Lösung
- Zu einer Menge nennt man die Menge aller Teilmengen von die Potenzmenge von .
- Eine
Abbildung
-
heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
- für alle .
- für alle
und .
- Sei
-
Dann heißt
-
die Spur von .
- Zu sei diejenige -Matrix, die entsteht, wenn man in die erste Spalte und die -te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von durch
-
- Die
lineare Abbildung
-
heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl derart gibt, dass die -te
Hintereinanderschaltung
-
ist.
- Eine
bijektive affine Abbildung
-
heißt
affiner Isomorphismus.
Lösung
- Unter der Bedingung, dass endlichdimensional ist, gilt
-
- Es sei ein
Körper und sei ein
-
dimensionaler
-
Vektorraum
mit einer
Basis
und sei ein -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis
.
Es seien bzw. die zugehörigen
Dualbasen.
Es sei
-
eine
lineare Abbildung,
die bezüglich der gegebenen Basen durch die
-
Matrix
-
beschrieben werde. Dann wird die
duale Abbildung
-
bezüglich der Dualbasen von
bzw.
durch die
transponierte Matrix
beschrieben.
- Es sei ein
Körper
und es sei ein
endlichdimensionaler
-Vektorraum.
Es sei
-
eine
lineare Abbildung.
Dann ist genau dann
diagonalisierbar,
wenn das
charakteristische Polynom
in
Linearfaktoren
zerfällt und wenn für jede Nullstelle mit der algebraischen Vielfachheit die Gleichheit
-
gilt.
Lösung
Da Paraguay auf der Südhalbkugel liegt, wird dort Ende März von der dortigen Sommerzeit auf die dortige Winterzeit umgestellt, dort wird also die Uhr zurückgestellt. Daher beträgt die Zeitdifferenz zwischen Deutschland und Paraguay danach ganze Stunden.
Lösung
Es sei fixiert. Es sei . Das bedeutet
-
und das bedeutet
-
also
-
Wenn umgekehrt
-
ist, so bedeutet dies
-
Also ist
-
und damit
-
Es sei eine Gruppe. Zeige, dass
-
für alle
ist.
Lösung
Drücke in den Vektor
-
als
Linearkombination
der Vektoren
-
aus.
Lösung
Es geht darum, das lineare Gleichungssystem
-
zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der dritten Gleichung die Variable aus der ersten Gleichung. Das resultierende System ist
()
-
Wir eliminieren nun aus mittels
die Variable , das ergibt
()
-
Wir können jetzt dieses System lösen. Es ist
-
-
und
-
Also ist
-
a) Bestimme, ob die
komplexe
Matrix
-
invertierbar
ist.
b) Finde eine Lösung für das
inhomogene lineare Gleichungssystem
-
Lösung
a) Wir berechnen die Determinante der Matrix. Diese ist
Insbesondere ist die Matrix invertierbar.
b) Es ist
Daher können wir direkt eine Lösung angeben, nämlich
-
Es ist ja
Lösung
a) Da es eine Basis gibt, ist
isomorph
zu . Dieser Raum besteht aus allen -Tupeln und besitzt damit Elemente.
b) Wenn endlichdimensional ist, so folgt die Endlichkeit der Menge direkt aus a). Wenn endlich ist, so kann man ganz als endliches Erzeugendensystem wählen. Eine Teilmenge davon bildet eine endliche Basis. Also ist endlichdimensional.
c) Wir überlegen uns, auf wie viele Arten wir eine Basis zusammenstellen können. Damit müssen wir nur beachten, dass jeweils nicht im dem von den erzeugten Untervektorraum liegt. Durch diese Bedingung besitzt dieser Untervektorraum insbesondere Elemente. Das bedeutet, dass man für genau Auswahlmöglichkeiten hat. Daher gibt es insgesamt
-
Basen.
Lösung
Es ist
-
und
-
Diese Bildvektoren müssen wir bezüglich der Basis ausdrücken. Der Ansatz
-
bzw.
-
führt auf
-
und damit auf
und .
Der Ansatz
-
bzw.
-
führt auf
-
und damit auf
und .
Daher ist die beschreibende Matrix von bezüglich der Basis
und
gleich
-
Beweise den Satz, dass die Zuordnung zwischen linearen Abbildungen und Matrizen
(bei gegebenen Basen)
bijektiv ist.
