Lösung
- Eine
Abbildung
-
heißt
Norm,
wenn die folgenden Eigenschaften für alle gelten.
- ,
- genau dann, wenn ist.
- Für und gilt
-
- Für gilt
-
- Eine
lineare Abbildung
-
heißt Isometrie, wenn für alle gilt:
-
- Ein
reeller Vektorraum
der
Dimension
mit einer
Bilinearform
vom
Typ
heißt
Minkowski-Raum.
- Die Äquivalenzklasse zu ist die Menge
-
- Zwei
Basen
und heißen orientierungsgleich, wenn die
Determinante
ihrer
Übergangsmatrix
positiv
ist.
- Eine reelle quadratische Matrix
-
heißt
spaltenstochastisch,
wenn alle Einträge
-
sind und für jede Spaltensumme
(also jedes )
-
gilt.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über das Verhalten der Gramschen Matrizen zu einer Bilinearform bei einem Basiswechsel.
- Der
Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen.
- Der Satz über die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.
Lösung
- Es sei ein
Körper,
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum
und eine
Bilinearform
auf . Es seien
und
zwei
Basen
von und es seien
bzw.
die
Gramschen Matrizen
von bezüglich dieser Basen. Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen
-
die wir durch die
Übergangsmatrix
ausdrücken. Dan
- Es sei ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum
mit
Skalarprodukt
und sei
-
ein
selbstadjungierter Endomorphismus.
Dann gibt es eine
Orthonormalbasis
von aus
Eigenvektoren
zu .
- Es sei ein
Körper,
ein
-
Vektorraum
und . Es sei
-
eine
alternierende
multilineare Abbildung
in einen weiteren -Vektorraum . Dann gibt es eine eindeutig bestimmte
lineare Abbildung
-
derart, dass das Diagramm -
kommutiert.
Lösung
Beweise den Satz des Pythagoras mit Hilfe des Skalarproduktes.
Lösung
Es ist
-
Lösung
Es sei der
Ausartungsraum
der Bilinearform und ein
direktes Komplement,
also
-
Dabei ist die Einschränkung der Bilinearform auf nicht ausgeartet. Es sei eine
Basis
von und eine Basis von . Die Vektoren können wir auf jeden Fall als Teil einer Orthogonalbasis nehmen, da diese ja auf allen Vektoren
orthogonal
stehen. Wir müssen uns also nur noch um kümmern. Das bedeutet, dass wir gleich annehmen können, dass wir eine nichtausgeartete symmetrische Bilinearform auf haben. Wegen der Polarisationsformel gibt es dann auch mit
-
Der Orthogonalraum zu besitzt deshalb und wegen der Eigenschaft, nicht ausgeartet zu sein, die Dimension . Dieser Orthogonalraum ist ebenfalls nicht ausgeartet, daher gibt es nach Induktion über die Dimension eine Basis mit
-
Eine solche Basis lässt sich in folgender Weise orthogonalisieren, und zwar kann man eine Orthogonalbasis finden mit
-
für alle . Dies zeigen wir durch Induktion, seien schon konstruiert. Wir setzen
-
und setzen
-
Dann ist für
-
Der sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass ein Beobachtervektor ist
und bestimme die Raumkomponente dazu.
Lösung
Lösung
Jeder Gruppenhomomorphismus von nach ist von der Form
-
mit einer festen Zahl . Bei
ist dies die Nullabbildung, bei
und
ist diese Abbildung nicht surjektiv, da nicht im Bild liegt. Dagegen ist bei
-
die Abbildung bijektiv, also ein Automorphismus. Somit ist
-
Betrachte auf die
Relation
-
a) Zeige, dass eine
Äquivalenzrelation
ist.
b) Zeige, dass es zu jedem ein äquivalentes Paar mit
gibt.
c) Es sei die Menge der
Äquivalenzklassen
dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung
-
Zeige, dass
injektiv
ist.
d) Definiere auf
(aus Teil c)
eine
Verknüpfung
derart, dass
mit dieser Verknüpfung und mit als neutralem Element eine
Gruppe
wird, und dass für die Abbildung die Beziehung
-
für alle
gilt.
Lösung
a) Wegen der Kommutativität der Multiplikation in
ist , woraus die
Reflexivität folgt. Zur Symmetrie sei , also . Dann ist auch
, was
bedeutet. Zur Transitivität sei
-
also
-
Aus diesen beiden Gleichungen ergibt
sich
-
Da
ist, folgt daraus
, was
bedeutet.
b) Es sei vorgegeben. Wegen ist oder .
Bei sind wir fertig, da
zu sich selbst äquivalent ist. Bei
betrachten wir . Der
zweite Eintrag ist positiv, und wegen
-
sind
und
äquivalent zueinander.
c) Es seien vorgegeben und
. Das bedeutet
bzw.
, also
-
d) Wir setzen
-
Wegen
ist auch
. Zur Wohldefiniertheit dieser
Verknüpfung sei
-
also
-
Wir behaupten
-
Dies folgt aus
Die Assoziativität folgt aus
Wegen
-
(und ebenso
in der anderen Reihenfolge) ist das neutrale Element.
Wir behaupten, dass zu das inverse Element durch gegeben ist. Dies folgt aus
-
wobei die letzte Gleichung sich aus ergibt (ebenso
in der anderen Reihenfolge).
Schließlich ist für
-
Lösung
Es sei ein
Körper,
ein
-
Vektorraum
und
ein
Untervektorraum. Es sei
, ,
eine
Basis
von und
, ,
eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass die Gesamtfamilie , genau dann eine Basis von ist, wenn
, ,
eine Basis des
Restklassenraumes
ist.
Lösung
Es sei zunächst die Gesamtfamilie eine Basis von . Da
-
surjektiv ist, ist das Bild der Basis ein Erzeugendensystem von , und da die Vektoren
, ,
auf abgebildet werden, ist
, ,
ein Erzeugendensystem des Restklassenraumes. Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei
-
wobei die Koeffizienten nur für endlich viele Indizes ungleich sein können. Dies bedeutet zurückübersetzt nach , dass
-
gilt. Somit ist
-
und aus der linearen Unabhängigkeit der Gesamtfamilie folgt
-
Es sei nun umgekehrt vorausgesetzt, dass die
, ,
eine Basis des Restklassenraumes bilden. Es sei . Dann ist
-
in . Dies bedeutet zurückübersetzt nach , dass
-
zu gehört. Damit gibt es eine Darstellung
-
und die Vektorenfamilie ist ein Erzeugendensystem. Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei
-
Im Restklassenraum bedeutet dies
-
und wegen der linearen Unabhängigkeit folgt
-
für alle . Somit reduziert sich die Ausgangsgleichung zu
-
und die lineare Unabhängigkeit der liefert
-
für alle .
Es sei das Quadrat im mit den Eckpunkten .
- Bestimme zu jeder eigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis.
- Bestimme zu jeder uneigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis.
- Ist die Gruppe der eigentlichen und uneigentlichen Symmetrien an diesem Quadrat kommutativ?
Lösung
-
Die eigentlichen Symmetrien sind die Drehungen am Quadrat, und zwar die Identität, die Vierteldrehung (gegen den Uhrzeigersinn), die Halbdrehung und die Dreivierteldrehung. Die zugehörigen Matrizen sind
-
- Die uneigentlichen Symmetrien sind die Achsenspiegelungen an der -Achse, der -Achse und an den beiden Diagonalen. Die zugehörigen Matrizen sind
-
- Wegen
-
und
-
ist die Gruppe nicht kommutativ.
Lösung Endomorphismus/Asymptotisch stabil/Direkte Summenzerlegung/Aufgabe/Lösung
Berechne in das
Tensorprodukt
-
Lösung Tensorprodukt/R/Rechnung/7/Aufgabe/Lösung
Lösung
Wir betrachten die Abbildung
-
Da eine Linearform ist, ist linear in der zweiten Komponente. Die Vektorraumstruktur im Dualraum ist durch
-
gegeben, bei fixiertem ist daher auch linear in der ersten Komponente. Somit liegt eine multilineare Abbildung vor. Aufgrund
der universellen Eigenschaft des Tensorproduktes
gibt es eine lineare Abbildung
-
und diese bildet auf ab.