Kurs:Analysis 3/20/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	${}\sum$
Punkte	4	4	4	5	7	5	7	3	2	6	7	10	64

Aufgabe (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine ${}\sigma$-Algebra auf einer Menge ${}M$.
2. Das Borel-Lebesgue-Maß auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$.
3. Der Limes superior zu einer reellen Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
4. Der Kegel zu einer Basismenge ${}B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n+1}$.
5. Zwei in einem Punkt ${}P\in M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ tangential äquivalente differenzierbare Kurven

   $\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M$

   (dabei sei ${}0\in I$ ein offenes reelles Intervall und ${}\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P$).

6. Ein regulärer Punkt ${}Q\in L$ zu einer differenzierbaren Abbildung

   $\varphi \colon L\longrightarrow M$

   zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}L$ und ${}M$.

7. Ein orientierungstreuer Kartenwechsel auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
8. Die äußere Ableitung einer stetig differenzierbaren ${}k$- Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(U)$ auf einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Lösung

1. Ein Teilmengensystem ${}{\mathcal {A}}$ auf ${}M$ heißt ${}\sigma$-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
   1. Es ist ${}M\in {\mathcal {A}}$.
   2. Mit ${}T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch das Komplement ${}M\setminus T$ zu ${}{\mathcal {A}}$.
   3. Für jede abzählbare Familie ${}T_{i}\in {\mathcal {A}}$, ${}i\in I$, ist auch

      $\bigcup _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}.$

2. Das Borel-Lebesgue-Maß auf ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist das (eindeutig bestimmte) Maß ${}\lambda$ auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$, das für jeden Quader der Form ${}Q=[a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]$ den Wert ${}\lambda (Q)=(b_{1}-a_{1})\cdots (b_{n}-a_{n})$ besitzt.
3. Es sei ${}H$ die Menge der Häufungspunkte der Folge ${}x_{n}$. Dann setzt man

   ${}\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left((x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\right)}={\operatorname {sup} \,{\left(H\right)}}\,$

   und nennt diese Zahl (eventuell ${}+\infty$) den Limes superior der Folge.

4. Der Kegel zur Basis ${}B$ mit der Spitze ${}P$ ist definiert durch

   ${}K_{B}={\left\{P+t(Q-P)\mid Q\in B,\,t\in [0,1]\right\}}\,.$

5. Die beiden Kurven ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ heißen tangential äquivalent in ${}P$, wenn es eine offene Umgebung ${}P\in U$ und eine Karte

   $\alpha \colon U\longrightarrow V$

   mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ derart gibt, dass

   ${}{\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{1}{|}_{\gamma _{1}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)={\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{2}{|}_{\gamma _{2}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)\,$

   gilt.
6. Der Punkt ${}Q\in L$ heißt regulär für ${}\varphi$, wenn die Tangentialabbildung

   $T_{Q}(\varphi )\colon T_{Q}L\longrightarrow T_{\varphi (Q)}M$

   im Punkt ${}Q$ maximalen Rang besitzt.

7. Es seien

   $\alpha _{1}\colon U_{1}\longrightarrow V_{1}$

   und

   $\alpha _{2}\colon U_{2}\longrightarrow V_{2}$

   orientierte Karten von ${}M$. Der zugehörige Kartenwechsel

   $\psi =\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon V_{1}\cap \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})\longrightarrow V_{2}\cap \alpha _{2}(U_{1}\cap U_{2})$

   heißt orientierungstreu, wenn für jeden Punkt ${}Q\in V_{1}\cap \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})$ das totale Differential

   $\left(D\psi \right)_{Q}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

   orientierungstreu ist.

8. Die Form ${}\omega$ besitzt auf ${}U$ eine Darstellung

   $\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}f_{I}dx_{I}$

   mit stetig differenzierbaren Funktionen

   $f_{I}\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$

   Dann ist die äußere Ableitung die ${}(k+1)$-Form

   ${}d\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}df_{I}\wedge dx_{I}=\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{I}}{\partial x_{j}}}dx_{j}\right)}\wedge dx_{I}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Eindeutigkeitssatz für Maße.
2. Das Cavalieri-Prinzip für eine messbare Teilmenge ${}T\subseteq M\times N$ zu ${}\sigma$- endlichen Maßräumen ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$.
3. Die Transformationsformel für Integrale zu einem ${}C^{1}$-Diffeomorphismus

   $\varphi \colon G\longrightarrow H,$

   wobei ${}G$ und ${}H$

   offene Teilmengen des ${}\mathbb {R} ^{n}$ sind.
4. Der Satz von Stokes für Mannigfaltigkeiten mit Rand.

