Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 25/kontrolle
- Übungsaufgaben
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und das triviale Vektorbündel über vom Rang . Es sei eine - Differentialform auf . Zeige die folgenden Aussagen.
- Die Abbildung
definiert einen Zusammenhang.
- Die vertikale Ableitung zu dem Zusammenhang ist für stetig differenzierbare Funktionen
auf einer offenen Menge
durch
gegeben (hierbei identifizieren wir auf beiden Seiten eine reellwertige Funktion mit dem Schnitt , .)
- Eine stetig differenzierbare Funktion ist genau dann ein horizontaler Schnitt über bezüglich , wenn eine Stammform zu über ist.
- Die Form ist genau dann geschlossen, wenn der Zusammenhang lokal integrabel ist.
- Die Form ist genau dann exakt, wenn der Zusammenhang global integrabel ist.
Wir betrachten das triviale Vektorbündel
Beschreibe einen Zusammenhang auf derart, dass es keinen horizontalen Schnitt gibt.
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und das triviale Vektorbündel über vom Rang . Es sei eine - Differentialform auf . Zeige die folgenden Aussagen.
- Die Abbildung
definiert einen Zusammenhang.
- Die vertikale Ableitung zu dem Zusammenhang ist für stetig differenzierbare Funktionen
auf einer offenen Menge
durch
gegeben (hierbei identifizieren wir auf beiden Seiten eine reellwertige Funktion mit dem Schnitt , .)
- Eine nullstellenfreie stetig differenzierbare Funktion ist genau dann ein horizontaler Schnitt über bezüglich , wenn eine Stammform zu über ist.
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein differenzierbares Vektorbündel auf , das mit einem Zusammenhang versehen sei. Zeige, dass ein stetig differenzierbarer Schnitt auf einer offenen Menge genau dann horizontal ist, wenn seine vertikale Ableitung ist.
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein differenzierbares Vektorbündel auf , das mit einem Zusammenhang versehen sei. Es sei eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer differenzierbaren Abbildung . Zeige, dass ein stetig differenzierbarer Schnitt über genau dann horizontal ist, wenn seine vertikale Ableitung ist.
Für die folgende Aufgabe verwende man
Aufgabe 25.21.
Es sei ein Vektorbündel vom Rang über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit , das mit einem global integrablen Zusammenhang versehen sei. Zeige, dass es (auf definierte) horizontale Schnitte in derart gibt, dass
ein Isomorphismus von Vektorbündeln ist.
Es sei ein Vektorbündel vom Rang über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit , das mit einem linearen global integrablen Zusammenhang versehen sei. Zeige, dass es (auf definierte) horizontale Schnitte in derart gibt, dass unter dem Isomorphismus von Vektorbündeln
die Christoffelsymbole für den Zusammenhang bezüglich der Basisschnitte trivial sind.
Es sei ein zeitabhängiges stetiges Vektorfeld
mit dem zugehörigen gewöhnlichen Differentialgleichungssystem
auf einem offenen Intervall gegeben.
- Zeige, dass durch
ein (die vertikale Projektion für einen) Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel
gegeben ist.
- Bestimme die
vertikale Ableitung
zu einer
differenzierbaren Kurve
(aufgefasst als Schnitt in ).
- Zeige, dass eine differenzierbare Kurve genau dann eine Lösung des Differentialgleichungssystems ist, wenn ein horizontaler Schnitt bezüglich des Zusammenhangs ist.
Es sei ein linearer Zusammenhang auf einem differenzierbaren Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit . Zeige, dass der Nullschnitt horizontal ist.
Es sei der triviale Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel zu einem reellen Vektorraum über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit . Zeige, dass linear ist.
Es sei eine offene Teilmenge und es sei der triviale Zusammenhang auf . Zeige, dass die Christoffelsymbole und die vertikale Ableitung des Zusammenhangs folgende Eigenschaften erfüllen.