Lösung
Wir zeigen, dass beide Hintereinanderschaltungen die Identität sind. Wir starten mit einer Matrix
und betrachten die Matrix
-
Zwei Matrizen sind gleich, wenn für jedes Indexpaar
die Einträge übereinstimmen. Es ist
Es sei nun eine lineare Abbildung, und betrachten wir
-
Zwei lineare Abbildungen stimmen nach
Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
überein, wenn man zeigen kann, dass sie auf der Basis übereinstimmen. Es ist
-
Dabei ist nach Definition der Koeffizient die -te Koordinate von bezüglich der Basis . Damit ist diese Summe gleich .
Lösung
Sei
mit
und .
Für ist somit
-
also ist .
Für die andere Inklusion sei und sei ein
direktes Komplement
von in und ein direktes Komplement von in , also
-
und
-
Es sei die Gesamtabbildung
-
Dann ist eingeschränkt auf die Nullabbildung und somit auch auf die Nullabbildung. Also ist .
Sei
-
Für ist
-
mit und . Dabei ist
-
und
-
nach Definition von . Also ist
-
und somit .
Beweise den Satz über die Charakterisierung von diagonalisierbar mit Vielfachheiten.
Lösung
Wenn
diagonalisierbar
ist, so kann man sofort annehmen, dass bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren durch eine
Diagonalmatrix
beschrieben wird. Die Diagonaleinträge dieser Matrix sind die Eigenwerte, und diese wiederholen sich gemäß ihrer
geometrischen Vielfachheit.
Das
charakteristische Polynom
lässt sich auch direkt aus dieser Diagonalmatrix ablesen, jeder Diagonaleintrag trägt als Linearfaktor bei.
Für die Umkehrung seien die verschiedenen Eigenwerte und
-
seien die
(geometrischen und algebraischen)
Vielfachheiten. Da nach Voraussetzung das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, muss die Summe dieser Zahlen gleich
sein. Nach
Lemma 22.6 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
ist die Summe der Eigenräume
-
direkt. Nach Voraussetzung ist die Dimension links ebenfalls gleich , sodass Gleichheit vorliegt. Nach
Lemma 22.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
ist diagonalisierbar.
Lösung
Was ist falsch an der folgenden Argumentation:
„Zu zwei quadratischen
-
Matrizen
gilt für die
charakteristischen Polynome
die Beziehung
-
Nach Definition ist nämlich
-
wobei die mittlere Gleichung auf dem Determinantenmultiplikationssatz beruht“.
Lösung
Es ist
-
daher ist der Determinantenmultiplikationssatz nicht anwendbar.
Beweise den Satz über die Summe von Haupträumen.
Lösung
Es sei
-
das
charakteristische Polynom,
das nach
Satz 25.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
in Linearfaktoren zerfällt, wobei die verschieden seien. Wir führen Induktion über . Bei
gibt es nur einen Eigenwert und nur einen Hauptraum. Nach
Korollar 24.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
ist dann auch das Minimalpolynom von der Form und daher ist
.
Es sei die Aussage nun für kleineres bewiesen. Wir setzen
und
und sind damit in der Situation von
Lemma 26.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
und
Satz 26.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).
Wir haben also eine direkte Summenzerlegung in
-
invariante
Untervektorräume
-
Das charakteristische Polynom ist nach
Lemma 23.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
das Produkt der charakteristischen Polynome der Einschränkungen auf die beiden Räume. Nach
Satz 26.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
ist das charakteristische Polynom der Einschränkung auf den ersten Hauptraum, daher muss das charakteristische Polynom der Einschränkung auf sein. Das heißt insbesondere, dass diese Einschränkung ebenfalls trigonalisierbar ist. Nach der Induktionsvoraussetzung ist also die direkte Summe der Haupträume zu und daraus ergibt sich insgesamt die direkte Summenzerlegung für und für .
Lösung
Nach der
Definition .
ist
-
und ist der einzige Vektor mit dieser Eigenschaft.
(1). Es ist einerseits nach der Vorbemerkung
-
und andererseits nach der ersten Eigenschaft der Definition
-
also ist
-
(2). Es ist einerseits
-
und andererseits
-
also ist
-
(3). Es ist
-
also ist
-