Kurs:Funktionentheorie/1/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
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Punkte | 3 | 3 | 4 | 4 | 3 | 4 | 3 | 3 | 7 | 3 | 4 | 5 | 2 | 5 | 9 | 2 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine Stammfunktion einer Abbildung auf einer offenen Menge .
- Eine
offene Abbildung
zwischen topologischen Räumen.
- Die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge
auf einer Teilmenge .
- Eine analytische Funktion auf einer offenen Teilmenge .
- Der Hauptteil zu einer Laurent-Reihe .
- Eine elliptische Funktion zu einem Gitter .
- Eine Funktion
heißt Stammfunktion zu , wenn auf differenzierbar ist und für alle gilt.
- Stetige Abbildung/Offene Abbildung/Definition/Begriff/Inhalt
- Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion
derart gibt, dass es zu jedem ein mit
gibt.
- Analytische Funktion/Eine Variable/Komplex/Definition/Begriff/Inhalt
- Laurent-Reihe/Formal/Hauptteil/Definition/Begriff/Inhalt
- Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktion/Definition/Begriff/Inhalt
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.
- Das Maximumsprinzip für holomorphe Funktionen.
- Der Satz über die Homotopieinvarianz von Wegintegralen.
- Es sei
offen
und
eine im Punkt
reell
total differenzierbare
Abbildung. Es sei
mit reellwertigen Funktionen
.
Sei
.
Dann ist genau dann in
komplex differenzierbar,
wenn für die reellen
partiellen Ableitungen
die Beziehungen
- Es sei
ein
Gebiet
und sei
eine
holomorphe Funktion
mit der Eigenschaft: Es gebe einen Punkt
mit
für alle .
Dann ist konstant. - Es sei
eine auf einer
offenen Menge
definierte
holomorphe Funktion
und seien
stetige Wege mit und , die zueinander homotop seien.
Dann ist
Aufgabe (4 Punkte)
Schildern Sie wesentliche Unterschiede zwischen der reellen Analysis und der komplexen Analysis in einer Variablen (Funktionentheorie).
Lösung Funktionentheorie/Vergleich mit R/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (4 Punkte)
Charakterisiere diejenigen komplex differenzierbaren Abbildungen
mit der Eigenschaft, dass
für alle gilt.
Lösung C nach C/Komplex-differenzierbar/Imaginärteil identisch/Charakterisierung/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei offen und seien reell total differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die holomorphe Ableitung die Quotientenregel
auf dem nullstellenfreien Ort zu erfüllt.
Wir verwenden die Quotientenregel für die beiden partielle Ableitungen, also
und
die in dieser Form auf Aufgabe 4.3 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) beruht. Somit ist
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad der Funktion
im Entwicklungspunkt .
Es ist
Für die erste Ableitung gilt
und somit
Für die zweite Ableitung gilt
und somit
Das Taylor-Polynom vom Grad ist daher
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei
eine formale Potenzreihe mit . Berechne und in der Rekursion mit .
Es ist
und
Aufgabe (3 Punkte)
Es seien und offene Teilmengen und sei
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei
eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der Kettenregel, dass
gilt, wobei das Zurückziehen von Differentialformen bezeichnet.
Es sei und . Es ist einerseits
Andererseits ist auch
Aufgabe (7 (2+3+2) Punkte)
Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen
und
und die Differentialform
auf dem .
a) Berechne die zurückgezogene Differentialform auf dem .
b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform zum Weg .
c) Berechne (ohne Bezug auf b)) das Wegintegral zur Differentialform zum Weg .
a) Die zurückgezogene Differentialform ist
b) Das Wegintegral ist
c) Der verknüpfte Weg ist
Somit ist
Aufgabe (3 Punkte)
Beweise den Satz von Liouville.
Es sei für alle . Man kann dann Lemma 15.1 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) für die Potenzreihe (für einen beliebigen Entwicklungspunkt ) für jeden Radius anwenden und erhält
woraus für alle folgt.