Lösung

1. Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und es sei ${}{\mathcal {E}}$ ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem für ${}{\mathcal {A}}$. Es seien ${}\mu _{1}$ und ${}\mu _{2}$ zwei Maße auf ${}(M,{\mathcal {A}})$, die auf ${}{\mathcal {E}}$ übereinstimmen. Es gebe eine Ausschöpfung ${}M_{n}\uparrow M$ mit ${}M_{n}\in {\mathcal {E}}$ und mit ${}\mu _{1}(M_{n})=\mu _{2}(M_{n})<\infty$. Dann ist

   ${}\mu _{1}=\mu _{2}\,.$

2. Für jede messbare Teilmenge ${}T\subseteq M\times N$ gilt die Beziehung

   ${}(\mu \otimes \nu )(T)=\int _{M}\nu (T(x))\,d\mu (x)=\int _{N}\mu (T(y))\,d\nu (y)\,.$

3. Für eine messbare Funktion

   $f\colon H\longrightarrow \mathbb {R}$

   ist ${}f$ genau dann integrierbar auf ${}H$, wenn die Hintereinanderschaltung ${}f\circ \varphi$ auf ${}G$ integrierbar ist. In diesem Fall gilt

   ${}\int _{H}f\,d\lambda ^{n}=\int _{G}(f\circ \varphi )\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,,$

   wobei ${}J(\varphi )$ die Determinante des totalen Differentials ${}D\varphi$ bezeichnet.
4. Es sei ${}M$ eine ${}n$- dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand ${}\partial M$ und mit abzählbarer Basis der Topologie, und es sei ${}\omega$ eine stetig differenzierbare ${}(n-1)$- Differentialform mit kompaktem Träger auf ${}M$. Dann ist

   ${}\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega \,.$

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Eine Bratpfanne hat einen Durchmesser von ${}30$ cm und wird mit Öl und mit ${}25$ kreisrunden Bratkartoffeln überschneidungsfrei bedeckt, die alle einen Durchmesser von ${}4$ cm und eine Höhe von ${}0{,}5$ cm haben. Das Öl bildet unterhalb der Bratkartoffeln einen dünnen Ölfilm von ${}0{,}1$ mm Höhe und erreicht in den Zwischenräumen eine Höhe von ${}1$ mm.

a) Wie viel Öl befindet sich in der Pfanne (rechne mit ${}\pi =3{,}14$; Einheit nicht vergessen)?

b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?

Lösung

a) Die Grundfläche der Pfanne ist ${}15^{2}\pi =225\pi$ und die Grundfläche einer Bratkartoffel ist ${}2^{2}\pi =4\pi$ (in Quadratzentimetern). Daher werden ${}25\cdot 4=100\pi$ Quadratzentimeter von den Kartoffeln bedeckt und ${}125\pi$ Quadratzentimeter nicht. Daher ist die Ölmenge in Kubikzentimetern

${}100\pi \cdot 0{,}01+125\pi \cdot 0{,}1=\pi +12{,}5\pi =13{,}5\pi \cong 13{,}5\cdot 3{,}14=42{,}39\,.$

In der Pfanne befindet sich also ${}42{,}39$ Kubikzentimeter Öl.

b) Es wurde dabei die Formel für die Kreisfläche (für die Grundfläche der Pfanne und der Kartoffeln), die Produktformel für das Maß (bei der Berechnung der Ölmenge aus Grundfläche und Höhe) einer Produktmenge und das Additivitätsprinzip für disjunkte Teilmengen (bei der Zerlegung in den bedeckten und den unbedeckten Teil) angewendet.

Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

Es sei ${}(X,{\mathcal {B}})$ ein Messraum und ${}\mu$ und ${}\nu$ seien Maße darauf.

a) Ist die durch

${}(\mu +\nu )(T):=\mu (T)+\nu (T)\,$

für ${}T\in {\mathcal {B}}$ definierte Abbildung ein Maß?

b) Ist die durch

${}(\mu *\nu )(T):={\max {\left(\mu (T),\nu (T)\right)}}\,$

für ${}T\in {\mathcal {B}}$ definierte Abbildung ein Maß?

