Kurs:Lineare Algebra/Teil II/1/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	1	7	4	5	2	8	1	3	4	4	3	3	2	10	63

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Isometrie

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen euklidischen Vektorräumen.

2. Eine nicht-ausgeartete Bilinearform.
3. Ein normaler Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$.

4. Die Restklassengruppe zu einem Normalteiler ${}H\subseteq G$ in einer Gruppe ${}G$.
5. Die Stetigkeit einer Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M$

   zwischen metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$ in einem Punkt ${}x\in L$.

6. Die ${}n$-te äußere Potenz zu einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ (es genügt, das Symbol dafür anzugeben).

Lösung

1. Die Abbildung ${}\varphi$ heißt eine Isometrie, wenn für alle ${}v,w\in V$ gilt:

   ${}\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,.$

2. Die Bilinearform

   $V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

   heißt nicht ausgeartet, wenn für alle ${}v\in V,\,v\neq 0$, die induzierten Abbildungen

   $V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

   und für alle ${}w\in V,\,w\neq 0$, die induzierten Abbildungen

   $V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

   nicht die Nullabbildung sind.

3. Ein Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   heißt normal, wenn ${}\varphi$ und ${}{\hat {\varphi }}$ vertauschbar sind.

4. Die Quotientenmenge

   $G/H$

   mit der eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von ${}G$ modulo ${}H$.

5. Die Abbildung ${}f$ heißt stetig in ${}x$, wenn für jedes ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart existiert, dass

   ${}f{\left(B\left(x,\delta \right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\epsilon \right)\,$

   gilt.

6. Man nennt den ${}K$-Vektorraum ${}\bigwedge ^{n}V$ das ${}n$-te Dachprodukt von ${}V$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Charakterisierung von reellen Isometrien mit Matrizen.
2. Das Minorenkriterium für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.
3. Der Charakterisierungssatz für asymptotisch stabile Endomorphismen.

Lösung

1. Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von ${}V$. Es sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   eine lineare Abbildung und ${}M$ die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich der gegebenen Basis. Dann ist ${}\varphi$ genau dann eine Isometrie, wenn

   ${}{M^{\text{tr}}}M=E_{n}\,$

   ist.
2. Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$ und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Es sei ${}G$ die Gramsche Matrix zu ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis. Die Determinanten ${}D_{k}$ der quadratischen Untermatrizen

   $M_{k}=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq k}$

   seien alle von ${}0$ verschieden für ${}k=1,\ldots ,n$. Es sei ${}q$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

   $D_{0}=1,\,D_{1}=\det M_{1},\,D_{2}=\det M_{2},\ldots ,D_{n}=\det M_{n}=\det G.$

   Dann ist ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ

   ${}(n-q,q)$.
3. Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum und

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

   1. ${}\varphi$ ist asymptotisch stabil.
   2. Zu jedem ${}v\in V$ konvergiert die Folge ${}\varphi ^{n}(v)$, ${}n\in \mathbb {N}$, gegen ${}0\in V$.
   3. Es gibt ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{m}\in V$ derart, dass ${}\varphi ^{n}(v_{j})$, ${}j=1,\ldots ,m$, gegen ${}0$ konvergiert.
   4. Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ${}\varphi$ ist kleiner als ${}1$.

Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von ${}{\begin{pmatrix}-2\\8\\9\end{pmatrix}}$ erzeugten Untervektorraum im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Lösung

Die Vektoren ${}{\begin{pmatrix}8\\2\\0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}9\\0\\2\end{pmatrix}}$ stehen offenbar senkrecht auf der gegebenen Geraden und sind zueinander linear unabhängig. Daher und aus Dimensionsgründen ist der Orthonormalraum gleich

${\left\{r{\begin{pmatrix}8\\2\\0\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}9\\0\\2\end{pmatrix}}\mid r,s\in \mathbb {R} \right\}}.$

Aufgabe (7 Punkte)

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft, dass die Determinante von ${}\varphi$ gleich ${}1$ oder ${}-1$ ist. Ferner besitze ${}\varphi$ die Eigenschaft, dass zueinander orthogonale Vektoren stets auf orthogonale Vektoren abgebildet werden. Zeige, dass ${}\varphi$ eine Isometrie ist.

