jedes Element mit assoziiert zu ist. Es liegt also ein Hauptidealbereich mit genau den Idealen und , , vor.


Aufgabe (6 (1+2+2+1) Punkte)

Wir betrachten die Differentialform

auf dem und die Abbildung

  1. Berechne die äußere Ableitung von .
  2. Berechne den Rückzug von unter .
  3. Berechne die äußere Ableitung von auf .
  4. Berechne den Rückzug von unter unabhängig von (3).


Lösung

  1. Es ist
  2. Es ist
  3. Es ist
  4. Der Rückzug ist


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Maxima von auf .


Lösung

Aufgrund von Korollar 14.11 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) müssen wir nur den Rand der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe betrachten. Diesen können wir trigonometrisch parametrisieren und davon das Wachstumsverhalten untersuchen. Es ist

Statt dieser Wurzelfunktion können wir direkt den Radikanden betrachten. Es ist

die Parametrisierung führt auf

Aufgrund des Funktionsverlaufs der Kosinusfunktion wird das Maximum für (also in ) angenommen.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den lokalen Exponenten von

in jedem Punkt .


Lösung

Wir ziehen Lemma 15.6 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) heran. Es ist

Die Nullstellen davon sind

und

In allen anderen Punkten ist der lokale Exponent gleich , wegen

ist weder noch eine Nullstelle der zweiten Ableitung, also ist in diesen beiden Punkten der lokale Exponent gleich .


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz von Casorati-Weierstrass.


Lösung

Es liege eine wesentliche Singularität vor, wobei wir annehmen können. Nehmen wir an, dass es eine Ballumgebung derart gibt, dass das Bild der punktierten Ballumgebung nicht dicht ist. Dann gibt es einen Punkt und eine Ballumgebung , die disjunkt zum Bild ist. Wir betrachten die holomorphe Funktion

die ja wohldefiniert ist, da gilt. Ferner folgt daraus, dass auf der offenen Menge ist. Daher ist aber nach Satz 14.5 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) nach holomorph fortsetzbar. Eine Umstellung der definierenden Gleichung für ergibt

woraus folgt, dass in eine hebbare Singularität oder einen Pol besitzt, jedenfalls keine wesentliche Singularität.

Von (2) nach (1) ist im hebbaren Fall klar und ergibt sich im Fall eines Poles aus Lemma 17.5 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)).


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Es sei

eine Funktion, wir betrachten dazu die zusammengesetzte Funktion

also

auf .

  1. Bestimme für die lineare Funktion (mit dem Proportionalitätsfaktor )

    die zugehörige Funktion .

  2. Es sei nun eine beliebige ungerade Funktion. Zeige, dass die Bedingung

    für alle erfüllt.


Lösung

  1. Es ist
  2. Es ist unter Verwendung der Funktionalgleichungen für Logarithmus und Exponentialfunktion und da ungerade ist,


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Bestimme das Residuum im Nullpunkt von

  1. ,
  2. .


Lösung

  1. Nach Aufgabe 19.5 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) ist das Residuum von gleich .
  2. Wegen

    ist

    diese Funktion ist insbesondere holomorph. Daher ist

    und somit

    Also ist das Residuum von ebenfalls gleich .


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es abgeschlossene einfach zusammenhängende Teilmengen gibt, die nicht zur abgeschlossenen Kreisscheibe homöomorph sind.


Lösung

Wir betrachten

also die Vereinigung des ersten abgeschlossenen Quadranten und des dritten abgeschlossenen Quadranten. Diese Menge ist sternförmig bezüglich des Nullpunktes und daher einfach zusammenhängend nach Lemma 20.7 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)). Sie ist nicht homöomorph zur abgeschlossenen Kreisscheibe. Wenn man aus den Nullpunkt herausnimmt, so entsteht eine nicht zusammenhängende Menge, dagegen bleibt die abgeschlossene Menge zusammenhängend, wenn man einen Pukt herausnimmt.


Aufgabe (7 Punkte)

Es sei ein Gebiet und sei eine Teilmenge von holomorphen Funktionen auf , die lokal beschränkt sei. Zeige, dass dann jede Folge in eine kompakt konvergente Teilfolge besitzt.


Lösung

Es sei die Funktionenmenge lokal beschränkt. Dann sind insbesondere die Bilder , , beschränkt in . Wir möchten Fakt ***** anwenden, dazu ist lediglich noch zu zeigen, dass die Funktionenmenge gleichgradig stetig ist. Es sei und sei derart, dass die Funktionenfamilie auf durch die Konstante beschränkt sei. Es sei eine Standardumrundung um mit dem Radius . Dann gelten für nach Satz 13.7 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)), Korollar 13.5 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) und Lemma 12.10 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) die von unabhängigen Abschätzungen

Zu gegebenem kann man dann mit

die gleichgradige Stetigkeit nachweisen.