Lösung

a) Die Summe ist ein Maß. Für eine disjunkte abzählbare Vereinigung ${}T=\bigcup _{i\in I}T_{i}$ gilt

${}{\begin{aligned}(\mu +\nu )(T)&=\mu (T)+\nu (T)\\&={\left(\sum _{i\in I}\mu (T_{i})\right)}+{\left(\sum _{i\in I}\nu (T_{i})\right)}\\&=\sum _{i\in I}{\left(\mu (T_{i})+\nu (T_{i})\right)}\\&=\sum _{i\in I}(\mu +\nu )(T_{i}),\end{aligned}}$

wobei im vorletzten Schritt der große Umordnungssatz verwendet wurde.

b) Durch das Maximum ergibt sich im Allgemeinen kein Maß. Dazu sei beispielsweise

${}T=\{x,y\}\,$

eine zweielementige Menge und ${}\mu$ sei das in ${}x$ konzentrierte Dirac-Maß und ${}\nu$ sei das in ${}y$ konzentrierte Dirac-Maß. Dann ist

${}\mu (T)=\nu (T)=1\,$

und damit ist auch das Maximum davon ${}1$. Ferner ist

${}{\max {\left(\mu (\{x\}),\nu (\{x\})\right)}}={\max {\left(1,0\right)}}=1\,$

und ebenso ${}{\max {\left(\mu (\{y\}),\nu (\{y\})\right)}}=1$. Würde ein Maß vorliegen, so müsste also

${}{\max {\left(\mu ,\nu \right)}}(T)={\max {\left(\mu ,\nu \right)}}(\{x\}\cup \{y\})=1+1=2\,$

sein.

Aufgabe (7 (2+3+2) Punkte)

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte reelle Folge,

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Abbildung und ${}y_{n}=f(x_{n})$ die Bildfolge. Es sei ${}H$ die Menge der Häufungspunkte von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}G$ die Menge der Häufungspunkte von ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.

a) Zeige ${}f(H)\subseteq G$.

b) Zeige

${}f{\left(\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\right)}\leq \operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\,.$

c) Zeige, dass die Abschätzung aus Teil b) echt sein kann.

Lösung

a) Es sei ${}x$ ein Häufungspunkt von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$. Dann gibt es eine gegen ${}x$ konvergente Teilfolge. Nach dem Folgenkriterium für die Stetigkeit konvergiert die Bildfolge dieser Teilfolge gegen ${}f(x)$, sodass ${}f(x)$ ein Häufungspunkt der Bildfolge ist.

b) Zu einer beschränkten Menge ${}H$ unter einer stetigen Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

ist stets

${}f{\left({\operatorname {sup} \,{\left(H\right)}}\right)}\leq {\operatorname {sup} \,{\left(f(H)\right)}}\,,$

da es eine Folge in ${}H$ gibt, die gegen das Supremum ${}s$ von ${}H$ konvergiert. Die Bildfolge davon konvergiert gegen ${}f(s)\leq {\operatorname {sup} \,{\left(f(H)\right)}}$. Wenn speziell ${}H$ die Menge der Häufungspunkte ist, so ergibt sich daraus und aus Teil a) die Abschätzung

${}f{\left(\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\right)}=f{\left({\operatorname {sup} \,{\left(H\right)}}\right)}\leq {\operatorname {sup} \,{\left(f(H)\right)}}\leq {\operatorname {sup} \,{\left(G\right)}}=\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\,.$

c) Wir betrachten die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die für gerade Indizes den Wert ${}1$ und für ungerade den Wert ${}-2$ besitzt. Die Häufungspunkte sind also ${}\{-2,1\}$, der Limes superior davon ist ${}1$. Es sei ${}f(x)=x^{2}$. Die Bildfolge schwankt zwischen ${}1$ und ${}4$ und somit ist der Limes superior der Bildfolge gleich ${}4$. Das ist echt größer als ${}f(1)=1$.

Aufgabe (5 Punkte)

Die rechteckige Grundseite (Unterseite) eines Bootes (unter Wasser) habe die Breite ${}2{\rm {m}}$ und die Länge ${}10{\rm {m}}$, die (ebenfalls rechteckige) Deckseite (Oberseite) habe die Breite ${}3{\rm {m}}$ und die Länge ${}12{\rm {m}}$, wobei die Seiten parallel zueinander seien und den Abstand ${}2{\rm {m}}$ besitzen. Die vier übrigen Seiten seien ebene Verbindungen zwischen Ober- und Unterseite. Das Boot wiegt mit Besatzung, aber ohne Ladung ${}12.000{\rm {kg}}$. Der Tiefgang des Bootes soll maximal ${}1,5{\rm {m}}$ betragen. Mit welcher Masse kann das Boot maximal beladen werden?

Lösung

Wir berechnen zuerst die Länge und die Breite der Querschnittsebene des Bootes zu einer Höhe ${}h$ über der Grundseite. Für die Länge gilt

${}L(h)=h+10\,,$

da die Abhängigkeit von der Höhe linear ist. Für die Breite gilt

${}B(h)={\frac {1}{2}}h+2\,.$

Daher ist der Flächeninhalt der Querschnittsfläche gleich

${}Q(h)=L(h)\cdot B(h)={\left(h+10\right)}{\left({\frac {1}{2}}h+2\right)}={\frac {1}{2}}h^{2}+7h+20\,$

Nach dem Cavalieri-Prinzip ist daher das Volumen (in Kubikmetern) des Bootes von der Grundseite bis zur Höhe ${}g$ gleich

${}V(g)=\int _{0}^{g}{\frac {1}{2}}h^{2}+7h+20\,dh={\frac {1}{6}}g^{3}+{\frac {7}{2}}g^{2}+20g\,.$

Für ${}g=1{,}5$ ergibt sich

${}{\begin{aligned}V(1{,}5)&={\frac {1}{6}}\cdot 1{,}5^{3}+{\frac {7}{2}}\cdot 1{,}5^{2}+20\cdot 1{,}5\\&=0{,}25\cdot 2{,}25+{\frac {7}{2}}\cdot 2{,}25+30\\&=0{,}5625+7{,}875+30\\&=38{,}4375\end{aligned}}$

in Kubikmetern. Der Auftrieb ist gleich dem Gewicht des verdrängten Wasservolumens. Also darf das Schiff maximal ${}38{,}4375$ Tonnen wiegen, sodass es eine Ladung von ${}26{,}4375$ Tonnen befördern kann.

Aufgabe (7 Punkte)

Beweise das Cavalieri-Prinzip für eine messbare Teilmenge ${}T\subseteq M\times N$.

Lösung

Wir zeigen zuerst, dass die Zuordnung

${\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,T\longmapsto \int _{M}\nu (T(x))\,d\mu (x),$

ein Maß auf der Produkt-${}\sigma$- Algebra ist. Es sei dazu ${}T=\biguplus _{i\in I}T_{i}$ eine abzählbare Zerlegung in paarweise disjunkte messbare Teilmengen. Nach Aufgabe ***** ist

${}{\begin{aligned}\int _{M}\nu (T(x))\,d\mu &=\int _{M}\nu {\left({\left(\biguplus _{i\in I}T_{i}\right)}(x)\right)}\,d\mu \\&=\int _{M}\nu {\left(\biguplus _{i\in I}T_{i}(x)\right)}\,d\mu \\&=\int _{M}\sum _{i\in I}\nu (T_{i}(x))\,d\mu \\&=\sum _{i\in I}\int _{M}\nu (T_{i}(x))\,d\mu ,\end{aligned}}$

sodass die ${}\sigma$- Additivität erfüllt ist.
Für einen Quader ${}A\times B$ ist

${}\int _{M}\nu ((A\times B)(x))\,d\mu =\int _{A}\nu (B)\,d\mu =\mu (A)\cdot \nu (B)\,.$

Aufgrund des Eindeutigkeitssatzes für das Produktmaß muss daher das durch das Integral definierte Maß mit dem Produktmaß übereinstimmen.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe für jeden Tangentialvektor ${}v\in T_{P}S^{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ mit ${}\Vert {v}\Vert =1$ in einem Punkt ${}P\in S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ auf der Einheitssphäre einen differenzierbaren Repräsentanten

$\gamma \colon I\longrightarrow S^{2}$

mit ${}\gamma (0)=P$ an.