Lösung

Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis und ${}v_{i}=\varphi (u_{i})$. Nach Voraussetzung sind diese Vektoren ${}\neq 0$ und stehen paarweise senkrecht aufeinander. Es sei

${}w_{i}={\frac {v_{i}}{\Vert {v_{i}}\Vert }}\,$

die zugehörige Orthonormalbasis. Wir betrachten die durch

$u_{i}\mapsto w_{i}$

gegebene lineare Abbildung ${}\psi$. Diese ist nach Lemma 33.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) (oder nach Aufgabe .) eine Isometrie und hat Determinante ${}1$ oder ${}-1$. Wir schreiben

${}\varphi =\theta \circ \psi \,,$

wobei ${}\theta$ die Form ${}w_{i}\mapsto s_{i}w_{i}$ besitzt. Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes ist die Determinante von ${}\theta$ ebenfalls ${}1$ oder ${}-1$. Die Orthogonalitätsbedingung gilt mit ${}\varphi$ und ${}\psi$ auch für ${}\theta =\varphi \circ \psi ^{-1}$. Es genügt somit zu zeigen, dass ${}\theta$ eine Isometrie ist, wozu es genügt, zu zeigen, dass alle ${}s_{i}$ betragsmäßig gleich ${}1$ sind. Nehmen wir an, dass es ein ${}i$ mit

${}\vert {s_{i}}\vert >1\,$

gibt. Wegen der Eigenschaft der Determinante ist

${}\prod _{i=1}^{n}\vert {s_{i}}\vert =1\,$

und daher gibt es auch ein ${}j$ mit

${}\vert {s_{j}}\vert <1\,.$

Die Vektoren ${}w_{i}+w_{j}$ und ${}w_{i}-w_{j}$ sind wegen

${}\left\langle w_{i}+w_{j},w_{i}-w_{j}\right\rangle =\left\langle w_{i},w_{i}\right\rangle -\left\langle w_{j},w_{j}\right\rangle =1-1=0\,$

orthogonal zueinander. Ihre Bilder ${}s_{i}w_{i}+s_{j}w_{j}$ und ${}s_{i}w_{i}-s_{j}w_{j}$ sind aber wegen

${}\left\langle s_{i}w_{i}+s_{j}w_{j},s_{i}w_{i}-s_{j}w_{j}\right\rangle =s_{i}^{2}\left\langle w_{i},w_{i}\right\rangle -s_{j}^{2}\left\langle w_{j},w_{j}\right\rangle =s_{i}^{2}-s_{j}^{2}>0\,$

nicht orthogonal zueinander.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt ${}{\begin{pmatrix}5\\-6\end{pmatrix}}$ und der durch

${}3x-7y=8\,$

gegebenen Geraden und den Lotfußpunkt des Punktes auf der Geraden.

Lösung

Es ist ${}{\begin{pmatrix}12\\4\end{pmatrix}}$ ein Punkt der Geraden, die durch

${\begin{pmatrix}12\\4\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}$

parametrisiert wird. Auf dieser Geraden steht der Vektor ${}{\begin{pmatrix}3\\-7\end{pmatrix}}$ senkrecht, daher lautet der Ansatz

${}{\begin{pmatrix}5\\-6\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}12\\4\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}3\\-7\end{pmatrix}}\,$

bzw.

${}{\begin{pmatrix}-7\\-10\end{pmatrix}}=s{\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}3\\-7\end{pmatrix}}\,.$

Dies führt auf

${}58t=49\,$

und somit ist

${}t={\frac {49}{58}}\,$

und

${}s=-{\frac {79}{58}}\,.$

Der Lotfußpunkt ist also

${}{\begin{pmatrix}12\\4\end{pmatrix}}-{\frac {79}{58}}{\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {143}{58}}\\-{\frac {5}{58}}\end{pmatrix}}\,$

und der Abstand ist

${}\Vert {{\frac {49}{58}}{\begin{pmatrix}3\\-7\end{pmatrix}}}\Vert ={\frac {49}{58}}{\sqrt {58}}\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Kathetensatz vektoriell.