Aufgabe (4 Punkte)
Der Vorfaktor ist irrelvant, wir arbeiten mit
Es ist
die Bedingung
führt auf und durch Multiplikation mit auf
Die Lösungen sind
mit . Die zweite Ableitung hat keine Nullstelle, also ist der lokale Exponent in den Punkten gleich und in alle anderen Punkten gleich .
Aufgabe (5 Punkte)
Bestimme die Hauptteile für jeden Punkt der meromorphen Funktion .
Die Nullstellen des Sinus sind mit . Außerhalb davon sind alle Hauptteile gleich . Wegen der -Periodizität stimmen die Potenzreihenentwicklungen für den Sinus in für gerade untereinander und die Potenzreihenentwicklungen für den Sinus in für ungerade untereinander überein (abgesehen davon, dass sie sich auf verschobene Variablen beziehen). Wir müssen also im Wesentlichen die Hauptteile für und bestimmen.
Die Entwicklung in beginnt
Der hintere Faktor ist eine Einheit, und die Potenzreihenentwicklung der inversen Reihe beginnt mit . Daher ist die Polordnung gleich und der Hauptteil ist . Für mit gerade ist der Hauptteil gleich .
Die Entwicklung in beginnt (wegen der Ableitung)
Der hintere Faktor ist eine Einheit, und die Potenzreihenentwicklung der inversen Reihe beginnt mit . Daher ist die Polordnung gleich und der Hauptteil ist . Für mit ungerade ist der Hauptteil gleich .
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei . Zeige, dass es Punkte derart gibt, dass es auf
eine von der Identität verschiedene biholomorphe Abbildung gibt.
Es seien , die verschiedenen -ten Einheitswurzeln und
Dann ist die Multiplikation mit eine nichttriviale biholomorphe Abbildung von nach , die in überführt und dadurch einen Automorphismus auf induziert.
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei eine offene Menge mit und sei eine holomorphe Funktion mit
Zeige, dass
(mit einer Konstanten ) auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von gilt.
Es sei , wobei die gleiche Eigenschaft besitzt. Wir betrachten die Bedingung
Für einen beliebigen Punkt legt diese über
ein (nicht eindeutiges) fest. Es gilt dann
und
Also ist
konstant auf jeder offenen zusammenhängenden Umgebung von und damit ist
und wegen der durch festgelegten Bedingung ist .
Aufgabe (9 Punkte)
Beweise den riemannschen Abbildungssatz.
Nach Lemma 25.4 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) gibt es zumindest eine injektive holomorphe Abbildung . Wir betrachten von nun an direkt , durch einen Automorphismus der Kreisscheibe (siehe Aufgabe *****) können wir zusätzlich annehmen. Wir betrachten die Funktionenmenge
und zeigen zunächst, dass abgeschlossen in der Topologie der kompakten Konvergenz ist. Dazu sei eine in kompakt konvergente Folge in mit der Grenzfunktion . Aufgrund von Satz 24.7 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) liegt Konvergenz in vor. Die Grenzfunktion ist injektiv oder konstant nach Korollar 25.3 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)). Nach Satz 24.7 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) konvergieren auch die Ableitungen gegen und somit ist insbesondere
Dies schließt aus, dass die Grenzfunktion konstant ist, und sichert die Injektivität. Das Bild der Grenzfunktion liegt aufgrund der Konvergenz in der abgeschlossenen Kreisscheibe, aber aufgrund des Offenheitssatzes auch in der offenen Kreisscheibe. Die Funktionenmenge ist unmittelbar beschränkt. Der Satz von Montel ergibt mit Satz 33.16 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und Fakt *****, dass kompakt ist.
Die Abbildung
ist nach Korollar 24.9 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) stetig in der Topologie der kompakten Konvergenz und daher ist auch die Abbildung
stetig. Nach Lemma 17.6 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) ist die Betragsmenge ebenfalls kompakt und daher nach Satz 17.5 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) abgeschlossen und beschränkt und enthält nach Korollar 33.18 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ihr Maximum. Es sei eine Funktion mit der Eigenschaft, dass dieses Maximum ist. Mit Lemma 25.5 (Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)) folgt, dass surjektiv ist.
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei . Es ist offenbar . Mit und ist
und zunächst und daher auch , also ist unter der Addition und der Multiplikation abgeschlossen.