Lösung

Es sei ${}P={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ und ${}v={\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}$. Beide Vektoren sind normiert und stehen senkrecht aufeinander, da die Tangentialebene an die Sphäre senkrecht auf dem Ortsvektor steht. Wir betrachten den Weg

$\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

mit

${}\gamma (t)={\left(\cos t\right)}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+{\left(\sin t\right)}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\,.$

Es ist

${}\Vert {\gamma (t)}\Vert =\cos ^{2}t+\sin ^{2}t=1\,,$

der Weg verläuft also ganz auf der Sphäre. Ferner ist

${}\gamma (0)={\left(\cos 0\right)}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+{\left(\sin 0\right)}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,$

und

${}\gamma '(0)=-{\left(\sin 0\right)}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+{\left(\cos 0\right)}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für differenzierbare Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$ mit ${}\operatorname {dim} _{}^{}{\left(M\right)},\,\operatorname {dim} _{}^{}{\left(N\right)}\geq 1$ und differenzierbare Abbildungen ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ und ${}\psi \colon N\rightarrow M$ derart, dass ${}\psi \circ \varphi =\operatorname {Id} _{M}$ und ${}\varphi \circ \psi \neq \operatorname {Id} _{N}$ gilt.

Lösung

Wir wählen ${}M=\mathbb {R}$ und ${}N=\mathbb {R} ^{2}$ und

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,x\longmapsto (x,0),$

und

$\psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x.$

Dann ist

${}{\left(\psi \circ \varphi \right)}(x)=\psi ((x,0))=x\,$

und

${}{\left(\varphi \circ \psi \right)}((x,y))=\varphi (x)=(x,0)\,.$

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}M$ eine kompakte topologische ${}d$-dimensionale Mannigfaltigkeit, ${}d\geq 1$. Zeige, dass es eine beschränkte offene Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ und eine stetige surjektive Abbildung

$\varphi \colon U\longrightarrow M$

gibt.

Lösung

Zu jedem Punkt ${}P\in M$ wählen wir eine offene Kartenumgebung ${}P\in U_{P}$ mit einer Karte

$\alpha _{P}\colon U_{P}\longrightarrow V_{P}$

mit ${}V_{P}\subseteq \mathbb {R} ^{d}$. Dabei können wir annehmen, indem wir zu einer Ballumgebung von ${}\alpha _{P}(P)\in V_{P}$ und dessen Urbild übergehen, dass die ${}V_{p}$ offene Bälle sind, deren Radius maximal ${}{\frac {1}{3}}$ ist. Die ${}U_{P}$, ${}P\in M$, überdecken die Mannigfaltigkeit. Wegen der Kompaktheit von ${}M$ gibt es endlich viele Punkte ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ derart, dass auch ${}U_{i}=U_{P_{i}}$, ${}i=1,\ldots ,n$, die Mannigfaltigkeit überdecken. Wir platzieren die offenen Bälle ${}V_{i}=V_{P_{i}}$ in („einem neuen“) ${}\mathbb {R} ^{d}$, und zwar mit den Mittelpunkten

$(1,0,\ldots ,0),(2,0,\ldots ,0),\ldots ,(n,0,\ldots ,0).$

Wegen der Radiusbedingung sind diese Bälle zueinander disjunkt. Wir betrachten die beschränkte offene Menge ${}U=\bigcup _{i=1}^{n}V_{i}$. Die Kartenabbildungen ${}\alpha _{i}$ liefern stetige Abbildungen

$\varphi _{i}:V_{i}{\stackrel {{\left(\alpha _{i}\right)}^{-1}}{\longrightarrow }}U_{i}\longrightarrow M.$

Wegen der Disjunktheit ergibt sich daraus durch ${}\varphi (z)=\varphi _{i}(z)$, falls ${}z\in V_{i}$ ist, eine stetige Abbildung

$\varphi \colon U\longrightarrow M.$

Wegen der Überdeckungseigenschaft ist diese surjektiv.

Aufgabe (7 (2+3+2) Punkte)

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

$\gamma \colon [1,2]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,t^{-1}),$

und

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto (u^{2},uv,-u+v^{2}),$

und die Differentialform

${}\omega =xdx-zdy+dz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$.

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ zum Weg ${}\gamma$.

c) Berechne (ohne Bezug auf b)) das Wegintegral zur Differentialform ${}\omega$ zum Weg ${}\varphi \circ \gamma$.

Lösung

a) Die zurückgezogene Differentialform ist

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}(xdx-zdy+dz)&=u^{2}du^{2}-(-u+v^{2})duv+d(-u+v^{2})\\&=2u^{3}du+(u-v^{2})(vdu+udv)-du+2vdv\\&=(2u^{3}+uv-v^{3}-1)du+(u^{2}-uv^{2}+2v)dv.\end{aligned}}$

b) Das Wegintegral ist

${}{\begin{aligned}\int _{1}^{2}(2t^{3}+1-t^{-3}-1)dt+(t^{2}-t^{-1}+2t^{-1})dt^{-1}&=\int _{1}^{2}(2t^{3}-t^{-3})dt+(t^{2}+t^{-1})dt^{-1}\\&=\int _{1}^{2}(2t^{3}-t^{-3})dt-(1+t^{-3})dt\\&=\int _{1}^{2}(2t^{3}-2t^{-3}-1)dt\\&={\left({\frac {1}{2}}t^{4}+t^{-2}-t\right)}|_{1}^{2}\\&=8+{\frac {1}{4}}-2-{\frac {1}{2}}-1+1\\&=5+{\frac {3}{4}}.\end{aligned}}$

c) Der verknüpfte Weg ist

${}\psi (t)=(t^{2},1,-t+t^{-2})\,.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}\int _{1}^{2}\psi ^{*}(xdx-zdy+dz)&=\int _{1}^{2}t^{2}dt^{2}+d(-t+t^{-2})\\&=\int _{1}^{2}(2t^{3}-1-2t^{-3})dt\\&=5+{\frac {3}{4}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (10 Punkte)

Beweise die Quaderversion des Satzes von Stokes.

Lösung

Da beide Seiten dieser Gleichung linear in ${}\omega$ sind, können wir annehmen, dass ${}\omega$ die Gestalt

${}\omega =fdx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$

mit einer in einer offenen Umgebung von ${}Q$ definierten stetig differenzierbaren Funktion ${}f$ besitzt. Die Integrale sind links und rechts Lebesgue-Integrale zu stetigen Funktionen auf Teilmengen des ${}\mathbb {R} ^{n}$ bzw. ${}\mathbb {R} ^{n-1}$. Daher können wir auf beiden Seiten zum topologischen Abschluss übergehen, da dadurch die in Frage stehenden Integrationsbereiche nur um eine Nullmenge verändert werden, sodass dies die Integrale nicht ändert.

Wir schreiben den abgeschlossenen Quader als

${}{\overline {Q}}=[a,b]\times {\tilde {Q}}\,.$

Wir wenden Fakt ***** auf jede Seite ${}S$ ausgenommen ${}a\times {\tilde {Q}}$ und ${}b\times {\tilde {Q}}$ an und erhalten darauf

${}\int _{S}\omega =\int _{S}fdx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}=\int _{S}0=0\,,$

da auf diesen Seiten jeweils eine der Variablen ${}x_{2},\ldots ,x_{n}$ konstant ist. Aufgrund des Satzes von Fubini und des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung (angewendet auf jedes fixierte $(x_{2},\ldots ,x_{n})$) gilt

${}{\begin{aligned}\int _{Q}d\omega &=\int _{Q}df\wedge dx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\int _{Q}{\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}dx_{j}\right)}\wedge dx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\int _{Q}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\int _{\tilde {Q}}{\left(\int _{[a,b]}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}dx_{1}\right)}dx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\int _{\tilde {Q}}{\left(f(b,x_{2},\ldots ,x_{n})-f(a,x_{2},\ldots ,x_{n})\right)}dx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\int _{b\times {\tilde {Q}}}fdx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}-\int _{a\times {\tilde {Q}}}fdx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\sum _{S{\text{ orientierte Seite von }}Q}\int _{S}fdx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\int _{\partial Q}fdx_{2}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\int _{\partial Q}\omega .\end{aligned}}$