Kurs:Analysis/Teil II/22/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 4 4 3 8 3 4 6 0 2 4 11 4 3 0 62




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Konvergenz einer Folge in einem metrischen Raum .
  2. Ein Berührpunkt zu einer Teilmenge eines metrischen Raumes .
  3. Die Länge eines Streckenzugs

    mit .

  4. Die Richtungsableitung einer Abbildung

    in einem Punkt in Richtung eines Vektors .

  5. Der Dualraum zu einem - Vektorraum .
  6. Die gleichmäßige Konvergenz einer Abbildungsfolge

    wobei eine Menge und ein metrischer Raum ist.


Lösung

  1. Man sagt, dass die Folge konvergiert, wenn es ein gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt: Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  2. Es sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Ein Punkt heißt Berührpunkt von , wenn zu jedem der Durchschnitt
  3. Man nennt

    die Gesamtlänge des Streckenzugs.

  4. Unter der Richtungsableitung von in in Richtung versteht man den Grenzwert

    falls dieser existiert.

  5. Unter dem Dualraum zu versteht man den Homomorphismenraum
  6. Man sagt, dass die Abbildungsfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion

    derart gibt, dass es zu jedem ein gibt mit


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über das Maximum von Funktionen auf kompakten Teilmengen.
  2. Die Integralabschätzung für stetige Kurven.
  3. Der Satz über den Zusammenhang zwischen partieller Ableitung und Richtungsableitung.


Lösung

  1. Es sei eine nichtleere kompakte Teilmenge und sei

    eine stetige Funktion.

    Dann gibt es ein mit
  2. Es sei ein euklidischer Vektorraum und

    eine stetige Abbildung. Dann gilt

  3. Es sei offen, ein Punkt und sei

    eine Abbildung. Dann ist in genau dann partiell differenzierbar, wenn die Richtungsableitungen

    von sämtlichen Komponentenfunktionen in in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Majorantenkriterium für uneigentliche Integrale.


Lösung

Wir behandeln den Fall, wo die obere Intervallgrenze ist. Für alle ist

wegen für alle . Wegen der Nichtnegativität von und von wachsen beide Seite bei , und die rechte Seite ist durch das uneigentliche Integral beschränkt. Nach Satz 7.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) existiert der Grenzwert


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Teilmenge in einem metrischen Raum . Zeige für den Abschluss von die Gleichheit


Lösung

Es sei zunächst . Das bedeutet, dass zu jedem die Menge

ist. Dies gilt insbesondere für die Stammbrüche . Somit gibt es zu ein Element . Dies ergibt eine Folge in . Diese Folge konvergiert gegen , da jede gewünschte Genauigkeit durch einen Stammbruch unterboten wird.

Es sei ungekehrt der Grenzwert einer Folge mit Folgengliedern in ist. Sei vorgegeben. Für hinreichend groß ist . Somit ist

und ist ein Berührpunkt von , also .


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass eine Menge mit der diskreten Metrik zu einem vollständigen metrischen Raum wird.


Lösung

Es sei eine Cauchy-Folge in . Zu gibt es ein mit

für alle . Da es bei der diskreten Metrik nur die beiden Abstände und möglich sind, muss

und damit

für alle sein. Dies bedeutet, dass die Folge ab einem bestimmten Index konstant ist, und dass die Folge gegen das Folgenglied konvergiert.


Aufgabe (8 (2+2+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

  1. Zeige, dass der einzige Fixpunkt von ist.
  2. Zeige, dass Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante ist.
  3. Zeige, dass keine starke Kontraktion ist.
  4. Zeige, dass zu jedem Startwert die rekursiv definierte Folge gegen konvergiert.


Lösung

  1. Es ist

    daher ist ein Fixpunkt. Die Ableitung von ist auf , daher ist im negativen Bereich streng fallend und somit besitzt dort keine weitere Nullstelle, also ist dort

  2. Es ist

    für alle . Daher ist nach dem Mittelwertstz

    für alle . Somit ist

    was die Lipschitz-Eigenschaft mit Lipschitzfaktor bedeutet.

  3. Wir betrachten den Differenzenquotienten

    Für konvergiert dies gegen den Differentialquotienten an der Stelle von , also gegen . Würde eine starke Kontraktion vorliegen, so würde es ein geben, wofür insbesondere

    gelten würde. Dann wäre

    im Widerspruch zur Konvergenzeigenschaft.

  4. Nach Teil (1) ist auf streng fallend und daher ist , also . Dies bedeutet, dass eine durch gegebene rekursive Folge wachsend ist. Da ferner gilt, liegt eine wachsende, nach oben beschränkte Folge vor, die in konvergieren muss. Es sei der Grenzwert, der zu gehört. Aufgrund der Stetigkeit ist , also muss nach Teil (1) sein.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Länge der Kurve


Lösung

Es ist

und

Die Länge der Kurve ist nach Satz 38.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über Wegintegrale bei einer Umparametrisierung.