Lösung

Wir setzen ${}v=C-A$ und ${}w=B-C$. Der Verbindungsvektor von ${}A$ nach ${}B$ ist dann gleich ${}v+w$. Wir setzen den Höhenfußpunkt als

${}D=A+\lambda (v+w)\,$

mit einem ${}\lambda \in \mathbb {R}$ und den Richtungsvektor der Höhe als

${}h=C-D=A+v-A-\lambda (v+w)=v-\lambda (v+w)\,$

an. Die Orthogonalitätsbedingung für die Höhe führt auf

${}{\begin{aligned}0&=\left\langle v-\lambda (v+w),v+w\right\rangle \\&={\left(1-\lambda \right)}\left\langle v,v\right\rangle -\lambda \left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -\lambda {\left(\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \right)}\end{aligned}}$

und somit ist

${}\lambda ={\frac {\left\langle v,v\right\rangle }{\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle }}\,.$

Daher ist

${}{\begin{aligned}d(A,D)\cdot d(A,B)&=\lambda \Vert {v+w}\Vert \cdot \Vert {v+w}\Vert \\&=\lambda \left\langle v+w,v+w\right\rangle \\&=\lambda {\left(\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \right)}\\&=\left\langle v,v\right\rangle \\&=\Vert {v}\Vert ^{2}\\&=d(A,C)^{2}.\end{aligned}}$

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler ${}\mathbb {R}$- Vektorraum mit einer Bilinearform vom Typ ${}(p,q)$ und es sei ${}U\subseteq V$ ein ${}d$-dimensionaler Untervektorraum. Die Einschränkung der Bilinearform sei vom Typ ${}(p',q')$. Zeige

${}p'\geq d+p-n\,.$

Lösung

Es sei ${}W\subseteq V$ ein Untervektorraum der Dimension ${}p$, auf dem die eingeschränkte Bilinearform positiv definit ist. Einen solchen Untervektorraum muss es nach der Definition des Typs geben. Nach der Dimensionsabschätzung für den Durchschnitt von Untervektorräumen besitzt ${}U\cap W$ mindestens die Dimension ${}d+p-n$. Da dies ein Untervektorraum von ${}U$ ist, auf dem die Form positiv definit ist, gilt

${}p'\geq d+p-n\,.$

Aufgabe (8 (4+4) Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei

${}V=V_{1}\oplus V_{2}\,$

die direkte Summe der Untervektorräume ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$. Es seien

$\varphi _{1}\colon V_{1}\longrightarrow V_{1}$

und

$\varphi _{2}\colon V_{2}\longrightarrow V_{2}$

lineare Abbildungen und

${}\varphi =\varphi _{1}\oplus \varphi _{2}\,$

die Summe davon.

1. Die Summenzerlegung sei zusätzlich orthogonal, d.h. ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ stehen senkrecht aufeinander. Zeige

   ${}{\hat {\varphi }}={\hat {\varphi _{1}}}\oplus {\hat {\varphi _{2}}}\,.$

2. Zeige, dass die Aussage aus Teil (1) nicht gilt, wenn die Summenzerlegung nicht orthogonal ist.

Lösung

1. Es seien ${}v,w\in V$ und

   ${}v=v_{1}+v_{2}\,$

   und

   ${}w=w_{1}+w_{2}\,$

   sei ihre Summenzerlegung. Dann ist

   ${}{\begin{aligned}\left\langle \varphi (v),w\right\rangle &=\left\langle \varphi (v_{1}+v_{2}),w_{1}+w_{2}\right\rangle \\&=\left\langle \varphi _{1}(v_{1})+\varphi _{2}(v_{2}),w_{1}+w_{2}\right\rangle \\&=\left\langle \varphi _{1}(v_{1}),w_{1}\right\rangle +\left\langle \varphi _{1}(v_{1}),w_{2}\right\rangle +\left\langle \varphi _{2}(v_{2}),w_{1}\right\rangle +\left\langle \varphi _{2}(v_{2}),w_{2}\right\rangle \\&=\left\langle \varphi _{1}(v_{1}),w_{1}\right\rangle +\left\langle \varphi _{2}(v_{2}),w_{2}\right\rangle \\&=\left\langle v_{1},{\hat {\varphi _{1}}}(w_{1})\right\rangle +\left\langle v_{2},{\hat {\varphi _{2}}}(w_{2})\right\rangle \\&=\left\langle v_{1},{\hat {\varphi _{1}}}(w_{1})\right\rangle +\left\langle v_{1},{\hat {\varphi _{2}}}(w_{2})\right\rangle +\left\langle v_{2},{\hat {\varphi _{1}}}(w_{1})\right\rangle +\left\langle v_{2},{\hat {\varphi _{2}}}(w_{2})\right\rangle \\&=\left\langle v_{1}+v_{2},{\hat {\varphi _{1}}}(w_{1})+{\hat {\varphi _{2}}}(w_{2})\right\rangle \\&=\left\langle v,{\hat {\varphi _{1}}}(w_{1})+{\hat {\varphi _{2}}}(w_{2})\right\rangle ,\end{aligned}}$

