Kurs:Maß- und Integrationstheorie/2/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	3	3	3	10	3	3	4	5	4	4	4	0	4	61

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Bildmaß unter einer messbaren Abbildung

   $\varphi \colon M\longrightarrow N$

   von einem Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ in einen Messraum ${}(N,{\mathcal {B}})$.

2. Ein Wahrscheinlichkeitsraum.
3. Das erzeugte Parallelotop zu linear unabhängigen Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem reellen Vektorraum ${}V$.
4. Das Maß zu einer Dichte ${}g$ auf einem Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
5. Ein total beschränkter metrischer Raum ${}M$.
6. Ein Hilbertraum.

Lösung

1. Unter dem Bildmaß versteht man das für messbare Teilmengen ${}T\subseteq N$ durch

   ${}\nu (T):=\mu (\varphi ^{-1}(T))\,$

   definierte Maß auf ${}N$.

2. Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ mit ${}\mu (M)=1$.
3. Man nennt

   ${}P={\left\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}\mid a_{i}\in [0,1]\right\}}\,$

   das von den ${}v_{i}$ erzeugte Parallelotop.

4. Man nennt das für jede messbare Teilmenge ${}T\subseteq M$ durch

   ${}\nu (T):=\int _{T}g\,d\mu \,$

   definierte Maß auf ${}M$ das Maß zur Dichte ${}g$.

5. Ein metrischer Raum ${}M$ heißt total beschränkt, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ endlich viele Punkte ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in M$ derart gibt, dass

   ${}M=\bigcup _{i=1}^{n}U{\left(x_{i},\epsilon \right)}\,$

   gilt.

6. Ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt, der mit der zugehörigen Metrik ein vollständiger metrischer Raum ist, heißt Hilbertraum.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Beziehung zwischen einer ${}\sigma$- Algebra und einem Dynkin-System.
2. Der Satz von der monotonen Konvergenz.
3. Der Satz von Stone-Weierstrass.

Lösung

1. Es sei ${}M$ eine Menge. Für ein Mengensystem ${}{\mathcal {A}}$ auf ${}M$ sind äquivalent.
   1. ${}{\mathcal {A}}$ ist ein durchschnittsstabiles Dynkin-System
   2. ${}{\mathcal {A}}$ ist eine ${}\sigma$-Algebra.
2. Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum und sei

   $f_{n}\colon M\longrightarrow {\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   eine wachsende Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen mit der Grenzfunktion ${}f$. Dann gilt

   ${}\int _{M}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}\,d\mu \,.$

3. Es sei ${}X$ ein kompakter topologischer Raum und ${}T\subseteq C(X,\mathbb {R} )$ eine ${}\mathbb {R}$- Unteralgebra, die die Punkte aus ${}X$ trennt. Dann ist

   ${}{\overline {T}}=C(X,\mathbb {R} )\,.$

   D.h. jede stetige Funktion ${}f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$

   lässt sich beliebig gut durch Funktionen aus ${}T$ approximieren.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}\epsilon >0$ fixiert und sei

${}A_{q}=]q-\epsilon ,q+\epsilon [\,$

die ${}\epsilon$-Umgebung von ${}q$. Bestimme den Limes inferior und den Limes superior dieser (abzählbaren) Familie.

Lösung

Der Limes inferior besteht aus allen Zahlen, die bis auf endlich viele Ausnahmen in allen Mengen ${}A_{q}$ vorkommen. Dies ist die leere Menge, da es zu jeder reellen Zahl ${}x$ unendlich viele rationale Zahlen gibt, die außerhalb von ${}[x-2\epsilon ,x+2\epsilon ]$ gibt. Für diese rationalen Zahlen gilt ${}x\notin A_{q}$.

Der Limes superior besteht aus allen Zahlen, die in unendlich vielen der Mengen ${}A_{q}$ vorkommen. Dies ist ganz ${}\mathbb {R}$. Zu jeder reellen Zahl ${}x$ gibt es in ${}]x-\epsilon ,x+\epsilon [$ unendlich viele rationale Zahlen und für diese gilt ${}x\in A_{q}$.

Aufgabe (2 Punkte)

Auf der Menge der natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N}$ sei ein Maß ${}\mu$ durch

${}\mu {\left(\{n\}\right)}=n\,$

gegeben. Bestimme

$\mu {\left(\{0,1,2,\ldots ,n\}\right)}.$

Lösung

Aufgrund der Additivitätseigenschaft eines Maßes ist

${}{\begin{aligned}\mu {\left(\{0,1,2,\ldots ,n\}\right)}&=\mu {\left(\{0\}\right)}+\mu {\left(\{1\}\right)}+\mu {\left(\{2\}\right)}+\cdots +\mu {\left(\{n\}\right)}\\&=0+1+2+\cdots +n\\&={\frac {n(n+1)}{2}}\end{aligned}}$

nach der bekannten Regel für die Summe der ersten ${}n$ Zahlen.

Aufgabe (3 Punkte)

Eine Klorolle hat einen äußeren Durchmesser von ${}12$ cm und einen inneren Durchmesser von ${}4$ cm. Das ausgewickelte Klopapier ergibt eine Länge von ${}20$ Metern. Wie dick ist das Klopapier?

Lösung

Es sei ${}b$ die Breite des Papiers (alles in Zentimetern). Das Volumen des aufgewickelten Papiers ist

${}b\pi {\left(6^{2}-2^{2}\right)}=b\pi 32\,.$

Die unbekannte Dicke sei ${}d$. Das abgewickelte Klopapier bilden einen Quader mit dem gleichen Volumen, also

${}2000bd=b\pi 32\,.$

Somit ist

${}d={\frac {\pi 32}{2000}}\cong {\frac {100}{2000}}={\frac {1}{20}}\,.$

Die Dicke ist also ungefähr ein halber Millimeter.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}X$ ein Hausdorff-Raum. Zeige, dass die Diagonale

${}\triangle ={\left\{(x,y)\in X\times X\mid x=y\right\}}\,$

eine abgeschlossene Teilmenge im Produktraum ${}X\times X$ ist.

Lösung

Wir müssen zeigen, dass das Komplement

${}W=X\times X\setminus \triangle ={\left\{(x,y)\mid x,y\in X,\,x\neq y\right\}}\,$

offen ist. Es sei also ${}(x,y)$ ein Paar mit ${}x\neq y$. Aufgrund der vorausgesetzten Hausdorff-Eigenschaft gibt es disjunkte offene Mengen ${}U,V\subseteq X$ mit ${}x\in U$ und ${}y\in V$. Es ist ${}(x,y)\in U\times V$ und nach Definition der Produkttopologie ist ${}U\times V$ eine offene Menge in ${}X\times X$. Wegen der Disjunktheit folgt aus ${}(z,w)\in U\times V$ sofort ${}z\neq w$. Also ist

${}(x,y)\in U\times V\subseteq W\,$

und ${}W$ ist die Vereinigung von solchen offenen Produktmengen, also selbst offen.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M$ ein Messraum und ${}f\colon M\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$ eine nichtnegative messbare Funktion. Zeige, dass auch die Funktion

${\sqrt {f}}\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto {\sqrt {f(x)}},$

messbar ist.

Lösung

Wir schreiben die Funktion ${}{\sqrt {f}}$ als Hintereinanderschaltung

$M{\stackrel {f}{\longrightarrow }}\mathbb {R} _{\geq 0}{\stackrel {\sqrt {t}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} _{\geq 0}.$

Da die Wurzelfunktion stetig ist, ist sie auch messbar und da die Hintereinanderschaltung von messbaren Abbildungen wieder messbar ist, ergibt sich die Messbarkeit von ${}{\sqrt {f}}$.

Aufgabe (10 Punkte)

Beweise den Satz über die Fortsetzung eines äußeren Maßes.

Lösung

Es sei ${}T\in {\mathcal {P}}$. Das Mengensystem ${}\{T\}$ ist natürlich eine Überpflasterung von ${}T$, sodass ${}\mu (T)$ in der Menge vorkommt, über die das Infimum genommen wird. Für jede Überpflasterung ${}T_{i}$, ${}i\in I$, von ${}T$ gilt ${}T=\bigcup _{i\in I}T\cap T_{i}$ und somit

${}\mu (T)\leq \sum _{i\in I}\mu {\left(T\cap T_{i}\right)}\leq \sum _{i\in I}\mu (T_{i})\,,$

sodass ${}\mu (T)={\tilde {\mu }}(T)$ gilt.
Für beliebige Teilmengen ${}S\subseteq T$ gilt trivialerweise ${}{\tilde {\mu }}(S)\leq {\tilde {\mu }}(T)$, da eine Überpflasterung von ${}T$ insbesondere eine Überpflasterung von ${}S$ ist.
Es sei nun ${}T_{i}$, ${}i\in I$, eine abzählbare Familie von Teilmengen von ${}M$. Wir müssen ${}{\tilde {\mu }}{\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}\leq \sum _{i\in I}{\tilde {\mu }}(T_{i})$ nachweisen. Wenn der rechte Ausdruck gleich ${}\infty$ ist, so ist nichts zu zeigen. Wir können also voraussetzen, dass die rechte Familie summierbar ist. Die Summanden dieser Familie sind jeweils das Infimum über Summen, die jeweils zu Überpflasterungen gehören.  Nehmen wir an, dass die linke Seite größer als die rechte Seite sei, wobei die Differenz größer als ${}\epsilon >0$ sei. Sei ${}\epsilon _{i}>0$, ${}i\in I$, so gewählt, dass ${}\sum _{i\in I}\epsilon _{i}\leq \epsilon$ ist; eine solche Familie gibt es aufgrund der Abzählbarkeit von ${}I$, siehe Aufgabe 9.24 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)). Zu jedem ${}i\in I$ gibt es eine Überpflasterung ${}T_{i}\subseteq \bigcup _{j\in J_{i}}T_{ij}$ mit einer abzählbaren Indexmenge ${}J_{i}$, mit ${}T_{ij}\in {\mathcal {P}}$ und mit

${}{\tilde {\mu }}(T_{i})\leq \sum _{j\in J_{i}}\mu (T_{ij})\leq {\tilde {\mu }}(T_{i})+\epsilon _{i}\,.$

Die Menge ${}L=\bigcup _{i\in I}J_{i}$ ist als abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen wieder abzählbar. Wir betrachten nun die durch ${}T_{\ell }$, ${}\ell \in L$, (mit ${}\ell =(i,j)$) gegebene Überpflasterung von ${}\bigcup _{i\in I}T_{i}$. Damit gelten unter Verwendung des großen Umordnungssatzes die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}{\tilde {\mu }}{\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}&\leq \sum _{\ell \in L}\mu {\left(T_{\ell }\right)}\\&=\sum _{i\in I}{\left(\sum _{j\in J_{i}}\mu {\left(T_{ij}\right)}\right)}\\&\leq \sum _{i\in I}{\left({\tilde {\mu }}(T_{i})+\epsilon _{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}{\tilde {\mu }}(T_{i})+\sum _{i\in I}\epsilon _{i}\\&\leq \sum _{i\in I}{\tilde {\mu }}(T_{i})+\epsilon ,\end{aligned}}$  

ein Widerspruch.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

auf einem ${}\sigma$-endlichen Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$.

Lösung

Es sei

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine messbare nichtnegative Funktion und ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$. Es sei ${}T={\left\{x\in M\mid f(x)\geq a\right\}}$. Dann ist

${}T\times [0,a]\subseteq S(f)\,$

(im Subgraphen), also

${}a\cdot \mu (T)=(\mu \otimes \lambda ^{1})(T\times [0,a])\leq (\mu \otimes \lambda ^{1})(S(f))=\int _{M}f\,d\mu \,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das Volumen des von den drei Vektoren

${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\-5\\6\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}7\\8\\9\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{3}$ erzeugten Parallelotops.

Lösung

Das Parallelotop ist das Bild des Einheitswürfels unter der durch die Matrix

$M={\begin{pmatrix}1&4&7\\2&-5&8\\3&6&9\end{pmatrix}}$

gegebenen linearen Abbildung. Nach Satz 7.2 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) ist sein Volumen gleich dem Betrag der Determinante dieser Matrix. Wir berechnen die Determinante mittels der Regel von Sarrus, d.h. wir betrachten

${\begin{pmatrix}1&4&7&1&4\\2&-5&8&2&-5\\3&6&9&3&6\end{pmatrix}}.$

Daher ist

${}\det M=-45+96+84+105-48-72=285-165=120\,.$

Das Volumen ist also ${}120$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Menge und es sei ${}T_{n}\uparrow M$ eine Ausschöpfung von ${}M$ mit Teilmengen ${}T_{n}\subseteq M$, ${}n\in \mathbb {N}$. Zu jedem ${}n\in \mathbb {N}$ sei ${}A_{n}\subseteq M\times \mathbb {R}$ der Subgraph zur Indikatorfunktion ${}e_{T_{n}}$. Zeige, dass die ${}A_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Ausschöpfung von ${}M\times [0,1]$ bilden.

Lösung

Der Subgraph zur Indikatorfunktion ${}e_{T_{n}}$ ist

${}{\begin{aligned}A_{n}&={\left\{(x,t)\mid x\in M,\,0\leq t\leq e_{T_{n}}(x)\right\}}\\&={\left\{(x,t)\mid x\in T_{n},\,0\leq t\leq e_{T_{n}}(x)\right\}}\cup {\left\{(x,t)\mid x\in M\setminus T_{n},\,0\leq t\leq e_{T_{n}}(x)\right\}}\\&={\left\{(x,t)\mid x\in T_{n},\,0\leq t\leq 1\right\}}\cup {\left\{(x,t)\mid x\in M\setminus T_{n},\,0\leq t\leq 0\right\}}\\&=T_{n}\times [0,1]\cup (X\setminus T_{n})\times \{0\}\\&=T_{n}\times [0,1]\cup X\times \{0\}.\end{aligned}}$

Wegen ${}T_{n}\subseteq T_{n+1}$ ist somit auch ${}A_{n}\subseteq A_{n+1}$. Offenbar ist ${}A_{n}\subseteq M\times [0,1]$. Für ein beliebiges ${}(x,t)\in M\times [0,1]$ gibt es aufgrund der Ausschöpfungseigenschaft ein ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}x\in T_{n}$. Für dieses ${}n$ ist auch ${}(x,t)\in A_{n}$, sodass ${}\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=M\times [0,1]$ gilt. Also liegt eine Ausschöpfung vor.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein endlicher Maßraum und ${}A_{t}$, ${}t\in \mathbb {R}$, eine Familie von messbaren Mengen mit den zugehörigen Indikatorfunktionen ${}e_{A_{t}}$. Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \times M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x)\longmapsto f(t,x)=e_{A_{t}}(x).$

Zeige, dass die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \varphi (t)=\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x),$

nicht stetig sein muss. Welche Voraussetzungen aus Satz 11.1 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) sind erfüllt, welche nicht?

Lösung

Für jedes ${}t\in \mathbb {R}$ ist

${}\varphi (t)=\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x)=\int _{M}e_{A_{t}}(x)\,d\mu (x)=\int _{A_{t}}1\,d\mu (x)=\mu (A_{t})\,.$

Wenn z.B. ${}M$ ein Maßraum ist mit ${}\mu (M)=1$ und die Familie durch

$A_{t}={\begin{cases}\emptyset {\text{ für }}t\leq 0\,,\\M{\text{ für }}t>0\,,\end{cases}}$

gegeben ist, so besitzt die Funktion ${}\varphi (t)=\mu (A_{t})$ eine Sprungstelle in ${}0$ und ist daher nicht stetig.

Die Bedingung (1) ist erfüllt. Für festes ${}t\in \mathbb {R}$ geht es um die Abbildung

$M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto e_{A_{t}}(x).$

Da ${}A_{t}$ nach Voraussetzung messbar ist, ist diese Abbildung messbar.

Die Bedingung (3) ist erfüllt, und zwar mit der konstanten Funktion ${}h=1$. Es ist ${}\int _{M}h\,d\mu =\mu (M)<\infty$ aufgrund der vorausgesetzten Endlichkeit des Maßraumes ${}M$, und es ist ${}e_{A}\leq h$ für jede Indikatorfunktion.

Da die Schlussfolgerung des Satzes nicht gilt, kann die Bedingung (2) nicht generell erfüllt sein.

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechtecks ${}Q=[-1,3]\times [0,2]$ unter der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{3},y-x^{2}).$

Lösung

Die Abbildung ist bijektiv mit der Umkehrabbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(u,v)\longmapsto \left(u^{\frac {1}{3}},\,v+u^{\frac {2}{3}}\right).$

Die Jacobi-Matrix ist

${\begin{pmatrix}3x^{2}&0\\-2x&1\end{pmatrix}}$

mit der Jacobi-Determinante

$3x^{2}.$

Für die Punkte mit ${}x=0$ liegt also kein lokaler Diffeomorphismus vor und für die Punkte mit ${}x\neq 0$ liegt ein Diffeomorphismus auf das Bild vor. Auf ${}\mathbb {R} \setminus \{0\}\times \mathbb {R}$ ist also die Transformationsformel anwendbar. Die Ausnahmemenge ${}Q\cap {\left\{(x,y)\mid x=0\right\}}$ hat den Flächeninhalt ${}0$ und das gilt nach Korollar 13.6 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) auch für das Bild davon. Daher kann man die Transformationsformel anwenden und nach Fubini ist somit

${}\lambda ^{2}(\varphi (Q))=\int _{Q}3x^{2}d\lambda ^{2}=3\int _{-1}^{3}x^{2}dx\int _{0}^{2}1dy=2x^{3}|_{-1}^{3}=2(27+1)=56\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und sei ${}L^{2}(U,\lambda ^{n})$ der zugehörige ${}L^{2}$- Raum. Zeige, dass es für jede Funktionsklasse ${}f\in L^{2}(U,\lambda ^{n})$ einen Repräsentanten gibt, der in keinem Punkt stetig ist.

Lösung

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {K} }$ ein beliebiger Repräsentant. Wir betrachten ${}S:=U\cap \mathbb {Q} ^{n}$ und ${}T:=U\cap {\sqrt {2}}\cdot \mathbb {Q} ^{n}$. Dabei bezeichnet ${}{\sqrt {2}}\cdot \mathbb {Q} ^{n}$ die Menge derjenigen Zahlen, die in jeder Komponente ein rationales Vielfaches der irrationalen Zahl ${}{\sqrt {2}}$ sind. Die beiden Mengen sind zueinander disjunkt und beide abzählbar, daher ist auch ihre Vereinigung abzählbar. Wir ersetzen ${}f$ durch die Funktion ${}g$, die durch

${}g(P):={\begin{cases}0,{\text{ falls }}P\in S\,,\\1,{\text{ falls }}P\in T\,,\\f(P){\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

definiert ist. Die beiden Funktionen unterscheiden sich nur auf einer Nullmenge, daher definieren sie die gleiche Klasse in ${}L^{2}(U,\lambda ^{n})$. Für jeden Punkt ${}P\in U$ und jede offene Umgebung ${}P\in U{\left(P,r\right)}\subseteq U$ sind die beiden Mengen ${}S\cap U{\left(P,r\right)}$ und ${}T\cap U{\left(P,r\right)}$ dicht, daher kann ${}g$ in ${}P$ nicht stetig sein.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}X$ ein kompakter Raum und es sei ${}Y\subseteq X$ eine abgeschlossene Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Zeige, dass ${}Y$ ebenfalls kompakt ist.

Lösung

Es sei

${}Y=\bigcup _{i\in I}V_{i}\,$

eine Überdeckung mit offenen Teilmenge ${}V_{i}\subseteq Y$. Dies bedeutet, dass es offene Mengen ${}U_{i}\subseteq X$ gibt mit ${}V_{i}=Y\cap U_{i}$. Daher ist

${}Y\subseteq \bigcup _{i\in I}U_{i}\,.$

Wegen der Abgeschlossenheit von ${}Y$ in ${}X$ ist ${}X\setminus Y$ offen und daher ist

${}X=Y\cup (X\setminus Y)=\bigcup _{i\in I}U_{i}\cup (X\setminus Y)\,$

eine offene Überdeckung von ${}X$. Wegen der Kompaktheit von ${}X$ gibt es eine endliche Teilüberdeckung

${}X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\cup (X\setminus Y)\,.$

Dies bedeutet wiederum

${}Y=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}T>0$ und es seien ${}f,g\colon \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb {C} }$ ${}T$- periodische messbare Funktionen, die auf ${}[0,T]$ ${}L^{2}$- integrierbar sind und die Fourierreihen ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}e^{{\mathrm {i} }n\omega t}$ bzw. ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }d_{n}e^{{\mathrm {i} }n\omega t}$ besitzen. Zeige, dass die periodische Faltung die Fourierreihe ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}d_{n}e^{{\mathrm {i} }n\omega t}$ besitzt.

Lösung

Es ist unter Verwendung von Satz 12.10 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) und Korollar 13.2 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023))

${}{\begin{aligned}{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}(f*g)(t)e^{-{\mathrm {i} }\omega nt}dt&={\frac {1}{T^{2}}}\int _{0}^{T}{\left(\int _{0}^{T}f(t-s)g(s)ds\right)}e^{-{\mathrm {i} }\omega nt}dt\\&={\frac {1}{T^{2}}}\int _{[0,T]\times [0,T]}f(t-s)g(s)e^{-{\mathrm {i} }\omega nt}dsdt\\&={\frac {1}{T^{2}}}\int _{[0,T]\times [0,T]}f(t-s)e^{-{\mathrm {i} }\omega n(t-s)}g(s)e^{-{\mathrm {i} }\omega ns}dsdt\\&={\frac {1}{T^{2}}}\int _{[0,T]\times [0,T]}f(u)e^{-{\mathrm {i} }\omega nu}g(s)e^{-{\mathrm {i} }\omega ns}dsdu\\&={\frac {1}{T^{2}}}\int _{[0,T]}f(u)e^{-{\mathrm {i} }\omega nu}du\cdot \int _{[0,T]}g(s)e^{-{\mathrm {i} }\omega ns}ds\\&=c_{n}d_{n}.\end{aligned}}$

Anhang

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum, ${}E$ ein metrischer Raum, ${}t_{0}\in E$ und

$f\colon E\times M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,(t,x)\longmapsto f(t,x),$

eine Funktion,

die die folgenden Eigenschaften erfülle.

1. Für alle ${}t\in E$ ist die Funktion ${}x\mapsto f(t,x)$ messbar.
2. Für alle ${}x\in M$ ist die Funktion ${}t\mapsto f(t,x)$ stetig in ${}t_{0}$.
3. Es gibt eine nichtnegative messbare integrierbare Funktion

   $h\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

   mit

   ${}\vert {f(t,x)}\vert \leq h(x)\,$

   für alle ${}t\in E$ und alle ${}x\in M$.

Dann ist die Funktion

$\varphi \colon E\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \varphi (t)=\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x),$

wohldefiniert und stetig in ${}t_{0}$.

Es sei ${}T>0$ und es seien ${}f,g\colon \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb {C} }$ ${}T$- periodische messbare Funktionen, die auf ${}[0,T]$ ${}L^{2}$- integrierbar sind. Dann ist die periodische Faltung ${}f*g$ durch

${}(f*g)(t):={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t-s)g(s)ds\,$

definiert.