Lösung

Es seien die Komponentenfunktionen von und die Komponentenfunktionen von . Dann gilt mit der Substitution

unter Verwendung von Korollar 25.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))


Aufgabe (6 Punkte)

Löse mit einem Potenzreihenansatz das Anfangswertproblem

mit und bis zur Ordnung . Dabei ist eine Konstante.


Lösung

Wir machen den Ansatz

wobei sich die ersten beiden Koeffizienten aus den Anfangsbedingungen ergeben. Es ist also noch und zu bestimmen. Die linke Seite der Gleichung ist

Von der rechten Seite müssen wir also die Koeffizienten zu ausrechnen, um drei Gleichungen zu bekommen. Zur Auswertung des Nenners verwenden wir

Daher gilt mit die Beziehung

Wenn man darin für die Potenzreihe einsetzt, erhält man

Somit ist die rechte Seite der Differentialgleichung gleich

Somit ist (rechts ist der Koeffizient zu gleich )

aus

folgt

aus

folgt

Der Anfang der Potenzreihe ist also


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe für vorgegebene natürliche Zahlen mit eine zweimal stetig differenzierbare Funktion

deren Hesse-Form im Nullpunkt den Typ besitzt.


Lösung

Wir betrachten die Funktion

Die partiellen Ableitungen sind

Damit sind alle gemischten zweiten Ableitungen und es ist

Die Hesse-Matrix ist also eine Diagonalmatrix mit positiven und negativen Einträgen. Nach dem Trägheitssatz von Sylvester besitzt die Hesse-Form den Typ .


Aufgabe (4 Punkte)

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Lösung

Die partiellen Ableitungen der Funktion sind

und

Eine notwendige Voraussetzung für die Existenz eines lokalen Extremums ist, dass der Gradient ist. Aus

folgt sofort

also und daraus

Es kann also allenfalls im Punkt

ein lokales Extremum vorliegen.

Die Hesse-Matrix der Funktion ist

Der Eintrag links oben ist also negativ und die Determinante ist positiv. Daher ist die Hesse-Matrix negativ definit und somit liegt in ein lokales Maximum vor. Da es sonst kein weiteres lokales Extremum gibt, ist dieses Maximum isoliert und global.


Aufgabe (11 (2+2+4+3) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

  1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu in einem beliebigen Punkt
  2. Bestimme die Punkte , für die regulär ist.
  3. Ist injektiv?
  4. Ist surjektiv? Tipp: Die Funktion ist nach unten beschränkt.


Lösung

  1. Es ist

    und

    Somit ist die Jacobi-Matrix gleich

  2. Die Determinante der Jacobi-Matrix ist

    Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, ist die Determinante genau dann gleich , wenn

    ist. Dies ist genau bei

    und

    bzw.

    der Fall. Dies charakterisiert die kritischen Punkte, die Punkte mit oder

    sind regulär.

  3. Wir betrachten die Einschränkung von auf die durch

    gegebene Gerade. Die beiden Komponentenfunktionen haben darauf die Form

    Die Ableitung davon ist

    mit einer Nullstelle an

    Wegen

    liegt dort ein isoliertes Minimum von vor. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es daher

    mit

    Daher haben und unter den gleichen Wert und die Abbildung ist nicht injektiv.

  4. Die Abbildung ist nicht surjektiv. Wir zeigen, dass Elemente der Form

    mit hinreichend klein nicht zum Bild gehören. Die Bedingung (der zweiten Komponente)

    führt auf

    und damit auf

    und somit ergibt sich (aus der ersten Komponente) die Bedingung

    Da nach Aufgabe 20.57 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) nach unten beschränkt ist, ist auch nach unten beschränkt, und für

    unterhalb dieser Schranke gibt es kein Urbild.


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

  1. Bestimme das totale Differential von in jedem Punkt .
  2. Bestimme die kritischen Punkte von .
  3. Bestimme eine Basis für den Tangentialraum an die Faser von durch den Punkt .


Lösung

  1. Das totale Differential ist
  2. Für einen kritischen Punkte müssen alle Komponenten des totalen Differentials gleich sein. Daher muss wegen der zweiten Komponente sein und damit und . Der einzige kritische Punkt liegt also in vor.
  3. Das totale Differential in ist

    Der Tangentialraum ist der Kern dieser linearen Abbildung, eine Basis davon ist und .


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume, und offene Teilmengen und

ein Diffeomorphismus. Es sei

ein Vektorfeld auf . Es sei das durch

definierte Vektorfeld auf . Zeige, dass

genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems

wenn eine Lösung des Anfangswertproblems

ist.


Lösung

Da mit auch die Umkehrabbildung ein Diffeomorphismus ist, genügt es, die eine Richtung zu zeigen. Es sei also eine Lösung des Anfangswertproblems zu . Dann gelten nach der Kettenregel für die Gleichheiten

Ferner gilt


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung