Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesung 24

Zu einer differenzierbaren Hyperfläche ist für jeden Punkt der Tangentialraum ein Untervektorraum und das Standardskalarprodukt des erlaubt über die orthogonale Projektion

Daten im umgebenden Raum auf der Hyperfläche zu interpretieren und dadurch wichtige Konzepte für einzuführen, wie beispielsweise die tangentiale Beschleunigung, geodätische Kurven, die Krümmung, die kovariante Ableitung eines Vektorfeldes, ein paralleles Vektorfeld und den Paralleltransport. Das Standardskalarprodukt definiert aber auch eine riemannsche Struktur auf , und es erhebt sich die Frage, ob man die eben erwähnten Konzepte auch intrinsisch, nur durch Kenntnis von und ihrer riemannschen Struktur, definieren kann (beispielsweise für die hyperbolische Fläche). Um diese Frage beantworten zu können, muss man eine neue Technik einführen, die sogenannten Zusammenhänge auf einem Vektorbündel und insbesondere auf dem Tangentialbündel einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Im Fall einer riemannschen Mannigfaltigkeit ergibt sich in kanonischer Weise der sogenannte Levi-Civita-Zusammenhang (siehe Satz 26.12), mit dem man die oben erwähnten Konzepte intrinsisch erfassen kann.



Zusammenhänge

Es sei eine reelle differenzierbare Mannigfaltigkeit und

ein Vektorbündel über , das wir ebenfalls als eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ansetzen. Die Tangentialabbildung ist eine Abbildung , die in dem kommutativen Diagramm

liegt, und wobei für jeden Punkt mit Basispunkt die lineare Tangentialabbildung

vorliegt. Diese ist surjektiv, was beispielsweise daraus folgt, dass es bei einem Vektorbündel lokal durch jeden Punkt einen Schnitt gibt. Um eine gemeinsame Basis zu haben, fassen wir als Bündelabbildung

von Vektorbündeln über auf. Dabei ist

die direkte Summe von Vektorbündeln über , siehe Aufgabe 12.24, wobei wir hier als Vektorbündel über auffassen. Die Faser von über einem Punkt mit Basispunkt ist einfach und die Abbildung in der Faser ist nach wie vor

wobei es in für jedes eine Kopie von gibt.

Es sei ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit . Für eine offene Menge , über der trivialisiert, also die Gestalt mit einem -Vektorraum hat, ist

und die Tangentialabbildung zu ist dabei die Projektion auf . Als Bündelhomomorphismus über muss man

und

mit der Projektion auf und der zweiten Projektion auf nehmen.



Es sei ein differenzierbares Vektorbündel auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit . Das Kernbündel des surjektiven Bündelhomomorphismus

über heißt Vertikalbündel. Es wird mit bezeichnet.

Das Vertikalbündel ist ein Vektorbündel über nach Aufgabe 12.19 und zwar ein Untervektorbündel von .



Es sei ein differenzierbares Vektorbündel auf einer - differenzierbaren Mannigfaltigkeit . Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Es liegt eine kurze exakte Sequenz

    von Homomorphismen von Vektorbündeln über vor.

  2. Für das Vertikalbündel liegt eine Bündelisomorphie vor.
  3. Für jeden Punkt liegt eine kurze exakte Sequenz von Vektorräumen

    vor.

  1. Dies ist klar.
  2. Es gibt einen injektiven Homomorphismus von Vektorbündeln

    über , der , , auf den Tangentialvektor abbildet, der durch die (vertikale) differenzierbare Kurve

    gegeben ist. Unter

    werden diese Tangentialvektoren auf abgebildet, da ja die repräsentierende Kurve unter auf abgebildet wird. Daher ist und aus Ranggründen liegt eine Isomorphie vor.


Häufig ist das Vektorbündel gleich dem Tangentialbündel von , dann liegt eine kurze exakte Sequenz

vor, und man muss stets sorgfältig unterscheiden, ob man das Tangentialbündel links oder rechts meint.

Es sei

eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und die zugehörige differenzierbare Hyperfläche, die in jedem Punkt regulär sei. Das Tangentialbündel lässt sich ebenfalls als eine Faser von Funktionen beschreiben, nämlich als

siehe Aufgabe 10.15. Wir fassen dabei als Funktion auf dem auf, die nur von den ersten Variablen abhängt, und wir setzen

Das zweite Tangentialbündel , also das Tangentialbündel zu , können wir entsprechend mit dem totalen Differential zu

beschreiben, es ist

Die Jacobi-Matrix, die das totale Differential beschreibt, ist

Dies ergibt neben den beiden Bedingungen für den , die sich nur auf und beziehen, die beiden zusätzlichen Bedingungen an alle Variablen, nämlich

und


Es sei

eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und die zugehörige differenzierbare Hyperfläche, die in jedem Punkt regulär sei. Wir knüpfen an die Beschreibung des zweiten Tangentialbündels aus Bemerkung 24.4 mit den dortigen Bezeichnungen an. Das zurückgezogene Tangentialbündel zu

das zugleich das Vertikalbündel ist, ist

Wir müssen bestimmen, wie die tangentiale Abbildung und wie die Einbettung des Vertikalbündels in aussieht. Nach Aufgabe 24.2 ist

Der Kern davon ist

wobei man direkt sieht, dass dann die Bedingung für erfüllt. Die Bündelhomomorphismen in der kurzen exakten Sequenz

kann man also in Koordinaten als und schreiben.

Wenn das triviale Bündel ist, also , so gibt es eine direkte Zerlegung (über ) . Für jeden Punkt repräsentieren dann die Tangentialvektoren die vertikalen Richtungen und die „horizontalen Richtungen“. Für jedes Vektorbündel kann man lokal mit Hilfe von Trivialisierungen den Tangentialraum in die direkte Summe aus vertikalem Raum und horizontalem Raum zerlegen. Allerdings hängen die horizontalen Unterräume wesentlich von der gewählten Trivialisierung ab und lassen sich nicht ohne Weiteres (im Gegensatz zu den vertikalen Unterräumen, die zusammen das Vertikalbündel bilden) zu einem Unterbündel zusammenfassen. Die Existenz eines solchen Bündels wird durch den Begriff des Zusammenhangs beschrieben.


Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein differenzierbares Vektorbündel auf . Unter einem Zusammenhang auf versteht man eine direkte Summenzerlegung des Tangentialbündels in zwei Untervektorbündel und , wobei das Vertikalbündel ist. Das Unterbündel nennt man das Horizontalbündel des Zusammenhangs.

Ein Zusammenhang wird zumeist kurz als bezeichnet, insbesondere, wenn man die durch einen Zusammenhang bestimmten Ableitungsprozesse betonen möchte. Gemäß dieser Definition ist also ein Zusammenhang nichts anderes als ein zum Vertikalbündel komplementäres Unterbündel des Tangentialbündels . Es gibt einige inhaltlich äquivalente Beschreibungen eines Zusammenhangs. Ein Zusammenhang ist äquivalent zu einem Bündelhomomorphismus (der Vertikalprojektion des Zusammenhangs)

mit

wobei die Einbettung von in bezeichne. Das horizontale Bündel ist dann der Kern von , und umgekehrt liefert die Summenzerlegung eine Projektion auf die beiden Summanden. Eine solche Summenzerlegung nennt man auch eine Spaltung der kurzen exakten Sequenz. Einen Zusammenhang kann man auf jede offene Teilmenge einschränken.


Auf dem trivialen Bündel

wobei einen reellen Vektorraum der Dimension und eine differenzierbare Mannigfaltigkeit bezeichnet, liegt die kurze exakte Sequenz

von Vektorbündeln über vor. Die Produkte werden dabei absolut genommen, wobei links die Identifizierung und rechts die Identifizierung vorgenommen wurde. Zu einem Punkt gehört die exakte Sequenz der Fasern, also

Die triviale Spaltung dieser kurzen exakten Sequenz von Vektorbündeln nennt man den trivialen Zusammenhang auf dem trivialen Bündel.


Es sei

eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und die zugehörige differenzierbare Hyperfläche, die in jedem Punkt regulär sei. Wir knüpfen an die Beschreibung des zweiten Tangentialbündels aus Bemerkung 24.4 und an die Bündelhomomorphismen aus Bemerkung 24.5 an. Durch die orthogonale Projektion erhält man die vertikale Projektion

auf das Vertikalbündel. Durch die orthogonale Projektion gehört zum Tangentialraum an , wenn man mit einem Vektor startet, so ist in das hintere automatisch im Tangentialraum, die orthogonale Projektion bildet solche Elemente also auf zurück ab. Es ergibt sich also ein Zusammenhang auf .



Vertikale Ableitung

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein differenzierbares Vektorbündel auf , das mit einem Zusammenhang versehen sei. Unter der vertikalen Ableitung versteht man die Abbildung

Zu einem differenzierbaren Schnitt in (über oder einer beliebigen offenen Teilmenge ) wird also die Abbildung

zugeordnet, wobei wir auffassen.

Wenn zusätzlich ein Vektorfeld auf , also ein Schnitt im Tangentialbündel gegeben ist, so erhält man die Abbildung

die man die vertikale Ableitung in Richtung nennt. Man beachte, dass dabei die Abhängigkeit vom Vektorfeld nur punktweise ist, die Abhängigkeit von aber infinitesimal ist, da die Tangentialabbildung eingeht.



Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein differenzierbares Vektorbündel auf , das mit einem Zusammenhang versehen sei. Es bezeichne

den zugehörigen Ableitungsoperator zu einem Vektorfeld . Dann gelten die folgenden Eigenschaften.

  1. hängt nur von (und ab).
  2. Es ist

    für Vektorfelder und Funktionen .

  1. Zu einem fixierten Punkt und einem fixierten Schnitt zu einer offenen Menge ist
  2. Die Tangentialabbildung und die vertikale Projektion sind linear. Wegen (1) ist die Abhängigkeit von linear und auch mit der Multiplikation von Funktionen verträglich.



Es sei , offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei

ein tangentiales Vektorfeld.

Dann stimmt die vertikale Ableitung zum Zusammenhang aus Bemerkung 24.8 mit der kovarianten Ableitung überein.

Die vertikale Ableitung längs des Zusammenhangs eines differenzierbaren Schnittes ist

Dabei bildet einen Punkt auf in der Notation von Bemerkung 24.8 ab und dieses wird auf abgebildet. Dies stimmt mit der Definition der kovarianten Ableitung überein.



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