- Die Christoffelsymbole sind
für alle .
- Es ist
für die Standardvektorfelder .
- Es ist
für differenzierbare Funktionen .
- Zu einem Vektorfeld und einem differenzierbaren Vektorfeld auf ist
Wir betrachten auf dem trivialen Vektorbündel über den trivialen Zusammenhang .
- Zeige, dass und Basisschnitte des Vektorbündels sind.
- Drücke die Standardbasisschnitte als Linearkombination der Basisschnitte aus.
- Bestimme die Christoffelsymbole von bezüglich dieser Basisschnitte.
Wir betrachten auf dem trivialen Vektorbündel über den trivialen Zusammenhang .
- Zeige, dass und Basisschnitte des Vektorbündels auf sind.
- Bestimme die Christoffelsymbole von bezüglich dieser Basisschnitte auf .
Es sei ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem
auf einem offenen Intervall mit
(dabei ist der Zeilenindex und der Spaltenindex) mit stetigen Funktionen
gegeben. Diese Funktionen fassen wir über
als Christoffelsymbole (mit ) für den linearen Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel im Sinne von Bemerkung 25.8 auf. Zeige, dass eine differenzierbare Kurve
genau dann eine Lösung des Differentialgleichungssystems ist, wenn ein horizontaler Schnitt bezüglich des Zusammenhangs ist.
Es sei , offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei eine differenzierbare Kurve. Es sei
ein differenzierbares Vektorfeld längs , d.h. es liegt ein kommutatives Diagramm
vor. Zeige, dass genau dann parallel längs ist, wenn ein horizontaler Schnitt bezüglich des (mit Hilfe der orthogonalen Projektion definierten) Zusammenhangs auf ist.
Es sei , offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei der (mit Hilfe der orthogonalen Projektion definierte) Zusammenhang auf . Zeige, dass linear ist.
Es seien und lineare Zusammenhänge auf einem differenzierbaren Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit . Es seien
stetig differenzierbare Funktionen mit . Zeige, dass ebenfalls ein (wie definierter?) linearer Zusammenhang auf ist.
Es sei eine offene Überdeckung einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit , auf der das differenzierbare Vektorbündel trivialisiert. Es sei der triviale Zusammenhang auf und es sei , eine der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins, , . Zeige, dass ein wohldefinierter linearer Zusammenhang auf ist.
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei eine stetige - Differentialform auf . Zeige, dass die Abbildung
die Leibniz-Regel aus Satz 25.5 erfüllt.
Es sei ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit . Es sei selbst eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass auf ein linearer Zusammenhang gegeben ist, indem man zum Vertikalbündel über das orthogonale Komplement ein Horizontalbündel definiert.
Es sei ein Vektorbündel über der differenzierbaren Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie. Zeige mit Aufgabe 22.15 und mit Aufgabe 25.18, dass es auf einen linearen Zusammenhang gibt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (5 (3+2) Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei der Einheitskreis mit dem Tangentialbündel .
- Beschreibe einen Zusammenhang auf derart, dass es keinen horizontalen Schnitt auf ganz gibt.
- Bestimme einen horizontalen Schnitt zum Zusammenhang aus (1) längs der Abbildung
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein differenzierbares Vektorbündel auf , das mit einem Zusammenhang versehen sei. Es sei eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer differenzierbaren Abbildung . Es sei zusammenhängend und seien horizontale Schnitte über mit für einen Punkt . Zeige .
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein differenzierbares Vektorbündel auf , das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei und es sei ein Vektorfeld auf . Zeige, dass für jeden differenzierbaren Schnitt in und jede differenzierbare Funktion (die beide auf einer offenen Menge definiert sind) die Beziehung
gilt.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe ein Beispiel für einen linearen Zusammenhang auf einem Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit derart, dass der Vektorraum der horizontalen Schnitte eine Vektorraumdimension besitzt, die größer als der Rang von ist.