   wobei wir für die vierte und die sechste Gleichung die Orthogonalität verwendet haben. Die Summe ${}{\hat {\varphi _{1}}}(w_{1})+{\hat {\varphi _{2}}}(w_{2})$ erfüllt also die für den adjungierten Endomorphismus charakteristische Eigenschaft, daher ist es der adjungierte Endomorphismus.

2. Wir betrachten die Matrix ${}{\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}}$ als lineare Abbildung von ${}\mathbb {R} ^{2}$ nach ${}\mathbb {R} ^{2}$. Diese Abbildung besitzt die beiden Eigenwerte ${}1$ und ${}2$ mit den Eigenvektoren ${}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$. Mit ${}V_{1}=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und ${}V_{2}=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ und ${}\varphi _{1}=1$ und ${}\varphi _{2}=2$ ist

   ${}\varphi =\varphi _{1}\oplus \varphi _{2}\,.$

   Da ${}\varphi _{1}$ und ${}\varphi _{2}$ reelle Streckungen sind, stimmen sie mit ihren adjungierten Endomorphismen überein, und somit ist die Summe der adjungierten Endomorphismen gleich ${}\varphi$. Es ist aber einerseits

   ${}\left\langle \varphi {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\langle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\right\rangle =1\,$

   und andererseits

   ${}\left\langle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\varphi {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\langle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}\right\rangle =2\,,$

   sodass ${}\varphi$ nicht der adjungierte Endomorphismus ist.

Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme, ob die durch die Gaußklammer gegebene Abbildung

$\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,q\longmapsto \lfloor q\rfloor ,$

ein Gruppenhomomorphismus ist oder nicht.

Lösung

Die Gaußklammer definiert keinen Gruppenhomomorphismus, da ${}q=\lfloor {\frac {1}{2}}\rfloor =0$ ist und damit

${}\lfloor {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 1\rfloor =1\,,$

aber

${}\lfloor {\frac {1}{2}}\rfloor +\lfloor {\frac {1}{2}}\rfloor =0+0=0\,$

ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Menge mit ${}n$ Elementen. Bestimme die Anzahl der Relationen auf ${}M$, die

1. reflexiv
2. symmetrisch
3. reflexiv und symmetrisch

sind.

Lösung

Es sei ${}M=\{1,\ldots ,n\}$. Eine Relation ${}R$ ist gegeben durch eine bestimmte Menge von geordneten Paaren ${}(x,y)$, ${}x,y\in M$. Daher kann man sich eine Relation auf ${}M$ so vorstellen, dass in einer ${}n\times n$-Tabelle gewisse Stellen angekreuzt werden und andere nicht.

Bei einer beliebigen Relation gibt es keine weiteren Bedingungen, sodass es ${}2^{n^{2}}$ Relationen gibt (das war nicht gefragt).

Bei einer reflexiven Relation muss auf der Diagonalen immer ein Kreuz sein, ansonsten hat man keine Bedingung, es gibt also ${}n^{2}-n=n(n-1)$ freie Stellen und daher ${}2^{n(n-1)}$ reflexive Relationen.

Bei einer symmetrischen Relation hat man oberhalb der Diagonalen (einschließlich dieser) volle Freiheiten (unterhalb der Diagonalen muss sich der Eintrag wiederholen). Da gibt es ${}{\frac {n^{2}-n}{2}}+n={\frac {n^{2}+n}{2}}$ Plätze und somit gibt es ${}2^{\frac {n^{2}+n}{2}}$ symmetrische Relationen.

Bei einer symmetrischen und reflexiven Relation hat man echt oberhalb der Diagonalen volle Wahlfreiheiten. Davon gibt es ${}{\frac {n^{2}-n}{2}}$ Plätze, sodass es ${}2^{\frac {n^{2}-n}{2}}$ symmetrische und reflexive Relationen gibt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}{\mathbb {F} }_{q}$ ein endlicher Körper (mit ${}q$ Elementen). Bestimme die Anzahl der Elemente in

$\operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {F} }_{q}\right)}.$

Lösung

Es sei ${}M=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ eine invertierbare Matrix über ${}{\mathbb {F} }_{q}$. Dies bedeutet, dass die Spaltenvektoren eine Basis von ${}{\mathbb {F} }_{q}^{n}$ bilden und dies bedeutet wiederum, dass die ${}v_{1},\ldots ,v_{i}$ einen ${}i$-dimensionalen Untervektorraum erzeugen. Ein ${}i$-dimensionaler Untervektorraum besitzt ${}q^{i}$ Elemente. Wenn ${}v_{1},\ldots ,v_{i}$ fixiert sind, so gibt es ${}q^{n}-q^{i}$ Vektoren ${}v_{i+1}$, die sicher stellen, dass der von den Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{i},v_{i+1}$ erzeugte Untervektorraum eine Dimension mehr hat. Daher ist die Gesamtzahl von solchen Matrizen gleich

${}{\begin{aligned}(q^{n}-1)(q^{n}-q)(q^{n}-q^{2})\cdots (q^{n}-q^{n-1})&=qq^{2}\cdots q^{n-1}(q^{n}-1)(q^{n-1}-1)\cdots (q-1)\\&=q^{\binom {n}{2}}(q^{n}-1)(q^{n-1}-1)\cdots (q-1).\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Basen des ${}\mathbb {R} ^{3}$,

${\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\4\\-3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\3\\-5\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}-3\\7\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-4\\5\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-6\\0\\11\end{pmatrix}},$

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.

Lösung

Die Vektoren

${\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\4\\-3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\3\\-5\end{pmatrix}}$

besitzen bezüglich der Standardbasis die Übergangsmatrix

${\begin{pmatrix}1&2&0\\0&4&3\\4&-3&-5\end{pmatrix}},$

deren Determinante ist

${}-20+9+4\cdot 6=13\,.$

Daher repräsentiert diese Basis die Standardorientierung.

Die Vektoren

${\begin{pmatrix}-3\\7\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-4\\5\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-6\\0\\11\end{pmatrix}}$

besitzen bezüglich der Standardbasis die Übergangsmatrix

${\begin{pmatrix}-3&-4&-6\\7&5&0\\2&-1&11\end{pmatrix}},$

deren Determinante ist

${}-3\cdot 55-7(-44-6)+2\cdot 30=-165+350+60=245>0\,.$

Daher repräsentiert diese Basis ebenfalls die Standardorientierung, und damit repräsentieren beide Basen die gleiche Orientierung.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass ein Endomorphismus

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

mit endlicher Ordnung auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ stabil ist.

Lösung

Da ${}\varphi$ endliche Ordnung besitzt, gibt es ein ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}\varphi ^{k}=\operatorname {Id} _{V}$. Damit ist auch

${}\varphi ^{n+k}=\varphi ^{n}\,$

für alle ${}n$ und somit kommen in der Potenzfolge ${}\varphi ^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, überhaupt nur endlich viele verschiedene Endomorphismen vor. Es sei ${}m={\max {\left(\Vert {\varphi ^{n}}\Vert ,0\leq n<k\right)}}$. Dann ist

${}\Vert {\varphi ^{n}}\Vert \leq m\,$

für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und somit ist die Folge normbeschränkt, also stabil.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine spaltenstochastische Matrix. Zeige, dass das Bild eines jeden Verteilungsvektors wieder ein Verteilungsvektor ist.

Lösung

Es sei

${}M=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\,$

spaltenstochastisch, also ${}a_{ij}\geq 0$ und ${}\sum _{i=1}^{n}a_{ij}=1$ für alle ${}j$ und es sei ${}v={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}$ ein Verteilungsvektor, also ${}v_{j}\geq 0$ und ${}\sum _{j=1}^{n}v_{j}=1$. Wegen der Nichtnegativität aller Einträge hat auch der Bildvektor ${}Mv$ nichtnegative Einträge. Ferner ist

