Lösung
- Ein
Normalenfeld
auf ist ein auf einer offenen Umgebung
definiertes
stetiges
Vektorfeld
mit
-
für alle
.
- Ein
topologischer Raum
heißt überdeckungskompakt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung
-
eine endliche Teilmenge derart gibt, dass
-
ist.
- Unter dem Kotangentialraum an versteht man den
Dualraum
des
Tangentialraumes
an .
- Der Punkt
heißt regulär für , wenn die
Tangentialabbildung
-
im Punkt
maximalen Rang
besitzt.
- Es seien
und
die
Atlanten
von
und .
Dann nennt man den
Produktraum
versehen mit den
Karten
-
(mit und )
das Produkt der Mannigfaltigkeiten
und .
- Unter einem
Zusammenhang
auf versteht man eine direkte Summenzerlegung des
Tangentialbündels
in zwei Untervektorbündel
und ,
wobei
das
Vertikalbündel
ist.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der
Satz über die Beziehung zwischen Krümmung und Einheitsnormalenvektor einer bogenparametrisierten ebenen Kurve.
- Das
Theorema egregium.
- Der
Satz von Green
für den Flächeninhalt.
Lösung
- Es sei
eine zweifach
stetig differenzierbare
bogenparametrisierte
Kurve.
Dann ist die
Krümmung
von in gleich
-
wobei
-
ein Einheitsnormalenvektor in ist.
- Es sei
eine
orientierte Fläche
und sei
-
,
eine zweifach differenzierbare lokale Parametrisierung von mit den Parametern . Es sei die
erste Fundamentalmatrix
auf .
Dann gilt für die
Gaußsche Krümmung
unter Verwendung der
Christoffelsymbole
die Beziehung
-
- Es sei eine
kompakte
Mannigfaltigkeit mit Rand
. Dann ist der Flächeninhalt von gleich
-
Lösung
Beweise den Existenzsatz für den Paralleltransport auf einer Hyperfläche
.
Lösung
Wir suchen nach einer differenzierbaren Abbildung
-
das die Bedingungnen
-
-
für alle
,
-
für alle
,
-
erfüllt. Die erste Bedingung bedeutet, dass senkrecht auf dem Normaleneinheitsvektors steht, also
-
Daher ist auch
-
Die zweite Bedingung, dass im Normalenraum liegt, bedeutet
-
für alle
,
was wir mit Hilfe der vorstehenden Gleichung zu
-
für alle
bzw. zu
-
für alle
umformen können. Hier steht eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung erster Ordnung für , die zusammen mit der Anfangsbedingung
nach
Satz 56.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
eine eindeutige Lösung besitzt. Es kann also höchstens eine Lösung der Ausgangsgleichung geben. Wenn die eindeutige Lösung der Differentialgleichung ist, so liegt in der Tat eine Lösung der Ausgangsgleichung vor.
Lösung
Wir betrachten Funktionen der Bauart
-
mit
-
mit einem Parameter
.
Dabei ist stetig und auch stetig differenzierbar, da die Nullstellen des Polynoms doppelt sind. Somit ist auch stetig differenzierbar. Für hinreichend klein ist streng wachsend und definiert eine stetig differenzierbare bijektive Abbildung des Einheitsintervalls in sich, die im unteren und im oberen Drittel die Identität ist.
Mit definieren wir Diffeomorphismen des offenen Einheitsballes in sich, durch
-
Es wird also der Punkt abhängig vom Radius gestreckt, wobei auf und auf die Identität vorliegt.
Wenn nun eine Mannigfaltigkeit der Dimension ist, so wählen wir eine Karte
-
mit
,
wobei wir
(durch verkleinern)
davon ausgehen können, dass
(ein offener Ball und dann auch)
der offene Einheitsball ist. Die konstruierten Diffeomorphismen auf liefern Diffeomorphismen auf . Da diese für den äußeren Ball
(ab Radius )
die Identität sind, kann man diese Diffeomorphismen auf durch die Identität auf diffeomorph ausdehnen.
Lösung
Lösung
Es ist
und
Somit ist
Beweise den Satz über die Berechnung des kanonischen Volumens auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit .
Lösung
Gemäß der
Definition .
müssen wir die Differentialform für jeden Punkt
berechnen. Diese Form besitzt die Gestalt und ist durch ihren Wert auf festgelegt. Es ist
-
Nach Definition der metrischen Fundamentalmatrix ist
-
Nach
Satz 7.8 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023))
ist
Lösung
a) Der Rand einer Mannigfaltigkeit mit Rand ist nach
Lemma 21.3 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) (2)
abgeschlossen,
das offene Intervall als Teilmenge des ist aber nicht abgeschlossen.
b) Der Rand einer Mannigfaltigkeit mit Rand ist nach
Satz 21.4 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))
eine Mannigfaltigkeit ohne Rand, das abgeschlossene Intervall besitzt aber Randpunkte.
c) Es sei angenommen, dass eine Mannigfaltigkeit mit dem Rand ist. Zu gibt es dann eine offene Umgebung und eine Homöomorphie
-
mit einer offenen Menge , wobei eine Halbebene bezeichnet. Dabei können wir durch eine kleinere offene Halbballumgebung um ersetzen. Bei einer solchen Karte werden nach
Lemma 21.3 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) (2)
Randpunkte auf Randpunkte abgebildet, d.h. es ist
-
Damit erhält man auch eine Homöomorphie zwischen den Komplementen, also zwischen
und .
Die Halbballumgebung rechts ist aber
wegzusammenhängend,
wohingegen die Menge links die disjunkte Vereinigung der Schnitte mit der positiven bzw. der negativen Hälfte ist, die beide offen und auch nicht leer sind, da eine Ballumgebung von enthält. Daher ist die Menge links nicht zusammenhängend und es kann keine Homöomorphie geben.
d) wie c).
Lösung
Wir wenden
den Satz von Stokes
auf die Kugeln mit dem Rand
(mit Mittelpunkt und Radius ) an und erhalten
wobei wir für das letzte Gleichheitszeichen die Stetigkeit von benutzt haben.
Beweise den Satz von Stokes für Mannigfaltigkeiten mit Rand.
Lösung
Es sei
, ,
eine
offene Überdeckung
von mit
orientierten Karten
und es sei
, ,
eine dieser
Überdeckung untergeordnete stetig differenzierbare Partition der Eins,
die nach
Satz 22.10 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))
existiert. Zu jedem
gibt es eine offene Umgebung
derart, dass
bis auf endlich viele Ausnahmen ist. Es sei der Träger von . Die Überdeckung
besitzt wegen der vorausgesetzten
Kompaktheit
eine endliche Teilüberdeckung, sagen wir
-
Daher sind überhaupt nur endlich viele der auf von verschieden. Wir setzen
;
diese Differentialformen sind ebenfalls stetig differenzierbar. Der Träger von ist eine in
abgeschlossene Teilmenge,
die in liegt, daher liegt der Träger von in und ist selbst kompakt nach
Aufgabe 13.10 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)).
Es gilt
-
wobei nur endlich viele dieser Differentialformen von verschieden sind, da
für alle ist und
-
für alle bis auf endlich viele Ausnahmen. Wegen der
Additivität des Integrals von Differentialformen
und der
Additivität der äußeren Ableitung
kann man die Aussage für die einzelnen getrennt beweisen. Wir können also annehmen, dass eine stetig differenzierbare -Differentialform gegeben ist, die kompakten Träger besitzt, der ganz in einer Kartenumgebung liegt.
Es liegt ein
Diffeomorphismus
mit
offen vor, der zugleich einen Diffeomorphismus zwischen den Rändern
und
induziert. Dabei gilt
-
und
-
nach
Lemma 20.2 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) (5). Wir können also von einer auf
definierten stetig differenzierbaren Differentialform mit kompaktem Träger ausgehen, die wir auf ganz außerhalb des Trägers als Nullform fortsetzen können.
Wegen der Kompaktheit des Trägers gibt es einen hinreichend großen Quader
,
dessen eine Seite auf liegt und der den Träger von nur in trifft. Auf allen anderen Seiten von ist
(und damit auch )
die Nullform. Daher gilt einerseits
-
und andererseits
-
Somit folgt die Aussage
aus der Quaderversion des Satzes von Stokes.