${}\sum _{i=1}^{n}(Mv)_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}\right)}=\sum _{j=1}^{n}v_{j}=1\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Drücke das Dachprodukt ${}{\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}4\\-1\\5\end{pmatrix}}$ in der Standardbasis von ${}\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}$ aus.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}4\\-1\\5\end{pmatrix}}&=(2e_{1}+3e_{2}+2e_{3})\wedge (4e_{1}-e_{2}+5e_{3})\\&=-2e_{1}\wedge e_{2}+10e_{1}\wedge e_{3}+12e_{2}\wedge e_{1}+15e_{2}\wedge e_{3}+8e_{3}\wedge e_{1}-2e_{3}\wedge e_{2}\\&=-2e_{1}\wedge e_{2}+10e_{1}\wedge e_{3}-12e_{1}\wedge e_{2}+15e_{2}\wedge e_{3}-8e_{1}\wedge e_{3}+2e_{2}\wedge e_{3}\\&=-14e_{1}\wedge e_{2}+2e_{1}\wedge e_{3}+17e_{2}\wedge e_{3}.\end{aligned}}$

Aufgabe (10 Punkte)

Beweise den Satz über Basen in einem Dachprodukt zu einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Lösung

Wir zeigen zuerst, dass ein Erzeugendensystem vorliegt.  Da die Elemente der Form ${}w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n}$ nach Lemma 57.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))  (1) ein Erzeugendensystem von ${}\bigwedge ^{n}V$ bilden, genügt es zu zeigen, dass man diese durch die angegebenen Elemente darstellen kann. Für jedes ${}w_{j}$ gibt es eine Darstellung ${}w_{j}=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}v_{i}$, daher kann man nach Lemma 57.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))  (4) die ${}w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n}$ als Linearkombinationen von Dachprodukten der Basiselemente darstellen, wobei allerdings jede Reihenfolge vorkommen kann. Es sei also ${}v_{k_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{k_{n}}$ gegeben mit ${}k_{j}\in \{1,\ldots ,m\}$. Durch Vertauschen von benachbarten Vektoren kann man nach Lemma 57.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))  (3) (unter Inkaufnahme eines anderen Vorzeichens) erreichen, dass die Indizes (nicht notwendigerweise streng) aufsteigend geordnet sind. Wenn sich ein Index wiederholt, so ist nach Lemma 57.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))  (2) das Dachprodukt ${}0$. Also wiederholt sich kein Index und diese Dachprodukte sind in der gewünschten Form.

Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit zeigen wir unter Verwendung von Lemma 14.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)), dass es zu jeder ${}n$-elementigen Teilmenge ${}I=\{i_{1},\ldots ,i_{n}\}\subseteq \{1,\ldots ,m\}$ (mit $i_{1}<\ldots <i_{n}$) eine ${}K$-lineare Abbildung

$\bigwedge ^{n}V\longrightarrow K$

gibt, die ${}v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{n}}$ nicht auf ${}0$ abbildet, aber alle anderen in Frage stehenden Dachprodukte auf ${}0$ abbildet. Dazu genügt es nach Satz 57.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)), eine alternierende multilineare Abbildung

$\triangle \colon V^{n}\longrightarrow K$

anzugeben mit ${}\triangle {\left(v_{i_{1}},\ldots ,v_{i_{n}}\right)}\neq 0$, aber mit ${}\triangle {\left(v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{n}}\right)}=0$ für jedes andere aufsteigende Indextupel. Es sei ${}U$ der von den ${}v_{i}$, ${}i\neq i_{k}$, erzeugte Untervektorraum von ${}V$ und ${}W=V/U$ der Restklassenraum. Dann bilden die Bilder der ${}v_{i_{k}}$, ${}k=1,\ldots ,n$, eine Basis von ${}W$, und die Bilder von allen anderen ${}n$-Teilmengen der gegebenen Basis bilden dort keine Basis, da mindestens ein Element davon auf ${}0$ geht. Wir betrachten nun die zusammengesetzte Abbildung

$\triangle :V^{n}\longrightarrow W^{n}\cong (K^{n})^{n}{\stackrel {\det }{\longrightarrow }}K.$

Diese Abbildung ist nach Satz 16.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) multilinear und nach Satz 16.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) alternierend. Nach Satz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist ${}\triangle (z_{1},\ldots ,z_{n})=0$ genau dann, wenn die Bilder von ${}z_{i}$ in ${}W$ keine Basis bilden.